Навигация

Главная » Мануалы

1 2 3 4 ... 66

Дифференциальные уравнения

В механике теории относительности масса является величиной переменной, зависящей от скорости движения материальной точки).

В технической системе единиц, где за основные единицы принять!: единица длины-метр, единица силы-килограмм и единица времени- секунда, масса является производной единицей, измеряемой в кгсек'/м.

Аксиома третья (принцип равенства действия и противодействия). Сила, с которой материальная точка .4 действует на материальную точку В (действие), равна по модулю и противоположна но направлению силе, с которой точка В действует на точку А (нро-тиводейсткис). Обе силы направлены по одной линии действия. C.ie-дует иметь в виду, что силы, именуемые действием и противодействием, приложены к разным материальным точкам. Так, е) случае несвободной материальной точки, к точке приложеЕЕО действие), а к связи, иаложеЕиюй на материальную точку, приложено иротиио-действие .

Аксиома четвертая (закон независимости действия сил). При одновременном действии нескольких сил ускорение материальной точки равно векторной сумме ускорений, которые имела бы эга точка при действии каждой из сил в отдельности:

,111 = tUl + -}-... +

где = w,= -,..., W -,-.

Это значит, что при определении ускорения материальной точки можно пользоваться методом суперпозиции (наложения). Следует иметь в виду, что при определении скорости материальной точки аналогичная суперпозиция не имеет места, т. е. скорость мате11иальио(( точки не равна векторной сумме скоростей, KOTopi.ie имела бы эта точка при действии каждой из сил в отдельности.

ГЛАВА VIII

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫК УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 1. Основные формы дифференциальных урапнений динамики материальной точки

Ускорение w материальной точки массы т, движун,ейся под действием приложенных к ней сил р^,..., f , определяется с помощью основного закона динамики в сочетании с законом независимости действия сил;



Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на осп декартовых координат имеют вид:

п п п

/(-=1 k--\

здесь X, у, Z - проекции ускорения w, л / ,., / и - нроекпнн силы 1\ на соот1)стсгвуюи1ие оси декартовых координаг.

Лпфференцпальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси натурального триэдра записываются в форме:

т

здесь V. - проекция скорости на направление касательной к траскто-])ии, г' - .модуль скорости, р-радиус к-риви:л1Ы траектории и данной

точке, / , - нроек-г\ ции силы на оси нату-

рального триэдра (-: - касательная, п - главная но])-ыаль, b - бинормаль).

К'ак следует из нослед-него уравнения, проекция равнодейстпукнцей сил, нрн-ложе1ПН.1Х к материальной точке, на бннор.чаль равна пулю, ч. е. траектория pfc-полагается так, что рагию-дейс гну10Н1.ая сила оказм-вается леманцсй в соприка-саю1цсйся н.юскости, нровсдсчнюй в данной точке траектории.

Д:.(()ферепииальгн,1е урап.юпня гглоского двиА-епия йштсриальной точки в полярных координатах и.меют вид:


Рис. 110.

т

к.-- I

здесь г - радиус-вектор точки, с - но.тярный угол (()iic. 110).

Ди(1(()ерснциальные уравнения движения .магсриа.тьной точки занн-сывакпся соответственно избранной системе координат. Так, дис})(11С-ренинальные уравнения .можно составить в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах. Ниже, в главе X, § (1 паиисаны ди(1)фереициа.1ьиые уравнения движения .магсрнальиой точки, отнесенные к любой спсте.ме коорди1;ат.



С помощью диффере1щиальн1,1х уравнений движения материальной точки можно решать две основные задачи динамики: прямую и обратную.

Прямой называется задача, и которой по заданным движению и массе материальной точки определяется равнодействующая сил, приложенных к этой точке.

Обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение.

Следующий параграф посвящен решению прямых задач динамики мaтepиaJн.нoй точки.

