Промышленное охлаждение - freezart.ru. Схемы и периодика

Главная » Мануалы

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 66

Здесь ~ 2 (feaJka COS Ipt -f f.у sin ipt\ - вынужденные ко-

лебания материальной точки; лгд cos Af--sin А/ - свободные колебания материальной точки, которые имели бы место в случае отсутствия возмущающей силы;

\2 с I т к^~1р'1 \тк k - i-p )

г = i i = i

- колебания материальной точки, вызванные возмущающей силой и имеющие круговую частоту свободных колебаний.

При k = ip, где г=1, 2, 3, наступают резонансные колебания /-г0 порядка, т. е.:

при k=p - резонансные колебания первого порядка,

при k = 2p - резонансные колеба1шя второго порядка и т. д.

При одинаковом порядке коэффициентов Л,- и 5,- по мере повышения порядка резонансных колебаний амплитуды их убывают. Поэтому в таких случаях наиболее опасными являются резонансные колебания низших порядков.

Если возмуи1ающая сила задана тригонометрическим полиномом, т. е. рядом Фурье, оборванным при i = n, то число резонансных колебаний равно п.

неоднородного уравнения:

л:, = Ci cos kt -j- С, sin kt,

, 1 Vl / Л; ... Bl

x = Y ~c- + -m 1 ( Fr- <os ipt + ,--1 s.n tpt 1 = 1

При начальных условиях вида: х = Хо, х = Хо при t = 0 постоянные интегрирования имеют значения:

1-2 с f m k - iYI к т к L k - iY

Окончательно уравнение движения материальной точки запишется в форме:

X = х„ cos kt + sin А^ (1- s- + Д й^Т^) 05 А/ -

Влияние силы сопротивления, пропорциональной скорости, на вынужденные колебания материальной точки.

Пусть материальная томкг массы т совершает колебания иод действием восстанавливаюитей силы f, воз.мущаюнтей силы 5 и силы

сопротивления движению, иронорциональпой скорости тонки r=-где 8 - постоянный коэффициент. Ось х направлена вдоль линии действия сил F н S (рис. 121). Начало отсчета взято в положении статического равновесия материальной точки. Возмущаю-И1ая сила изменяется по гармоническому закону S=Hs\n{pt-{-b).

Цифференниальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, имеет вид

X -2)1.к kx = sin (pt -\ - 5),

где 2п= ~, h= -.

т III 111

Тогда уравнение движения материальной точки будет: x - Xi-\-x.i, где Xi - обшее решение соответствующего однородного дифференциального уравнештя; х<, - част ное решение неоднородного диффере1В1иальпого уравнения.

Решение .v, в зависимости or соотношении n<k, п^ к, п = к получается в одном из рассмотренных выше 1шдов (см стр. 76-79).

Частное решеште х^, определяющее вынужденные колебания, равно

Х.2 -а sin (pt - е).

где

Введя для сокращения записи обозначение

e = arctg--,;-£--,.

sin (;?/-f S - £),

получим уравнение движения .материа.тьной точки в следующем'окончательном виде:

е- (С, sin Yk~n4 + Сг cos Vk - п' О + (О при п < /г;

e- (C,-C4)+A(t)

(Cie

)-\-A(t)

при n = k; при nk.

Постоянные интегрирования Су и Q определяются но заданным начальным условиям движения: при / = 0 х = Ха, х = х^.

Так как во всех трех случаях {n<k, n = fo и nk) в выражение X, входит е' , то движения Х\ быстро затухают, в то время

как амплитуда вынужденных колебаний а =- - , кру-

говая частота вынужденных колебаний р и сдвиг фаз е = arctg т^-от времени не зависят.

Круговая частота р вынужденных колебаний х^ равна круговой частоте р возмущающей силы ,5>, т. е. имеет место равенство периодов Т вынужденных колеба1Н1И и возмущающей силы, вызывающей

полеОитя мапой чистоты §

?. j

8ын1лсденныв т1еЬания ЬоРьшоО частоты

1П|с. \П.

