Навигация
|
Главная » Мануалы ние точки С обр зй оси; следовател Осестремительное ускорение точки С обращается в нуль, так как точка лежит иа мгноиеииой оси; следовательно, Величина ускорения = ttp = £ ОС sin 90° 16 20 v2 = 320 v2 см!сек'. Это ускорение лежит в плоскости ООС, перпендикулярной к и образует прямой угол с ОС (рис. б). Второй способ определения ускорения точки С основан на теореме сложения ускорений Переносное ускорение точки С есть ускорение при вращении вокруг оси Z с угловой скоростью <о^. Величина перенос1Юго ускорения равна -w = ОС sin 45°. ш-J = 20 16 = 320 см/сек'. Это ускорение направлено от точки С по перпендикуляру к оси z, т. е. параллельно оси у (рис. в). Относительное ycKopeinie точки С есть ускорение при вращении вокруг оси у с угловой скоростью м^. Его величина щ, = OiC <о2 = 20 16 = 320 см/сек^ Оно направлено от точки С к О, (рис. в). Кориолисово ускорение равно Следовательно, его величина (замечаем, что v=OiC-ш^) w = 2шт) sin 90° = 2 4 4 20 = 640 см/сек^; оно направлено согласно правилу векторного произведения параллельно оси у (рис. в). Находим теперь сумму ускорений w. и О), направленных но одной прямой в разные стороны: wl - = 320 cm/ccki Найдем теперь ускорение точки С. Это ускорение также можно определить различными способами. Первый способ - ускорение точки С складывается из осе-стремительиого и вращательного ускорений 490 вРАЩЕниг. твёрдого тела вокруг неподвижной точки [гл. vn Тогда величина полного ускорения точки С W(, = V(w(,f -f (wf, - wf = 320 v2 см/сек^; OHO направлено под прямым углом к ОС. Переходим к определению ускорения точки D. Первый способ. Применим формулу распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной точки: Осестремительпое ускорение по величине равно = 0D <и'- =201/2/-4.=Т = 640 1/2 см!сек\ Оно направлено от D к О (рис. г). Вращательное ускорение определяется формулой следовательно, модуль вращательного ускорения ffi.f = £ OD = 16 201/2 = 3201/2 см/сек'- Это ускорение направлено перпендикулярно к 0D (рис. г). Величина полного ускорения точки D Отд = l/(w°7-f (да) - 3201/ГО с м/сек'. Второй способ определения ускорения точки D основан па использовании теоремы Кориолиса: Переносное ускорение по величине равно w<=OD- sin 45°. = 20 16 = 320 см/сек^ и направлено от D к оси z по кратчайшему направлению (рис. д). Модуль относительного ускорения будет: tw2,= 0,D-o)= 20-16 = 320 см/сек\ Это ускоре[1ие направлено от D к Oi (рис. д). Ускорение Кориолиса дается фор.мулой w = 2(0 Xv , где D=OiD-4) = 80 см/сек. Оно направлено перпендикулярно к плоскости OCD за рисунок. Величина ускорения Кориолиса равна te- = 2uiv sin 90° = 2 4 80 = 640 см/сек'. Его направление совпадает с (рис. д).
