Навигация

Главная » Мануалы

1 ... 46 47 48 49 50 51

ние точки С обр зй оси; следовател

Осестремительное ускорение точки С обращается в нуль, так как точка лежит иа мгноиеииой оси; следовательно,

Величина ускорения

= ttp = £ ОС sin 90° 16 20 v2 = 320 v2 см!сек'.

Это ускорение лежит в плоскости ООС, перпендикулярной к и образует прямой угол с ОС (рис. б).

Второй способ определения ускорения точки С основан на теореме сложения ускорений

Переносное ускорение точки С есть ускорение при вращении вокруг оси Z с угловой скоростью <о^. Величина перенос1Юго ускорения равна

-w = ОС sin 45°. ш-J = 20 16 = 320 см/сек'.

Это ускорение направлено от точки С по перпендикуляру к оси z, т. е. параллельно оси у (рис. в). Относительное ycKopeinie точки С есть ускорение при вращении вокруг оси у с угловой скоростью м^. Его величина

щ, = OiC <о2 = 20 16 = 320 см/сек^

Оно направлено от точки С к О, (рис. в). Кориолисово ускорение равно

Следовательно, его величина (замечаем, что v=OiC-ш^) w = 2шт) sin 90° = 2 4 4 20 = 640 см/сек^;

оно направлено согласно правилу векторного произведения параллельно оси у (рис. в).

Находим теперь сумму ускорений w. и О), направленных но одной прямой в разные стороны:

wl - = 320 cm/ccki

Найдем теперь ускорение точки С. Это ускорение также можно определить различными способами.

Первый способ - ускорение точки С складывается из осе-стремительиого и вращательного ускорений



490 вРАЩЕниг. твёрдого тела вокруг неподвижной точки [гл. vn Тогда величина полного ускорения точки С

W(, = V(w(,f -f (wf, - wf = 320 v2 см/сек^;

OHO направлено под прямым углом к ОС.

Переходим к определению ускорения точки D.

Первый способ. Применим формулу распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной точки:

Осестремительпое ускорение по величине равно

= 0D <и'- =201/2/-4.=Т = 640 1/2 см!сек\

Оно направлено от D к О (рис. г). Вращательное ускорение определяется формулой

следовательно, модуль вращательного ускорения

ffi.f = £ OD = 16 201/2 = 3201/2 см/сек'-

Это ускорение направлено перпендикулярно к 0D (рис. г). Величина полного ускорения точки D

Отд = l/(w°7-f (да) - 3201/ГО с м/сек'.

Второй способ определения ускорения точки D основан па использовании теоремы Кориолиса:

Переносное ускорение по величине равно

w<=OD- sin 45°. = 20 16 = 320 см/сек^

и направлено от D к оси z по кратчайшему направлению (рис. д). Модуль относительного ускорения будет:

tw2,= 0,D-o)= 20-16 = 320 см/сек\

Это ускоре[1ие направлено от D к Oi (рис. д). Ускорение Кориолиса дается фор.мулой

w = 2(0 Xv ,

где D=OiD-4) = 80 см/сек. Оно направлено перпендикулярно к плоскости OCD за рисунок. Величина ускорения Кориолиса равна te- = 2uiv sin 90° = 2 4 80 = 640 см/сек'.

Его направление совпадает с (рис. д).



320 /То ~

320 /10

/То

Задача 7.9. На рис. а схематически изображен мелышчный бегун с неподвижным направляющим диском /. Ведущий вал / и опорная


К задаче 7.9.

плита могут вращаться вокруг вертикальной оси независимо друг от flpyia. На вал OOi бегуна V наглухо насажено коническое кслесо IV радиуса г, которое катится без скольжения по пеподвижнсму диску 1П радиуса а.

Определить относительную угловую скорость и> вращения бегуна вокруг его оси OOi, а также угловую скорость u>ir, которую должна иметь опорная плита. Длина вала OOi равна Ь, радиус бегуна R. Колесо IV обегает неподвижный диск за 4 сек.

Рещение. Движение бегуна сложное, оно состоит из вращения оси бегуна OOj вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, и вращения бегуна вокруг его собственной оси 00. Первое из этих движений - вращение вокруг вертикали - будем считать переносным

Таким образом, величина ускорения точки D

и>о = l/(®y-(-(%-f и = 320 У\0 см1сек\ Направляющие косинусы определяются формулами:



492 BPAuiEHHE ТВЕРДОГО Ti-лл ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ точки (ГЛ. vn

диижеинем, а второе - вращение вокруг оси симметрии бегуна - относительным движением. Угловая скорость переносного вращения бегуна равна

Величина скорости центра А конического колеса IV равна

а-./ОА - -а.