эти колебания. Эго означает, что сила сонротивления движению, пропорциональная первой степени скорости, не влияет на величину круговой частоты вынужденных колебаний материальной точки.

Переменная амплитуда а вынужденных колебаний в случае отсутствия силы сопротивления неогра1шченно возрастала при резонансе,

т. е. при p = k, по закону: a - lt. При наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, амплитуда а постоянна и равна:

Зависимое гь коэффициента диlla.vlичI{ocти X от коэффициента расстройки Z и.меет вид (рис. 122)

1 п

\ - --==---г^гг- , где V = ;- .

Каждая из кривых, изображенных на рисунке, соответствует определенному значению v. С увеличением v, т. е. с увеличением силы сопротивления, коэффициенг динамичности X и, следовательно, амплитуда вынужденных колебаний уменьшавотся.

В зоне вынужденных колебаний большой частоты, далеко за резонансом (например, при 2 >3), все кривые, независимо от величины V, почти сливаются. Следовательно, в этой зоне при вычислении амплитуды вынужденных колебаний силой сопротивления можно пренебречь.

Максимум коэффициента динамичности 1 имеет место не при резонансе; он несколько смещен в зону z<l:

max = y 1 - 2v\ При этом W = -

2м /1-1

2 функция ).=/(i) монотонно убывает. 2чг

Сдвиг фаз е = arctg между возмущающей силой и вызванными ею вынужденными колебаниями остается при резонансе


	----L. .
-1

Вынужденные Щ нолебошл % малой частоты %

вынужденные, колебания большой частоты

Рис. 123.

неизменным: e = -j. Сдвиг фаз с возрастанием v, т.е. силы сопротивления, увеличивается в зоне вынужденных колебаний малой частоты и убывает в зоне вынужденных колебаний большой частоты (рис. 123).

Рассмотрим случай, когда возмущающая сила S(t) является периодической функцией времени периода Т. Разложим ее в ряд Фурье;

S(t) = i Ло+ 2 Р^ + P

1 = 1

где

т т

здесь г = 0, 1, 2, 3, ...

В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, имеет вид

X -f 2пх -- А^лг = -i - -L 2 (Лi cos ipt -\- Bi sin ipt).

i = l

Тогда уравнение движения материальной точки будет: х = Х\-\-J-Xj, где лг, - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Колебания JCj во всех трех случаях: n<k, n = k, nk затухают (см. стр. 76-79).

Вынужде1шые колебания, определяемые частным решением Хс, происходят по закону:

х^=~-{- 2 (i cos ipt-bi sin ipt),

i = 1

где

1 Ai(k - ip-) - 2nipDi

m (k - i-pT + 4ni/? * 1 5,(-У) + 2и'>Л.-

m (k- ipT-+ 4n4Y

При k = ip наступают резонансные колебания г-го порядка. При этом

Решение задач на вынужденные колебания материальной точки рекомендуется проводить в следующем порядке:

1) выбрать систему отсчета, взяв начало отсчета в положении статического равновесия материальной точки;

2) записать начальные условия движения материальной точки;

3) изобразить на рисунке силы, приложенные к материальной точке;

4) составить дифференциальное уравнение движения в проекции на соответствующую ось;

5) проинтегрировать днффереици.зльпое уравнение движения, использовав начальные условья для определения постояьиплх интегрирования.

Материальную точку следует всегда изображать в промежуточном Г1оложе1НН1, соответствующем ее положительном координате, и предположить, что точка движется в сторону возрастания координаты.

При составлении диф(])сренииального уравнения движе1н1я следует воспользоваться условием статического равновесия материальной точки. Это часто приводит к уничтожению ряда постоянных слагаемых в правой части дифференциального уравнещтя движения.

Если составленное дифференциальное уравнетте движения тождественно одному иа выше заплсанпых уравнений, то, не тштегрируя это уравнение, можно сразу получить результат по указатшым формулам.

Проводя penieime задачи в обшем виде, следует определить численные значения коэффициентов д11ффере1щиального уравнения, так как вид частного решения уравнения зависит от соотношения между круговыми частотами вьн1ужденных и свободных колеоашШ, т'. с. между р и k.

