|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы О) = V -f -I- 6-2 -f- 2tp cos е. (9) Геометрическое место мгновегпп,1х осей, отмеченное в неподвиж- iioM пространстве, называется неподвижным аксопдом. Уравнение неподвижного аксоида -- = .У- = ~ (10*) Подвижным аксопдом называется геометрическое место мгновенных осей, огмечспное на движущемся теле. Уравнение подвижного аксоида 1 f 1 (11 ) о) (О Q1 xi у, Угловое ускорение твердого тела есть производная от вектора угловой скоросги но времени Рассматривая со как ра.циус-вектор некоторой точки, можно находить Е как скорость конца вектора со при движении но его годо-I рафу. Если обозначить через соо орг мгноветюй оси, то угловое уско-регше определится формулой d , . dix> . d<On E = -(co-tOo)=, tOo-l-CO, или E = E,-I--E где du> - первая составляющая углового ускорения, направленная по мгновенной оси и характеризующая изменение угловой скорости но где (0, u)j - проекции угловой скорости на неподвижные оси коордииа!. Далее, (Uj = 1 sin 6 sin ср -j- б COS tp, coj = ф sin e COS ср - 6 sinf, (8*) 01, = COS 9 -- <f. Здесь и>х u)j,, ujj - проекции угловой скорости на подвижные оси координаг. Величина мгновенной угловой скоросги и характеризует изменение угловой скорости по направлению. Обозначая через coj угловую скорость вращения вектора , имеем: Тогда Наряду с использованием приведенных формул для нахождения углового ускорения применяют и другой способ определения г, через проекции углового ускорения на неподвижные оси координат или оси, жестко связанные с движущимся твердым телом. Проекции углового ускорения на неподвижные оси координат даются выражениями: dt У- dt dt - Проекции углового ускорения на подвижные оси, жестко связанные с телом, равны do d<i> rfoi, i- dt У'- dt dt > Ускорение точки твер.адго тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, равно сумме вращательного и осестремительнсго ускорений (теорема Ривальса) Л1 = ?и + Х (15*) где a = XB = X( X-). (16*) Wj = RXr. (17*) Если угловое ускорение задано в виде то вращательное ускорение определяется формулой л? = 4- = 8. X + е., X г. Величина осестремительнсго ускорения w°j = hu>\ (18*) величине. Вторая составляющая углового ускорения равна где h - кратчайшее расстояние точки до мгновенной оси. Это ускорение направлено по перпендикуляру, опущенному ия точки на мгно-веипую ось (рис. 7.3). Величина вра-нгательного ускорения Щ1 Р (19*) где 111 - кратчайшее расстояние точки до оси вектора углового ускорения (рис. 7.3). Направление вращательного ускорения определяется по правилу векторного произведения. Осестреми-тельиое и вращательное ускорения, вообще говоря, не взаимно перпендикулярны; это следует из формул (16*), (17*). Однако существуют такие точки твердого тела, для которых эти ускорения в данный момент взаимно перпендикулярны. Геометрическим местом этих точек является плоскость в твердом теле, проходягцая через векторы (о и е. Зная осестремительное и вращательное ускорения, можно определить модуль ускорения точки по формуле  Рис. 7.3. WM = V(w%f + {wp + 2w° w- cos {w°rwp. (20*) Проекции ускорения точки на неподвижные оси равны = eyZ - в,у + u) {ш^х 4- -f ш^г) - ш'х, tw, = eX -e + u)j,(u) ,x-- ) >4- )) -u)2 y, (21*) = хУ - уХ + {х- 4- уУ + г-г) - г'. Проекции ускоре!Шя точки на подвижные оси определяются формулами: Wx, = bi\ - ziyi- x,Z\4-, (22*) При решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела, вращающегося но-icpyr неподвижного центра, рекомендуется такая последовательность действий. А. Заданы урав/1еиия движения в виде углов Эйлера как известных функций времени. Требуется определить угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, уравнения подвижного и неподвиж- ного аксоидов, а также скорость и ускорение какой-либо точки M(xi, У], 2,): 1) определить производные от углов Эйлера по времени; 2) найти проекции угловой скорости на оси неподвижной и подвижной систем координат; 3) вычислить величину мгновенной угловой скорости; 4) определить положенно мгновенной оси; 5) составить уравнения неподвижного н подвижного аксоидов; G) найти мгновенное угловое ускоре1ше как скорость конца вектора сл или через проекции углового ускорештя на подвижные и неподвижные оси координат; 7) определить скорость точки М по величине и направлению; 8) найти вращательное и осестрсмитсльное ускорения точки М или проекции ускорения точки М на подвижные н неподвижные оси координат; 9) вычислить ускоренно