Мгновенная ось вращения колеса IV проходит через неподвижный HrapiH-ip О и точку касания колеса с неподвижной плитой М. Ли1Н1Я ОМ составляет с осью ОА угол а. Из треугольника ОАМ находим:

г

sin я - ----,

а

COS о. - =. Ya---r-

Кратчайшее расстояние от центра колеса А до мгновенной оси вра-ще1шя ОМ равно

ЛР = 0/1. sin а = -

Величина мгповепиой угловой скорости колеса IV равна

= АР - 71 = 2? У^

Если предположить, что скорость точки А в положении, ноказанпом на рис. а, направлена перпендикулярно к чертежу, на читателя, то векторное равенство

будет иметь вид, нзображеппь;й на рис. б. Отсюда видно, что

ч>г = ш, ctg а = coj cos а.

Подставляя значения тригонометрических функций нз (1), получаем

а -а

=- >- - .

Эту же угловую скорость вокруг осп 00) имеет и бегун \\ состав-ляюип1й с коническим колесом IV одно твердое тело. Величина скорости центра Oj бегуна V будет:

Скорость нижней точки бегуна Q может быть найдена двумя способами.



Тогда находим:

QM, = 0,0 - 0,УИ, = R-.

Кратчайшее расстояние точки Q от мгновешюй оси вращения будет:

а

QK=QMi cosa= /? --\ < j

Тогда

Второй способ. Скорость точки бегуна Q складывается из переносной скорости вращения вокруг вертикальной оси и относительной скорости вращения вокруг горизонтальной оси бегуна 00,. Обе эти скорости в положении, изображенном на рисунке, перпендикулярны плоскости чертежа, но направлены в разные стороны: переносная скорость v, - к нам, относительная скорость - от нас, причем Vrv. Тогда величина скорости течки Q будет:

Точка касания опорной плиты с бегуном имеет такую же скорость: ti = t)q. Отсюда вычисляем величину угловой скорости вращения плиты:

2\br

Направление вращения плиты - обратное направлению вращения вала бе1уна.

Задача 7.10. В условиях предыдущей задачи найти ускорения точек А и М конического колеса и верхней точки С бегуна.

Решение. Предварительно определим абсолютное угловое ускорение бегуна как производную абсолютной угловой скорости по времени

Первый способ. Рассмотрим бегун в абсолютном вращении вокруг мгновенной оси ОМ. Продолжим эту ось до пересечения с радиусом OiQ. Из подобия треугольников ОАМ и OOiMi имеем:

а b



По величине (л^ не меняется, конец ее вектора описывает окружность радиуса с угловой скоростью ы^. Угловое ycKopeirne

С


А

а

О


У

С

к задаче 7.10.

согласно (1) можно рассматривать как скорость движения конца вектора Ыд. Вектор углового ускорения г направлен перпендикулярно к чертежу, на читателя, и численно равен (рис. а)



Wm = x ом + ш„ X X ом).

Ускорения точек могут быть найдены двумя способами: применением теоремы Ривальса или применением георемы Кориолиса.

Первый способ (теорема Ривальса). Воспользуемся для определения ускорения точек А, М v\ С формулой

да = щ,вр щ,ос g X f Г) где вместо г будем подставлять последовательно радиусы-векторы

точек А, М vl С.

1) Для ускорения точки А имеем:

г д = г X ОЛ + X X ОА). Вектор г X ОА направлен вертикалыю вверх и равен но модулю

и) = г ОЛ = .

Вектор Юд X ОА направлен параллельно оси z к нам и равен по величине

ОЛ sin а = (Uq =eC

Вектор X (<*а X ОЛ) направлен нернендикулярно к cOq и оси z (по которой расположен второй сомножитель векторного произведения) В1ЩЗ (рис. б) и равен по величине

И) / = U) ш . а -sin 90 = --у а - -1- г\ Лае f г ,

Проекции ускорения точки Л на оси координат будут: w = ~ w°l = - и>° = sin а = - ш^а;

iula <>;

Ау = % - % = 7 - cos а = ---= 0.