Так, интегрируя дифферетщиальное уравнение движения x~-lix--== = h s.\u {pt надо:

а) при отсутствии резонанса, т. е. при рфк, записать частное решение х^ в виде x.i = /I sin {pt -j- 8) -р S cos {pt -[- o) (очевидно, что S = 0);

6) при наличии резонанса, т. е. при р = к, искать частное решение Хз в виде Xi= At %т {pt-\-Ь)- Bt COS, {pt-\-Ь).

Интегрируя дифференциа тьное у()авненис движения х-р2лх---\-kx = h s\n {pt-\~Ь), независимо от соотношения между р и к, надо искать частное решение х^ в виде

х. = А sin {pt + 8) -- В cos {pt -f- 8).

При решении задач, в которых требуется определить условие, обеспечивающее попадание материальной точки в резонанс, не следует интегрировать диффере1Щиальное уравнение дв1гження. Для этого достаточно, воспользовавшись составленным дифференциальным уравнением движения, определить круговые частоты свободных и вынужденных колебаний и приравнять нх друг другу.

Задача 252. На рисунке изображена схема прибора для измерения давлении. К пол.зуну А веса Р-=196 г прикреплена стрелка В, отмечающая показания па неподвижной шкале С. Ползун А, прикрепленный к концу пружины О, перемещается по горизонтальной идеально гладкой плоскости. К ползуну приложена горизонтальная сила S=Hsin pt, где =1,6 кг, p = (iO сек~. Коэффициент упругости пружины равен с = 2 кг/см. В начальный момент ползун находился в но.!(ое в положении статического равновесия.

5 П

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЛБНЖРННЕ

Определить: урасиемие дпижеиия стрелки В в случае отсутствия силы сопротивления, коэффициент динамичности и коэ({)фициент расстройки; уравнение движения стрелки В при наличии силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости ползуна: / = 1), где р = 25,6 кг-сек/см.

Решение. Направим ось х параллельно оси пружины по горизонтали направо, взяв начало отсчета в положении ползуна, соот-ветствуюи1ем недеформированной пружине.

Начальные условия движения ползуна имеют вид:

при / = 0 х=0, хг=0.

Изобразим ползун смешенным пз положения равновесия вправо па X. При этом пружина растянется на Д = дг.

К зйдачс 2.=.2.

К ползуну приложены следующие силы: р-вес ползуна, n - нормальная сила реакции горизонтальной плоскости, сила 5, f- упругая сила растянутой пружишл, проекция которой па ось х равна F = cx.

Составим дифференциальное уравнение движения ползуна в проекции на ось х:

mx==S ,-yF,

или

x = l-slnpt-fx, x-{-k -x=h sin pt.

где к=-, li = -~. В данном случае А =100 сек-\ /г =

= 8000 см-сек-\

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее рещение уравнения равно сумме Xi - общего решения соответствующего однородного уравнения

x-]-kx = 0 (2)

и Хз - частного решения уравнения (1), т. е.

x = xi~x<i. (3)

Составим характеристическое уравнение: г' -\- k = 0, откуда rii = ±ki. Следовательно,

X, = С, cos kt-j- Q sin kt. (4)

Для определения вынужденных колебаний, т. е. частного реше-1щя Xjs, следует предварительно выяснить соотион1сние между круговыми частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как =100 селг, а p==QO сек~, то p<k, т. е. имеют место вьшу-жденные колебания малой частоты. При этом частное решение х^ надо искать в виде

х^ = А %\п pt -\- В cos pt, (5)

где А и В - коэффициенты, подлежащие определению. Подставив х^ в дифференциальное уравнение (1) и приравняв коэффициенты, стоящие в левой и правой частях уравнения при соответствующих тригонометрических функциях, находим:

Следовательно, частное решение, записанное в формуле (5), принимает вид

a = -r=reSin;j. (())

Воспользовавшись формулами (4) и (6), запишем общее решение по формуле (3):

X = Ci cos kt -{- Сз sin kt :.p2 si pi- (7)