Задача 7.9. На рис. а схематически изображен мелышчный бегун с неподвижным направляющим диском /. Ведущий вал / и опорная К задаче 7.9. плита могут вращаться вокруг вертикальной оси независимо друг от flpyia. На вал OOi бегуна V наглухо насажено коническое кслесо IV радиуса г, которое катится без скольжения по пеподвижнсму диску 1П радиуса а. Определить относительную угловую скорость и> вращения бегуна вокруг его оси OOi, а также угловую скорость u>ir, которую должна иметь опорная плита. Длина вала OOi равна Ь, радиус бегуна R. Колесо IV обегает неподвижный диск за 4 сек. Рещение. Движение бегуна сложное, оно состоит из вращения оси бегуна OOj вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, и вращения бегуна вокруг его собственной оси 00. Первое из этих движений - вращение вокруг вертикали - будем считать переносным Таким образом, величина ускорения точки D и>о = l/(®y-(-(%-f и = 320 У\0 см1сек\ Направляющие косинусы определяются формулами: 492 BPAuiEHHE ТВЕРДОГО Ti-лл ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ точки (ГЛ. vn диижеинем, а второе - вращение вокруг оси симметрии бегуна - относительным движением. Угловая скорость переносного вращения бегуна равна Величина скорости центра А конического колеса IV равна а-./ОА - -а. Мгновенная ось вращения колеса IV проходит через неподвижный HrapiH-ip О и точку касания колеса с неподвижной плитой М. Ли1Н1Я ОМ составляет с осью ОА угол а. Из треугольника ОАМ находим: г sin я - ----, а COS о. - =. Ya---r- Кратчайшее расстояние от центра колеса А до мгновенной оси вра-ще1шя ОМ равно ЛР = 0/1. sin а = - Величина мгповепиой угловой скорости колеса IV равна = АР - 71 = 2? У^ Если предположить, что скорость точки А в положении, ноказанпом на рис. а, направлена перпендикулярно к чертежу, на читателя, то векторное равенство будет иметь вид, нзображеппь;й на рис. б. Отсюда видно, что ч>г = ш, ctg а = coj cos а. Подставляя значения тригонометрических функций нз (1), получаем а -а =- >- - . Эту же угловую скорость вокруг осп 00) имеет и бегун \\ состав-ляюип1й с коническим колесом IV одно твердое тело. Величина скорости центра Oj бегуна V будет: Скорость нижней точки бегуна Q может быть найдена двумя способами. Тогда находим: QM, = 0,0 - 0,УИ, = R-. Кратчайшее расстояние точки Q от мгновешюй оси вращения будет: а QK=QMi cosa= /? --\ < j Тогда Второй способ. Скорость точки бегуна Q складывается из переносной скорости вращения вокруг вертикальной оси и относительной скорости вращения вокруг горизонтальной оси бегуна 00,. Обе эти скорости в положении, изображенном на рисунке, перпендикулярны плоскости чертежа, но направлены в разные стороны: переносная скорость v, - к нам, относительная скорость - от нас, причем Vrv. Тогда величина скорости течки Q будет: Точка касания опорной плиты с бегуном имеет такую же скорость: ti = t)q. Отсюда вычисляем величину угловой скорости вращения плиты: 2\br Направление вращения плиты - обратное направлению вращения вала бе1уна. Задача 7.10. В условиях предыдущей задачи найти ускорения точек А и М конического колеса и верхней точки С бегуна. Решение. Предварительно определим абсолютное угловое ускорение бегуна как производную абсолютной угловой скорости по времени Первый способ. Рассмотрим бегун в абсолютном вращении вокруг мгновенной оси ОМ. Продолжим эту ось до пересечения с радиусом OiQ. Из подобия треугольников ОАМ и OOiMi имеем: а b По величине (л^ не меняется, конец ее вектора описывает окружность радиуса с угловой скоростью ы^. Угловое ycKopeirne С
О
к задаче 7.10. согласно (1) можно рассматривать как скорость движения конца вектора Ыд. Вектор углового ускорения г направлен перпендикулярно к чертежу, на читателя, и численно равен (рис. а) Wm = x ом + ш„ X X ом). Ускорения точек могут быть найдены двумя способами: применением теоремы Ривальса или применением георемы Кориолиса. Первый способ (теорема Ривальса). Воспользуемся для определения ускорения точек А, М v\ С формулой да = щ,вр щ,ос g X f Г) где вместо г будем подставлять последовательно радиусы-векторы точек А, М vl С. 1) Для ускорения точки А имеем: г д = г X ОЛ + X X ОА). Вектор г X ОА направлен вертикалыю вверх и равен но модулю и) = г ОЛ = . Вектор Юд X ОА направлен параллельно оси z к нам и равен по величине ОЛ sin а = (Uq =eC Вектор X (<*а X ОЛ) направлен нернендикулярно к cOq и оси z (по которой расположен второй сомножитель векторного произведения) В1ЩЗ (рис. б) и равен по величине И) / = U) ш . а -sin 90 = --у а - -1- г\ Лае f г , Проекции ускорения точки Л на оси координат будут: w = ~ w°l = - и>° = sin а = - ш^а; iula <>; Ау = % - % = 7 - cos а = ---= 0. Следовательно, ускореште точки Л направлено горизонтально влево ио оси X и равно по модулю Примечание. Точка А, как и др\гие точки оси 00 совершает вращение вокруг всртика.