точки М по величине и направлению. В. 3 а д а и ы скорость точки М и положение мгновенной оси вращения. Требуется определить мгновенную угловую скорость, м г н о в е н н о е у г л о в о е у с-к о р е н и е, неподвижный и подвижный а к с о и д ы, скорости и ускорения любых точек твердого тела: 1) выбрать неподвижную и подвижную системы координат; 2) найти мгновенную угловую скорость твердого тела; 3) определить искомые скорости точек твердого тела; 4) найти мгновенное угловое ускорение тнердого тела как скорость конца вектора мгновенной угловой скорости; 5) вычислить вращательное и осестремительпое ускорения точек твердого тела и, далее, их ускорения; 6) определить подвижный и неподвижный аксоиды. Задача 7.1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки согласно уратшштям: = 2/, 9 = 30/, 0 = 1-, где углы (рис. а) измеряются в радианах, а время - в секундах. Определить мгновенную угловую скорость тела, уравнение мгновенной оси, неподвижный н подвижный аксоиды, а также скорость точки тела M(Xi,yi, 2i), координаты которой в подвижной системе коо^)динат-, жестко смязаппой с телом, равны Xi = 2 см, Jl = 3 см, 2i = 5 см. Рен1ение. Имеем две системы координат с началом в неподвижной точке О: подвижную х, у, г жестко связанную с твердым телом, и неподвижную систему хуг. Находим производные по времени от углов Эйлера: =2, с? = 30, 8 = 0, и согласно (б*) определяем мгновенную угловую скорость тела (o = (iife-!-9fei = 2ft + 30fei. (1) Проекции мгиове1Н1ой угловой скорости иа неподвижшпе оси координат соглаою (7*) будут равны и> = 30 sin 2 sin- 30cos2sin-J, = 30 cos --j-2. Проекции мгновенной угловой скорости па подвижные оси  К задаче 7.1. координат согласно формулам (8*) запишутся так: = 2 sin - sin 30/, (1) = 2 sin -у- cos ЗОг', <о^., = 2 cos - + 30. Величина мгновенной угловой скорости определится но формулам (9*): = /4 900-f 2 .301/3 /Т008 ь 31,8 сек \ Проекции скорости течки М на подвижные оси координат определятся по формулам (5*): г^, = (0 ! - г,У\ = 5 cos 30/ - (Кз-f 30) 3 = 5 cos 30/ - 95,19, г>1 = г1Л-, - w,;r,=(]/3 L 20)2 -5 sin 30/= 63,46 - 5 sin 30/, г; = - >цЛ1 = 3 sin 30/ - 2 cos 30/. X у г 15 sin 2,Г ~ - locos2/ 28 Уравнение мгновенной оси в подвижной системе осей согласно (И*) имеет вид .Vi 1 /Q\ sin 30 ~ cos 30/ ~ 31,73- Из этих равенств находим уравнения неподви5кпого и подвижного аксоидов, исключая время. У|1авнение неподвижного аксоида получаем из (2): Уравпеиие подвижного аксоида находим из (3): Определим (рис. б) половины углов раствора конусов, образую-ншх неподвижный и подвижный аксоиды. Полагая = 0, находим значение = = S = Аналогично, считая j)j = 0, определяем угол раствора для подвижною аксоида ctg а = --=31,73. Xi Рассмотренное в этой задаче движение твердого тела вокруг неподвижной точки называется регулярной прецессией. При этом движении угол нутации 9 - постоянная величина, а углы прецессии ф и чистого вращения ср изменяются пропорционально времени. Прецессия называется прямой, если векторы (Oj и щ (рис. б) образуют острый угол. Прецессия назь1вается обратной, если этот угол тупой. В случае прямой прецессии направления собственного вращения твердого тела и вращения его мгноветюй оси совпадают. При обратной прецессии эти вращения противоположны. Задача 7.2. В условиях предыдущей задачи определить мгновенное угловое ускорение твердого тела, а также ускорение точки Л1(л- у1, Zi). Скорость точки М выражается через ее проекции по формуле = x,ii + VyJ, J- v ki = (5 cos 30/ - 95,19)i, + + (63,46 - 5 sin 300Ji -Г (3 sin 30/ - 2 cos 30/) fe,. Уравнение мгновенной оси в неподвижной системе координат согласно (10*) будет: г, = ш^={30 cos-f-2j =0. Проекции углового ускорения на подвижные оси координат будут: е^, = ш,., = (sin 30/) = 30 cos 30t, ej,j = (l)j, = (cos 30/)= - 30 sin 30/, e., = , = (2cos -4-30j = 0. Величина углового ускорения равна в = 14 + 4 + 1= V?v, + 4. + = 30 сек-\ Решение. Мгновенное угловое усксрение твердого тела равно скорости движения конца вектора мгновенной угловой скорости сл. Из решения предыдущей задачи (рис.5) следует, чго вектор (о описывает конус вокруг оси 2 с угловой скоростью (Ор Рассматривая ю как радиус-вектор точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью (Oi вокруг оси Z, находим скорость этой точки е: e = o)iXM. (1) Далее, согласно соотношению (1) предыдущей задачи = -г 3- (2) Внося это значение о) в (1), имеем: е = 1 X ( 1 -г э) = ЩХ Щ- (3) Из этой