|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Подставив численные значения, находим, что k=\0 сек~, п = = 8 секг; таким образом, n<k (случай малого сопротивления). Запишем характеристическое уравнение дифференциального уравнения (4): -\-2nk-\- k = 0, откуда Следовательно, уравнение движения груза имеет вид X - е- (Ci cos yk - lit -- C, sin /fe* - и 0- (5) Для определения постоянных интегрирования вычислим: X = е- (- Ci Vk - п' sHi /F-l? t + + Q /i cos - rit) - ne- (C, cos k - nt + + Casin /A - ri i). (6) Подставив в уравнение (5) = 0, x - X(, a в уравнение (6) = 0, x = X(, получаем: Cx=X(, Q = -p-Подставив значения С, и Са в уравнение (5), находим: X = е- (х(, cos /к' - nU-y y-W~ ~ Преобразуем полученное уравнение. Для этого положим: лго = Л sin а, YWI? ~ где Л и а - постоянные. Из (8) легко найги, что ПО вертикали вверх. Так как rpy:i находится в равновесии, то Р - -FT - O, откуда и следует формула (3). Первые два слагаемых в правой части дифференциального уравнения (2), на основании формулы (3), уничтожаются. Заменив в последнем слагаемом на х, имеем: х-у2пх - kx = Q, (4) где Теперь уравнение (7) принимает вид X - Ае sin (/Д; - / -- а). (И) Движение груза является затухающим (так как при -оол: -0) с круговой частотой k = V- (12) Амплитудой колебаний а является коэффициент, стоящий перед синусом в уравнении (11), т. е. а = Ае- , (13) где А определяется по формуле (9). Выше было найдено, что А=10 сск~\ п=8 сскгК Из условия задачи следует, что л-о = 4 см; jfo = 4 см/сек. Подставив эти численные значения в формулы (9), (10), (12), (13), находим: Л =7,2 см, а = 0,59 рад, k = & сек-\ а = 7,2е- см. Итак, груз совершает затухающие колебания по закону A: = 7,2e-ssin(6/--0,59) см. (14) Период колебаний T/j груза ранен 7;? = =ь-= 1,05 сек. (Если бы груз совершал колебания при отсутствии силы сопротивления, то период его колебаний был бы меньше. Действительно, по формуле 7 = получим 7=0,63 сек.) Амплитуда колебаний г1)уза а = 7,2е~ см убывает по экспоненциальному закону. Допустим, что моменту времени tf соответствует i-я амплитуда а,-. Следующая амплитуда a,.j имеет место через полпериода, т. е. при t; = ti-\-~-. Следовательно, а, = 7,2е-\ а , = 7,2. -Ь' = 7,2. \ Разделив а,-, на а,-, находим: так как 7,=1,05 сек, то = е я 0,02. Таким образом, последовательность амплитуд образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем <7 =;0,02. Задача 250. Решить предыдущую задачу в предположении, чго сила сопротивления движению равна R = v, где Р = 5,2 гсек/см. В начальный момент груз был смещен из положения статического §4) К0ЛЕВАТЕЛЫ10Е ДВИЖЕНИИ 93 равновесия на 4 см и ему была сообщена вверх начальная скорость И(, = 240 см/сек. Решение. Начало отсчета оси х по-прежнему расположим в положении статического равновесия груяа и ось х направим по вертикали вниз. В данном случае начальные условия движения груза имеют вид: при = 0 х = Хо = 4 см, х - Ха = - 240 см/сек (Х(, отрицательно, так как начальная скорость направлена вверх). Следуя решению предыдущей задачи, получим дифференциальное уравнение движения груза (см. формулу (4) предыдущей задачи) х-у2пх-укх = 0, где k= у р, n = jp. Подставив численные значения, получим, что А =10 сек *, п = =--20 сек ; таким образом, и^/г (случай большого сопротивления). Составим характеристическое уравнение: -{-2пк-[-k= 0, откуда Xi = - n- i/n - k\ li= - n\-in - k\ Так как nk, то корни Х, и являются вещественными и отрицательными. Уравнение движения груза имеет вид: x=Cre-\-Cie>. (1) Для определения постоянных интегрирования d и d вычислим: X = QXiei + (2) Подставив в уравнение (1) = 0, х - х,, а в уравнение (2) = 0, х==Хо, получим систему уравнений: Хо = С] -- Ci, Хо = С) -- С^г, Х| - Ag Aj - Xg Заменив п уравнении (1) С| и Cj вычисленными значениями, находим уравнение движения груза = [(>-о - о) е^-{Кч - -*о) ]. (3) Воспользовавшись значениями Х, и X.j и гиперболическими функциями, запишем уравнение движения (3) в виде: у tf - JXaV п' - Ah /и^ - t]. (4) Движение груза является апериодическим и притом затухающим, так как при ->-оо л:->-0. ГГосле подстановки в уравнения (3) и (4) численных значений: п = 26 сек'\ Д;=10 сек *, Xo = 4 см, Х(, = -240 см/сек, получим: или л: = I (12 ch 24 - 17 sh 24 t). (5) (6) Выясним теперь, переходит ли груз положение статического