тыюй оси с постоянной угловой скоростью <о^ и имеет поэтому только 1юрмальное ускорение, равное и>д = <о2.а, направленное к оси враитения, т. е. горизонтально влево. Естественно, что применение теоремы Ривальса привело к тому же результату. 2) Для ускорения точки М имеем: Векгор £ X OAf направлен перпендикулярно к линии ОМ вверх и равен по величине <Ео J-- Вектор (Од X равен нулю, так как направления сомножителей совпадают, следователыю, Итак, полное ускорение точки М состоит из ее вращательного ускорения и равно по величине Оно направлено от точки М перпендикулярно к ОМ. 3) Для ускорения точки С имеем: = е X ОС 4- со, X ( а X ОС). Вектор е X ОС направлен в плоскости ху перпендикулярно к ОС вверх и равен но величине WI? = Е . ОС = Vb -1- Таким образом, этот вектор лежит в плоскости ху и образует угол 3 с осью у. Величина осестремителыюго ускорения будет: Iw.XOOaX ОС)! = шЯ где h - длина перпендикуляр,!, опущенного из точки С на мгновенную ось ОМ, равная hOC- sin (я -f ?) = Vb -- R} (sin а cos р -f cos a sin P). Внося в это равенство значения функций угла а, полученные в предыдущей задаче, а также COS 3 = Vb- + R получим величину осестремительного ускорения w = Yd + b - {rb -f aR). Осестремительпое ускорение направлено перпендикулярно к линии ОМ от точки С к мгновенной оси. = w COS р - да; cos а ---(г^> -j- аУ?) = - Второй способ. Рассмотрим движение бегуна как сложное в воспользуемся для нахождения ускорения точки С теоремой Кориолиса, согласно которой За переносное движение примем вращение вокруг вертикальней оси, а за относительное - вращение вокруг оси 00,. От.метнм, что для всех точек w и w- равны нулю, так как угловые скорости и не изменяются ни но величине, ни но направлению. 1) Для ускорения точки А имеем: Нормальное ускорение в переносном движении нанравлеио к оси вращения, г. е. 1ю горизонтали влево, и равно Нормальное ускорение в отцосительном движении равно нулю, так как точка А лежит на оси относительного вращения. Ускорение Кориолиса равно пулю, так как относительная скорость точки А равна пулю. Итак, абсолютное ускорение точки равно (рис. в) 2) Для ускорения точки М имеем: Нормальное ускорение точки М в переносном вращении равно Wen = и направлено к оси переносного враитения (см. рис. д). Нормалыюе ускорение в относительном вращении равно г Изобразим слагаемые вектора Wq иа рис. г. Для определения величины ускорения точки С спроектируем составляюитне ускорения на оси X и у. Получаем: w---wl? sin р -йУ; Sin а~-----y(rb-\-aR) = Величина абсолютного ускорения точки С равна = УШ - + iabrR + 4aRV + aR. Задача 7.11. В автомобильном дифференциале (рис. а) вращение от оси мотора 7 посредством конической передачи 2 и 5 передается и направлено к осн относительного вращения (на рисунке вверх). Ускорение Кориолиса направлено вправо и равно = 2u)-VrSin90° = 2ш^ш,-г = 21-а. Направив оси хну, как показано на рисунке, проектируем слагаемые ускорения на эти оси: w - - и>, -\- W, = - ш^а -)- 2соа = ш^а, Абсолютное ускорение точки М равно w=yb%t --= ~ У^ч^=$ 1/Рм 3) Для ускорения точки С имеем: Нормальное ускорение в переносном вращении равно и направлено к оси переносного вращения, т. е. влево (рис. е). Нормальное ускорение точки М в относителыюм вращении направлено от Л4 к оси относительного враще1шя 00 т. е. вниз, и равно rn = <R = -,- - Ускорение Кориолиса направлено влево и равно W, = 2oiVr sin 90° = 2(00),./? = 20)?, Проектируя составляющие абсолютного ускорения точки С на оси координат, находим: Wcx = - ®U - Wc = - <olb - 2ш= су-- - 1 ... 46 47 48 49 50 51 |