|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Решение. Направим ось х по вертикали В1шз, взяв начало отсчета в положении статического равновесия груза. В начальный момент груз подвешивался к конну /И„ [!едеформи-ропанной пружины, следовательно, он находился выше положения статического равновесия на величину статической деформации пружины Д„= где с - коэффициент упругости пружины. Отсутствие в начальный момент толчка указывает на движе- у , ние без начальной скорости. Итак, начальные условия движения груза имеют вид: при / = 0 jc = Xo = - - , jf = Xo = 0 (хо имеет знак минус, так как ось х нанравлена но вертикали вниз, а груз в начальный момент находился над положением статического равновесия). Изобразим груз в положении, смещенном относительно нуля на X вниз н предположим, что он движется в сторону возрастания х, т. е. вниз. При этом пружина растягивается, и ее упругая сила F (восстанавливающая сила) равна f= - сД, где Д - смещение конца пружины из ненапряженного состояния, т. е. Д^ == jWoAf = Д„-г Следовательно, Г, = -с(Д„-[-л-). (I) м К задаче 244. Кроме силы f, к грузу приложен его вес р. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х: тХ--=РЛ-Рх. (2) Применив формулу (1), имеем - X = Я - сД - сх. Рассмотрим груз в положении статического равновесия. К грузу приложен его вес р, направленный по вертикали вниз, и статическая упругая сила которая появилась при растяжении пружины на Д„ под действием веса груза, т. е. F - cS. Упругая сила f нанравлена но вертикали вверх. Из условия равновесия груза следует: находим t = 0 х = Хо = -. а в (7) t==0 х = хо = 0, Ci = X(,~ - , Q = 0. Уравнение (6) движения груза после подстановки значений Q и Са принимает вид р х==--cos kt, с Воспользовавшись численными данными, получаем; А = /1=121. 4=6,8 см. д: = -6,8cos IQt см, или, делая множитель при тригонометрической функции положительным: л: = 6,8 sinl2 --j см. Воспользовавшись этим результатом, запишем дифференциальное уравнение (3) в виде x + kx = 0, (5) где k -р. Дифференциальное уравнение (5) свободных колебаний груза является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид Корни характеристического уравнения мнимые: ).) 2 = iti. Следовательно, решение уравнения записывается в виде x=Q cos kt -J- Са sin kt. (6) Для определения постоянных интегрирования Q и Q вычислим: X = ~ Qk sin kt-\-Qk cos kt. (7) Подставив в (6) начальное условие движения: Сопоставляя этот результат с уравнением свободных колебаний, записанным в общем виде: х = а sin (kt-\-а.), видим, что амплитуда колебаний а = 6,8 см, начальная с[)аза колебаний а = - и круго- вая частота колебаний k=l2 -. сек Период колебаний груза определяется по формуле 7= = j2 = 0,52 сек. Эти результаты можно непосредственно получить с помощью формул: = /0+==6,8 см, a = arctg=arctg(-cx>) = -. Задача 245. Под действием груза, подвешенного к концу пружины, пружина получила статическое удлинение ti. = b см. Найти закон колебаний этого груза на пружине, если в начальный момент грузу, находившемуся в положении статического равновесия, была сообщена вверх начальная скорость -Do = 28 cMJceK. Решение. Направим ось х по вертикали вниз, взяв начало отсчета в положении статического равновесия груза. В этом положении пружина под действием силы тяжести груза растянута на Д„. До сообщения начальной скорости груз находится в равновесии под действием двух сиа: веса р и упругой силы пружины направленной по вертикали вверх (см. рис. а). По модулю F = сД , где с - коэффициент упругости пружины. Запишем условие равновесия груза: или (1) Р-сД = 0. К задаче 245. Начальные условия движения груза имеют вид: при = 0 x = x,~ii, x = Xs, = - 28 см/сек (jfo отрицательно, так как начальная скорость t>o.. сообщенная грузу, направлена вверх).  84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ точки [ГЛ. \[Н Изобразим груз в промежуточном положении М, соответствующем его положительной абсциссе х (см. рис. б). При этом пружина оказывается растянутой на Д = Д|.