§ 2. Определение сил по заданному движению

(прямая задача динамики материальной точки)

Если даны уравнения движе1щя материальной точки массы т в декартовых координатах: х = /, (t), у =/,{1), г =/,(/), то проекции Р^, р^. и Р^ силы F=PJ-\- PyjFM, вызывающей это движение, определяются но формулам:

Рх = 1пх, Р^,= ту, Р^==т2, (1*)

р= /pifTpn,

COS (хСр) = - , cos (j/Pf) = , COS (zTf) = .

Таким образом, прямая задача динамики материальной точки легко решается посредством дифференцирования заданных уравнений движения точки.

Если дано уравнение движегия материальной точки массы т по траекторие!, т. е. a=f{t), то проекции Р^, Р„ и F силы F-F.x-}- г п^-]- b> вызьенающей это .тпнжение, определяются по формулам:

Я = Г^т , Р, = 0, (2*)

F = /?ГНТ, cos (тГ>) = у, cos (пГр) = , COS (О) = 0.

В формулах (2*) v = ~.

Если даны уравнения плоского движется материальной точки массы т в полярных координатах г =/, (О, ? =/2 (0> то проекции/- и Р^ силы F, вызываюи1ей это движение, онределяеотся по формулам:

Р,т{г-г^\ Р^Л[г^), (3*)

F=Vn-\-F;, cos(r>)-= . со5(оГ/=) = -.



Сила, приложеииая к материальной точке, называется центральной, если линия ее действия прохоаит во время движения через менодвиж-ную точку, называемую центром. Сила, напраплеиная к неподвижному центру, называется силой притяжения. Сила, нанравленная от неподвижного центра, называется силой отталкивания.

Движение материальной точки под действием центральной силы п[)опсходит в плоскости, проходящей через [!ектор-радиус и начальную скорость точки. Для его исследования удобно ввести полярщле координаты и использовать формулу Бине

df\r) г ~ 4тС

где С-секториальная скорость точки, которая при наличии центральной силы постоянна: С=: 5= д^б. (СекториальноИ скоростью S

называется иронзнод1гая но времени от плоптади 6 , описываемой век-тор-раднусом г Д11ижуи1ейся -очки.)

Применение формулы Binie позволяет определить закон изменения центральной силы по данном) уравнению центральной 01)биты (прямая задача). Если оказывается положительной, то центральная сила является силой отталкивания, если - отрицательной, то - силой притяжения.

Прямые задачи динамики несвободной материальной точки, в которых требуется определить задаваемую силу или силу реакции, п р и л о ж е н н у ю к т о ч к е, рекомендуется р е ui а г i> в следующем flopHflKe:

1) изобразить на рисущ<е материальную точку в текущем положении и приложенные к ней задаваемые силы;

2) применив принцип освобождаемости от связей, изобразить соответствующие силы реакций связей;

3) выбрать систему отсчета, если она не указана в условии задачи;

4) определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат;

5) составить дифференциальные уравг'ения движения материальной точки, соответствующие примятой системе отсчета;

6) из системы составленных уравнений определить искомую величину.

Если при решении прямой задачи динамики материальной точки требуется определить равнодействующую сил, приложенных к этой точке, то решение задачи сводится ь дифферемциропанию задаиньлх уравиегшй движения точки с последующим использованием формул (1*), (2*) или для плоского движения формул (3*).

Задача 211. Материальная точка движется согласно уравненилм x = at, y = bt, где а и b - постоянные. Определить силу, вызывающую это движение.



Решение. Проекции искомой силы на оси декартовых координат определяем по формулам F-=mx и F, = my. Воспользовавшись заданными ура1и1ениямн движения, находим: х = у = 0. Следовательно, f = f=0, т. е. F=0.

Эту задачу можно решить и иначе, определив траекторию и скорость точки. Точка движется по прямой у =л: с постоянной скоростью v= i/x-{-y= /a--fy. Следовательно, согласно принципу инерции, /= =0.

Задача 212. Материальная точка массы т движется согласно уравнегшям х = а cos kt, у = b sn kt. Определить силу f, вызывающую это движение, если известно, что сила зависит только от положения точки.

Решение. Проекции силы f, приложенной к материальной точке, определяются по формулам F = mx, Fy = iny. В данном случае

х = - ak cos kt, y = -bkhin kt. Следовательно,

F = - mak cos kt, Fy=- mhk sin kf.