Для определения постоянных интегрирования Cj и Сз вычислим: X = - С,Д; sin ki -f СзД; cos kt -- -fj~ cos pt. (8)

Подставив в уравнение (7) t = 0 x = 0, a в уравнение (8) - = 0 x = 0, находим: С, = 0, -2 = - у а

Итак, уравнение движения ползуна и, следовательно, стрелки В имеет вид

Подставив численные значения p = QO сеиг, А = 100 сеиг, h== = 8000 см сек-\ получаем:

д: = (-0,75 sin 100-1-1,25 sin 60/) см. (9)

Первое слагаемое соответствует колебаниям ползуна со стрелкой с частотой свободных колебаний, вызванным действием возмущающей силы s, второе слагаемое определяет вынужденные колебания.

(Следует обратить внимание на ошибку, которую часто совершают при вычислении постоянных интегрирования С, и Q, подставляя начальные условия движения в общее решение (4) однородного уравнения вместо того, чтобы подставить их в общее решение (7).)

Определив по формуле (9) отклонение стрелки, а, следовательно, ползуна А и конца пружины D, можно найти величину упругой силы f, умножив смещение х на коэффициент упругости пружины с. 7ак как с = 2 кг/см, то

/ = (-1,5 sin 100/4-2,5 sin 00/) кг.

При наличии силы сопротивле1щя движению, пропорциональной скорости ползуна, колебания с частотой свободных колебаний затухают и стрелка прибора регистрирует чисто вынужде......le колебания: рг-- sinДа.....>1й прибор предназначен для определе-

пия величины силы .S= Я sin;?/. Получив показание стрелки х. на шкале, т. е. величину смещения конца пружишя, можно вычислить величину силы s, указываемую прибором, умножив х^ на коэффициент упругости с пружины

Si = cxi=j,- sin pt

Погрешность прибора Д5 определяется разностью между Si и S, т. е.

A5=Si -S = p£fp- sin pt -И sin pt.

Учитывая, что hc = c - - Hk, находим: m

= sin pt.

Относительная погрешность прибора будет

~S~k--p Относительная погрешность прибора не.значительна при условии: г~-.:(=0. Это имеет место, если kp. Учитывая, что А=1/

К Р f lit

-]-2пг~-k = 0, откуда г = - nihY - А'- Так как n<k, то

корни получаются комплексными: г, 2 = - n±iYk - г^. Находим общее решение однородного уравнения (12):

X, = е- (С, cos / - Q sin Yk- - rit). (13)

Учитывая, что p<k, ищем частное решение х^ в виде

х^ = А im pt-\-В cos pt. (14)

приходим К иыподу о необходимости установки пружины с большим коэффицие1ггом жесткости г.

Для нахождения значения коэффициента динамичности X воспользуемся формулой Х = а/Д . Так как а = 1,25 см и Д = fiic= 1,6/2=: = 0,8 см, то X =1,56. Это означает, что амплитуда вынужденных колебаний более чем в полтора раза превышает статическое смеще-1ше. Соответствуюнтес значент^е коэффициента расстройки z будет 2=j / = 60/100 = 0,6.

IeuuiM эту задачу с учетом силы сопротивления движению R~ = v, где i = 25,6 кг-сек/см, v - скорость ползуна А.

К силам^ ранее приложенным к ползуну, добавляется сила сопротивления движению r, направленная в сторону, протушоположную скорости движения. Считая, что ползун А движется в сторону воз-раста1шя абсписсы х, направляем силу r но горизонтали налево. Следовательно,

или

х= -siupt - --x - x,

x-{-2nx-]-kx = hs\u/>t, (10)

где

ft=/ = 100 сек-\ n = 4jy = 64 сск-\ h=- = 8000 см/сек\

р=НО сек'К

Итак, n<k и p<ik.

Общее реп1ение дифференциального уравнения (10) имеет вмл:

Х = Х|+Х2, (П)

где Х| - общее решеЦ|е соответствующего однородного уравнения

i; j 2 x J-yfex = 0, (12)

а Xq - частное penienne неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение, соответствующее (12), имеет вид

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 ... 66