т--л:, а упругая сила f (восстанавливающая сила) - направленной по вертикали вверх. Тогда F, = -c, = -ci -\-x). (2) К грузу, помимо упругой силы f, приложен его вес р. Составим дифферещщалыюе уравнение движения груза в проекции на ось х: mx = P-\-F. Воспользовавшись формулами (2) и (1), получим: x-kx = Q, (3) где Вычисление непосредственно провести невозможно, так как неизвестен коэффициент упругости с пружины. Подставив в формулу (1) P = tng, представим ее в виде - = --. Следовательно, (Д^. в условии задачи задано). Интегрирова1ше дифференциального уравнения (3) не представляет затруднений. Составим соотЕ1етствующее характеристическое уравнение Х'-- = 0, откуда li = ±ki. Так как корни характеристического уравнения мнимые, то решение уравнения имеет вид х= С, cos kt -- Сз sin kt. (5) Для определения постоянных интегрирова1ШЯ Q и d найдем: х = - Ciksm kt-\- dk cos kt. ({)) Подставим в уравнение (5): = 0, х = х^ = 0, а в ypaBneinie (fi): t = Q, х = х,. Тогда С, = 0, d = - (Следовательно, уравнение (5) принимает вид x = sinkt. (7) Использовав численные данные, получим: Итак, груз совершает на пружине гармонические колеба1шя, согласно уравнению х = -2 sin \4t см. Делая множитель при тригонометрической функции положитель.....м, имеем: х = 2 sin (14/-1--::) с.н. Амплитуда колебаний груза а = 2 см, начальная фаза колебаний a = iz, круговая частота колебаний k=\4 сек~. Период колебаний Т можшз вычислить по формуле . 1г. 2т: л, , - 7=- ==,- = 0,4о сек. Задача 246. Груз веса Р==9,8 кг лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Слепа и справг он соединен с концами двух горизонтально расположенных и[)ужин (см. рисунок) с коэффициентами упругости с, = 4 кгсм, £2 = 5 кг;см. В положении рав1ювесия груза обе -7777777777777777777777777777.
р к задаче 246. пружины недсформировапы. Найти уравнение движения и период колебаний груза, если в начальный момент он был cMenien из положения равновесия направо на 4 см и ему была сообщена направо начальная скорость 90 см/сек. Решение. Направим ось х по горизонтали направо, взяв начало отсчета в положении равновесия груза. Запишем начальные условия движения груза: при / = 0 Хо~4 с.ч, Хо = 90 см/сек. Изобразим груз в промежуточном положении, сме1це1Н1ым по от-ношешгю к началу отсчета направо на х, и представим, что он движется в сторону возрастания х, т. е. направо. При этом правая пружина сжимается на х, и ее упругая сила направлена налево. Одновременно левая пружина растягивается на дг, и, следовательно, ее упругая сила Fj также направлена палево, т. е, Fj., = - с,х, F, = - с^. Кроме двух восстанавливающих сил F, и F;, к грузу приложен его вес р и нормальная сила реакции И гладкой плоскости. tga = *-°. (9) Воспользовавшись численными значениями, получим из формулы (2): л 1,/(g. + c,)g -./ (4 + 980 1 Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на ось дг. В данном случае получим: : = F + F, или x = -(c,JrC,)x. (1) Как следует из дифференциального уравнения (1), обе пружины можно заменить одной эквивалентной пружиной, коэффициент упругости которой равен сумме коэффициентов упругости двух да1шых пружин, т. е. с = с,-j-c,. Запишем дифферегщиалыюе уравнение (I) в виде Jc-fAx=0, (2) где й - р . Составим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2): X* Я' = 0, откуда Хи = ±Л/. Следовательно, решение уравнения (2) имеет вид x=Ci cos kt 4- d sin kt. (3) Для определения постоянных интегрирования Ci и Cj вычислим: x = - Cik sin kt dk cos kt. (4) Подставив в уравнение (3) t - 0, x = X(), a в уравнение (4) = 0, х = л'о, получим: Ci = Хо, Q ==. Тогда уравнение (3) принимает вид х = Ха COS kt + - sin kt. (5) Положим Xf, = a sin а, = я cos а, (6) где а и а - постоянные. Тогда уравнение (5) колебаний груза можно представить так: л: = а sin (А^ + а). (7) Амплитуда колебаний а и начальная фаза колебаний а определяются из системы уравнений (6): а из формулы (9): откуда S*- ;f - 90 - 3 4 а = arctg = 0,92 рад. Итак, закон колебаний груза дается формулой д: = 5 sin (30-1-0,92) см, причем период колебаний =¥==з-о-о.2-- Задача 247. Решить предыдущую задачу в предположе1ши, что обе пружины соединены последовательно (см. рисунок). с, 2 F y.v/f /. 7777777777 К задаче 247. /777/77777777 Р Решение. Начало отсчета оси х принимаем в положении ран-гювесия груза при недеформированных пружинах. Ось х направляем но горизонтали направо. Начальные условия движения остаются прежними: при = 0 х = Хо==-1 см, x = jC(, = 90 CMjCeK. Изобразим груз в промежуточном положении смешешн.