Так как, по условию, сила f зависит от положегшя материальной точки, то ее проекции Р^ и F являются функциями координат х w у. Воспользовавшись уравнениями движения точки, получим:

F - - mk.x, f V = - mky.

Модуль силы f panefi: F~= FlF% =ml\fx

л

-- z --

к задаче 212.

у' = mkh.

где г - модуль вектор-радиуса материальной точки г = ОМ.

Направление силы f определяем с помощью направляющих коси-нусон:

Так как

cos(A-, Л = у = -cosCv, /) = у = -.

-- и у определяют углы, образуемые соответственно осями

л: и у с вектор-радиусом г, то сила направлена от М к О. Следовательно, данная материальная точка движется под действием силы притяжения к центру О, равной ио модулю F = kr. Эта сила называется центральной.

Задача 213. Материальная точка массы т движется по окружности радиуса а согласно уравнению а = Ы.



Определить силу, вызывающую это движение (з - дуговая координата, b - ностоя[Н1ая величина).

Р е HJ е и и е. Воспользуемся осями натурального триэдра я и Ь. Проекции искомой силы на =ти оси определяются по формулам:

Учитывая, что алгебраическая величина скорости точки равна v.~

dz .

- нaxoди[, что v.b. Следовательно:

dv, ,. 2

Итак, F = Q, == г ,/-- = О, т. е. Сила f, вызывающая

заданное движение материа.1ьной точки, направлена по ради-

усу окружности к се центру и по модулю равна т -.

Задача !М4. Пассажирский лифт веса Р=800 кг опу-скается вниз с ускорением и) = 0,4(, где g-ускорение силы тяжести.

Определить натяжение поддерживаюитего троса, если сила сопротивления движению f равна 0,2 веса лифта.

Решение. К лифту приложена задаваемая сила - вес р, сила сопротивления движеЕшю f, направленная в CTOpOEiy, противоположную движению, т. е. по вертикали вверх. Прим1мтн принцип освобождаемости от связей, мысленно рассечем трос и компенсируем действге отброшенной части троса на лифт силой реакции Jt, направленной по вертикали вверх. Направим ось х вдоль траектории ли()Т1, т. е. по вертикали вниз.

Запишем дифференциалы ос уравнение движения материальной точки в проекции па ось х:

к задаче 211.

В данном случае имеем:

о гкуда

R=.P-F-x.

Учитывая, что v = ra = 0,4, а F=0,2P, получим:

R = 0,AP=i\20 к>. Искомое натяжетше троса равно но модулю реакции R.



Задача 215. Груз А спускается вниз но негладкой накл01июй плоскости, расположенной под углом а к горизонту, двигаясь согласно уравнению x = bgt, де - ускорение снле.1 тяжести, а b-постоянный коэф()иннснт. Определить модуль силы трения скольжения груза о плоскость.

Решение. Вес груза А обозначим Р. К грузу приложены три силы: вес груза р и две состанляютие r и /\р силы реакции наклонной плоскости. Нормальная реакция направлена нернондику-ллрпо к наклон1и)й п.тоскости, а сила трения скольжения F - в сторону, противоположную движению груза, т. е. вдоль наклонной плоскости вверх.


К задаче 215.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проек-ннн на ось х:

тх = Р sin а - Р^. (1)

Так как x - bff, то x~1bg. Масса груза равна / = --. Теперь

уравнение (1) принимает вид

откуда определяем иско.мую величину силы трения скольжения f, груза о наклонную п.юскость:

fp = P(sin а -2г>).

Задача 216. Вагонетка веса Р канатной подвесной дороги движется lUiepyчод углом а к горизонту. Определить натяжение каната при пуске вагонетки в ход и при ее последующем рат1оме[)пом движепил, если ,пуск в ход осуществляется равноускоренно из состояния локО(Я в течение Т секунд. К копну пускового периода BaroHOiKi приобре.та скорость v. На вагонетку дсйсгвуе! сила сопрот п.7ения Р, == ./.V, где N - модуль нормального давления ва-



дифференциальные уравнения динамики точки

;гл. vnt

гопетки на канат, а/-постоянный коэффициент. Прогибом каната пренебречь.