формулы следует, что вектор мгновенного углового ускорения направлен перпендикулярно к плоскости zzi (рис. а предыдущей задачи), т. е. по линии узлов. Угловое ускорение совпадает с положительным направлением линии узлов, если прецессия пряная. При обратной прецессии вектор е направлен в отрицательную сторону оси ОМ. Величина мгновенного ускорения определяется из (3) е = (О, . шз sin 6 = 2 30 sin -g- = 30 сек' Мгновенное угловое ускорение может быть найдено и другим способом, методом проекций. Согласно формулам (13*) и (14*) проекции углового ускорения соответственно на неподвижные и подвижные оси координат определяются как производные по времени от соответствующих проекций мгновенной угловой скорости. Таким образом, находим проекции углового ускорения на неподвижные оси координат: е^ = ш , = (15 sin 2/)= 30 cos 2/, Ej, = = ( - 15 cos 2t) = 30 sin 2t, cos (е, у) - -f- = sin 2t, cos (e, z) - = 0, cos (exi) = cos 30/, cos(e, v,) = --= - sin 30/, со5(еГ2,)=--=0, откуда следует, что угловое ycKopeiuie направлено по линии узлов. Переходим к определению ускорения точки УИ. Находим проекции ускорения течки М на подвижные оси координат, пользуясь формулами (22--): Wx,= - 30 sin 30/-5- 4- sin 30/(sin 30/-2-f cos 30/ 3-L 31,73-5)- 1008-2, w = - 30 cos 30/-5-!- . -i-cos 30/(sin 30/.2-L cos 30/ 3 + 31,73 5) - 1008-3, < w = 30 COS 30/ -3 -1- 30 sin 30/ 2 -- --31,73 (sin 30/-2+cos30/-3-f 31,73-5) - 1008-5. Ускорение точки М no найденным проекциям определится формулой W = Wx il -f Wyji ~ w.fii, где i Ji, fei - орты осей Xy, y, Zy Задача 7.3. Конус с углом при вершине ВОС= закреплен шарнирно в точке О н катится без скольжешш но плоскости ху. Точка А, находящаяся в центре основания конуса, огшсывает при этом окружность, центр которой расположен на оси z. Перпендикуляр, опуптеиший из А па ось z, вращается вокруг оси z соглас1Ю уравнению Радиус основания конуса г. Определгггь угловую скорость и угловое ускорадис конуса, а также скорость и ускорение точек А, В, С. Направление углового ускорения определяется косинусами: cos (е, х) = -f-~ cos 2t, Решение. Точка А описывает окружность с центром, лежащим на оси Z. Угловая скорость вращения радиуса h этой окружности, соединяющего точку А с центром, равна а длина этого радиуса (рис. б) 1г=0А- cos 45° = г cos 45°. Сле.тователы1о, модуль скорости точки А равен С другой стороны, скорость точки А, как принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной точки О, равна по модулю произпеде1Шю мгновенной угловой скорости иа кратчайшее расстояние от точки А до мгновенной оси. Мгновенная ось конуса направлена по образующей ОС. Следовательно, Vjxhito, где /г1 = /г = г cos 45°. Приравнивая два нолучегшых значения для скорости точки А, находим: Скорость течки А параллельна оси х. Пусть для определенности она совпадает с положительным направлением оси. Тогда о>1 направлена по оси z в отрицательную сторону, а вектор ю - по оси у в положительную сторону (рис. б). Переходим к определению углового ускорения. Воспользуемся 4ормулой  К задаче 7.3. где , e.2 = (0iX )-Тогда в нашей задаче Zi - lk- щ, причем орт мгновенной оси о указывает на то, что вектор fij направлен по оси у в положителыюм направле1ши (рис. б). Вторая составляющая углового ускорения равна по модулю s.j = u a)sin QO°ikH и направлена по оси х в положительном направлении (рис. б). Скорость точки С равна нулю, так как эта точка находится на мгнове1нюй оси. Скорость точки В равна по модулю Vg = 2г< = 2у2 rkt, так как кратчайшее расстояние точки В до мгновенной оси 0B = 2hi. Вектор направлен параллельно оси х в положительную сторону. Переходим к определению ускорений. Ускорение точки С определяется по формуле Wc = -\- wp -f - а) Р. Точка С лежит на мгновенной оси. Следовательно, w°. = 0. Точно так же и . .Р = е, Хгс = 0 (так как Ej ] Гс)- Итак, Wc -= tt)P = £2 X Гс- Ускорение точки С равно но модулю Wc = ч г с sin 90° = 4 rk4v2 и направлено параллельно оси z (рис. в). Ускорение точки В находится по формуле Осестремительпое ускорение точки В равно по модулю = ОВ ш'- z= 4V2 rkH и направлено от течки В к О (рис. в). Ускорение twJP направлено иараллелыю оси х (рис. в) и равно ио модулю ffiijp = S,. ОД sin 90 = 2Y2- rk. Ускорение направлено параллельно отрицательному направлению оси у (рис. в) и равно по модулю Ki p = S, О/? sin 90° = 4V2 rkH\ Модуль ускорения точки В равен а д = Vwjf -г-°Х + = 2rkViQkH-\- 2. 1 ... 44 45 46 47 48 49 50 51 |
 |
 |