ьм направо на X. При этом в пружинах возгшкает восстанавливающая сила f, направленная налево. Вычислим коэффициент упругости с пружины, эквивалентной двум данным пружинам. Суммарное удлинение пружин равно смещению груза, т. е. поэтому х1 = . (1) При смещении гру.за направо на х каждая из пружин получила удлинение. Сумма этих удлинений равна lj, т. е. Х|=Х, + Х,1. (2) ИЗ формулы (8): Так как каждая из пружин растягивается под действием силы F, то 1-.1=,-, = (3) Подставив формулы (1) и (3) з формулу (2), находим: Величины, обратные коэффициентам упругости (жесткости), называются коэффициентами податливости. Итак, при последовательном соединении пружин податливость эквивалентной пружины равна сумме по-датливостей данных пружин. Из формулы (4) находим коэффициент упругости с эквивалентной пружины: В дальнейшем вместо двух данных последовательно соеди11е1пн.1Х пружин будем рассматривать одну эквивалентную пружину с коэффициентом упругости с. При смещении груза направо на х проекция восстанавливающей силы Fy направленной налево, равна F= - cx =--лг. (6) Кроме силы F, к грузу приложены следующие силы: Р - его вес, R-нормальная сила реакции гладкой горизонтальной плоскости. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось X: С с mx = F или тх =--т^х. Полученное уравнение перепишем так: x-\-kx = 0, (7) где k - % = 14,9 -. (8) У + с, Р сек Нетрудно обнаружить тождественность дифференциального уравнения (7) и дифференциального уравнения (2), полученного в предыдущей задаче. Поэтому можно, минуя промежуточные выкладки, записать ответ на основании формул (7), (8) и (9) предыдущей задачи; 1g а ==-1=0.66, а = arctg 0,60 = 0,58 рад. X = 7,25 sin (14,9/ -f 0,58) см. Период колебаний Задача 248. Решить задачу 246 в предположении, что обе пружины соединены параллельно. Груз считать точечной массой. 1-*ешение. Выбираем начало отсчета, направляем ось х и изображаем силы Р, Ри Fa соответствии с решением предыдущей задачи. 7777777777777777777777777: 7777777777 Р К задаче 248. 7777, Заменяем две параллельные пружины одной эквивалентной пружиной. При смещении груза направо на х обе пружины также растягиваются на X, т. е. Xx=x.i = x. При этом в пружинах возникают восстанавливающие силы F и F<i, сумма которых равна F, т. е. / = = /1-[-/.2. Разделив последнее равенство почленно на л: и учиты- вая, что л: = л;, 1 = 1X91, получим: 11 Так как ---. - с,-- = с ;- = 2 то окончательно Таким образом, при параллельном соединении пружин коэффициент упругости эквивалентной пружины равен сумме коэффициентов упругости данных пружин. Последующий ход решения задачи повторяет решение двух пре-дыдуп|,их задач. Использовав формулу (1), запишем сразу окончательные результаты: i ,30-4 ,4 , а = arctg -А- = arctg = arctg - = 0,92 рад, Xq ju о x = 5 sin (30if-f 0,92) CM, (При выполнении конструкции, соответствующей этой задаче, для каждой из пружин должна быть предусмотрена отдельная направляющая.) Задача 249. Груз веса Р=98 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с= 10 г/си/. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: R = v, где р = 1,6 гсек/см. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 4 си/ и ему была сообшена вниз начальная скорость Va = 4 см/сек. Решение. Направим ось х вдоль пружины по вертикали вниз, взяв начало отсчета в положении статического равновесия груза. Запишем начальные условия движения груза: при г^=0 х = Ха = 4 см, x=jf = 4 cMiccK. Изобразим груз в положении, при котором его абсцисса х положительна. Так как пружина при этом [юлучит удлинение Д = Д„-)-л:, то проекция на ось X упругой силы f пружины, направленной но вертикали вверх, равна  Предположим, что груз движется в сторону возрастания абсциссы х. Сила сопротивления R движению груза на-К задаче 249. правлена противоположно скорости, т. е. по вертикали вверх. Кроме сил F и /?, к грузу приложен его вес Р. Составим дифференциальное уравнение движения груза: тх - PF-\- R. Подставив в это уравнение R = -pj и значение F. из формулы ((), находим: Р Нетрудно видеть, что Р-сЛ = 0. Действитель[ю, в положе[ и статического равновесия к грузу при-ложенЕ,! следующие силы: р - его вес, направленнь|й по вертикали вниз, и статическая упругая сила пружины Ft=cA, направленная 1 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 66 |
 |
 |