Следовательно, ускореште точки Л направлено горизонтально влево ио оси X и равно по модулю

Примечание. Точка А, как и др\гие точки оси 00 совершает вращение вокруг всртика.тыюй оси с постоянной угловой скоростью <о^ и имеет поэтому только 1юрмальное ускорение, равное и>д = <о2.а, направленное к оси враитения, т. е. горизонтально влево. Естественно, что применение теоремы Ривальса привело к тому же результату.

2) Для ускорения точки М имеем:



Векгор £ X OAf направлен перпендикулярно к линии ОМ вверх и равен по величине

<Ео J--

Вектор (Од X равен нулю, так как направления сомножителей совпадают, следователыю,

Итак, полное ускорение точки М состоит из ее вращательного ускорения и равно по величине

Оно направлено от точки М перпендикулярно к ОМ. 3) Для ускорения точки С имеем:

= е X ОС 4- со, X ( а X ОС).

Вектор е X ОС направлен в плоскости ху перпендикулярно к ОС вверх и равен но величине

WI? = Е . ОС = Vb -1-

Таким образом, этот вектор лежит в плоскости ху и образует угол 3 с осью у.

Величина осестремителыюго ускорения будет: Iw.XOOaX ОС)! = шЯ

где h - длина перпендикуляр,!, опущенного из точки С на мгновенную ось ОМ, равная

hOC- sin (я -f ?) = Vb -- R} (sin а cos р -f cos a sin P).

Внося в это равенство значения функций угла а, полученные в предыдущей задаче, а также

COS 3 =

Vb- + R

получим величину осестремительного ускорения

w = Yd + b - {rb -f aR).

Осестремительпое ускорение направлено перпендикулярно к линии ОМ от точки С к мгновенной оси.



= w COS р - да; cos а ---(г^> -j- аУ?) = -

Второй способ. Рассмотрим движение бегуна как сложное в воспользуемся для нахождения ускорения точки С теоремой Кориолиса, согласно которой

За переносное движение примем вращение вокруг вертикальней оси, а за относительное - вращение вокруг оси 00,. От.метнм, что для всех точек w и w- равны нулю, так как угловые скорости и не изменяются ни но величине, ни но направлению.

1) Для ускорения точки А имеем:

Нормальное ускорение в переносном движении нанравлеио к оси вращения, г. е. 1ю горизонтали влево, и равно

Нормальное ускорение в отцосительном движении равно нулю, так как точка А лежит на оси относительного вращения. Ускорение Кориолиса равно пулю, так как относительная скорость точки А равна пулю. Итак, абсолютное ускорение точки равно (рис. в)

2) Для ускорения точки М имеем:

Нормальное ускорение точки М в переносном вращении равно

Wen =

и направлено к оси переносного враитения (см. рис. д). Нормалыюе ускорение в относительном вращении равно

г

Изобразим слагаемые вектора Wq иа рис. г. Для определения величины ускорения точки С спроектируем составляюитне ускорения на оси X и у. Получаем:

w---wl? sin р -йУ; Sin а~-----y(rb-\-aR) =



Величина абсолютного ускорения точки С равна

= УШ - + iabrR + 4aRV + aR.

Задача 7.11. В автомобильном дифференциале (рис. а) вращение от оси мотора 7 посредством конической передачи 2 и 5 передается

и направлено к осн относительного вращения (на рисунке вверх). Ускорение Кориолиса направлено вправо и равно

= 2u)-VrSin90° = 2ш^ш,-г = 21-а.

Направив оси хну, как показано на рисунке, проектируем слагаемые ускорения на эти оси:

w - - и>, -\- W, = - ш^а -)- 2соа = ш^а, Абсолютное ускорение точки М равно

w=yb%t --= ~ У^ч^=$ 1/Рм

3) Для ускорения точки С имеем:

Нормальное ускорение в переносном вращении равно

и направлено к оси переносного вращения, т. е. влево (рис. е). Нормальное ускорение точки М в относителыюм вращении направлено от Л4 к оси относительного враще1шя 00 т. е. вниз, и равно

rn = <R = -,- -

Ускорение Кориолиса направлено влево и равно

W, = 2oiVr sin 90° = 2(00),./? = 20)?,

Проектируя составляющие абсолютного ускорения точки С на оси координат, находим:

Wcx = - ®U - Wc = - <olb - 2ш=

су-- -



1 ... 46 47 48 49 50 51