Решение. Решаем задачу в предположении, что все силы приложены в точке М. В этой точке, помимо веса груза р, приложим суммарную нормальную реакцию n двух колес, силу реакции r каната и силу сопротивления движению f. Направим ось х вдоль каната, осуществляющего подъем вагонетки.


v y /,. ,: V/,. V /, - - v/J y /V y /7 /,

к задаче 216.

Так как пуск в ход ocyiлествляется из состояния покоя равноускоренно, то v = wT, откуда находим ускорение вагонетки w, направленное при пуске в ход вдоль каната вверх;

Запишем дифференциальное уравнение движегшя вагонетки при пуске U ход в проекции на ось л;:

Р

R - Р sin а - Fc,

RP sin a-(-F, + -A\

Учитывая, что F = fN = fP cos а, a х - тж-у, находи.м;

/ = P(5Hia+/cosa) + f.



При равномерном движении вагонетки л' = 0 и формула (I) принимает вид

= P(sin а-!-/cos а).

Искомое натяжение каната равно по модулю реакции R. Задача 217. Определить силу сопротивления воды движению лодки веса Р, если ее движение происходит согласно уравнению Р - -i-t

x-~-Vo(l-е ), где zr - нгчальная скорость движения, а - по-

стоянный коэффициент. Сила сопротивления движению является функцией только скорости лодки.


К задаче 217.

Решение. К лодке приложены силы: р - вес лодки, n-нормальная сила реакции воды, r-сила сопротивления воды движению лодки, направленная в сторону, нротивоно.южную ее движению.

Проекция скорости лодки на ось х равна

Проекция ускорения лодки на ось х имеет вид w,. = x = -fvy-\

Запишем дифференциальное уравнение движения лодки в проекции на ось Л':

Воспользовавшись формулой (2), находим:

Так как, по условию, сила сопр(Этивления r является функцией скорости ЛОДКИ; то, учитывая фор.мулу (1), получим: Rje = - av.



20 дифференпиальпыр, урарн-.ния динамики точки [гл. vih

Задача 218. Груз песа Р, подношенный на пружине, conepniaer колеба1Н1Я, согласно ураннеппю jc = rtsinuj, где х - смещение груза из положения статического ранЕЮнесия, а а и со - постояинЕле величины. 1<олеба1Н1я совершаются под действием силы, проекция которой на ось X равна 8= И sin mt, где Я и со - постоянные величины. Определить величину упругой силы пружитя, если известно, что она зависит от величины смешения х груза. Массой пружины и силой сопротивления движению груза пренебречь. Ось х направлена из положения статического равЕЮвесия но вертикали веш , а сила S действует по этой оси.

Решение. К грузу приложены следуЕощие силы: р - пес груза, 5 - сила, Е1ызыва10гцая колебания груза, и /-упругая сила пружины. Предположи.м, что груз из положения статического равновесия неремеи1ается п положительном направлении оси х, т. е. вниз. При эгом пружина растягивается и упругая сила пружины f ока-.чывается направленной вверх *).

Составим дифференциальное уравнеЕше двнжеЕшя груза в проекЕПН! на ось х:

Lx==PS.,F

к эя,ча;с 218. ~


g I

р-{- Н 5тЫ--1 х). (1)

Так как-, согласно заданному уравнешш движения, ji; = asinco/, то л' = - W sin cu, т. е.

х^-ш-х. (2)

Подставив значение х из формулы (2) в формулу (1), находим:

= -(p-j-Я sin co-f -co.v). (3)

Заметив, что из заданно1-о ураЕшения ДЕшжения груза sin сог .= мулу (3)

= запишем формулу (3) и виде

*) Па рисунке, и далее в аналогичных случаях, сила f условно ТЕаправ-лсиа R сторону убывания координаты х. В действительности же при колебаниях груза сила f периодически мсняег свое направление.



1 2 3 4 ... 66