равновесия. Для этого приравняем х в уравнении (5) пулю: (29е- +5е^*) = 0. Моменты времени, в которые груз находится в положении статического равновесия, определяются из уравнений 29e- - 5e = 0, е- - = 0. Произведя вычисления, найдем, что = 0,037 сек, з = со. Значение = 0,037 сек соответствует переходу груза через положение статического равновесия. Значение з = оо соответствует затуханию движения (см. рисунок). (Если бы при решении задачи значение г^, оказалось отрицательным, то это указывало бы на отсутствие перехода груза через положение статического равновесия.) Итак, в данной задаче груз переходит один раз через положение статического равновесия и затем асимптотически к нему приближается с другой стороны (больше одного раза груз через положение статического равновесия перейти tie может, так как при х = 0 получается только одно значение t, отличное от бесконечности). Задача 251. Решить задачу 249 в предположении, что сила со-противлегшя движению равна R = v, где р = 2 гсек/см. В начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 4 см и отпущен без начальной скорости. Решение. Как и в двух предыдущих задачах, начало отсчета расположим в положении статического равновесия и ось х направим по вертикали вниз. Запишем начальные условия движения груза:  К задаче 250. при / = О л- = Хо = 4 см, X = Хо = 0. где =Vf P 2P- Подставив сюда численные значения, получим, что k-\0 сек~\ и= 10 сек~; таким образом, n=k (случай предельного сопротивления). Составим характеристическое уравнение: X-\~ 2пХ-\-k= 0, откуда Так как n = k, то \i = li = - п, т. е. корни характеристического уравнения являются вец;ественными и равными. Уравнение движе1тя груза имеет вид х=С,е- + С,/е- . (1) Для определения постоянных интегрирования d и С, вычислим: = - пС,-- dc- - пС4е- -К (2) Подставив в уравнение (1) х - Х( при =0, а в уравнение (2) х = 0 при = 0, имеем Ci = Xo, С^ = пХ(,. Заменив в уравнении (1) С| и Сч вычисленными зпаче1тями, получим уравнение движения груза в виде x = xe{\nt). (3) Движение груза является апериодическим. При t-cx> выражение (3) оказывается неопределенностью типа О-со. Для раскрытия неопределенности применяем правило Лопиталя, предварительно представив (3) в виде Тогда lim х= lim -7-= lim--= lim -7i5- = 0; /-►00 /-00 / - DO (fnt\ /-00 таким образом, при voo JC-vO. Итак, груз, согласно уравнению (3), совершает апериодическое затухающее движение. Подставив численные значения: п=\0 сек~\ Хо = 4 см, получим уравнение движения груза д: = 4е- (1 + 10/). (4) Выясним теперь, переходит ли груз через положение статического равновесия. Для этого приравняем х в уравнении (4) нулю Аналогично тому, как делалось в двух предыдущих задачах, получим дифференциальное уравнение движения груза: и определим соответствующие значения времени, т. е. 4е-< (1-f 10/) = 0, откуда ] + 10, =0, е- = 0. Находим: , = - 0,1 сек, toc. Отрицательное значение /, указывает на то, что груз не переходит через положение статического равновесия при значениях 1-0. Значение ti = co соответствует затуханию движения. Таким образом, картина движения существешю отличается от рассмотренной в предыдущем .задаче - при данных начальных условиях движения груз асимптотически приближается к положению статического равновесия, ни разу не переходя через него. Кроме того, благодаря равенству нулю скорости груза в началь[1Ый момент времени, касательная к кривой x=x(t) в точке = 0 пара.тлельна оси t. 4. В ы и у ж д е п и ы е кол е-б а п и я материальной точки. Возмущающая сила. В теории колебаний возмущающей называется сила, нри.Ю-женная к материальной точке и заданная как функция времени. Эта сила большей частью является непрерывной функцией времени. (В некоторых технических задачах возмущающая сила бывает В машинных агрегатах и механизмах в результате неточной балансировки вращающихся частей машин (турбинных дисков, роторов электромоторов, маховиков) либо при наличии периодически изменяющейся силы давления воды, газа или пара в цилиндрах двигателей и т. д. Простейшей является возмущающая сила изменяющаяся но гармоническому закону: S = И sin (pt-\-Ь), где -наибольшая величина возмущающей силы (амплитуда силы), р - круговая частота изменения возмущающей силы, 8 - начальная фаза. Н измеряется в кг, р измеряется в сек~\ Ь - безразмерная ве.тичина. Если возмущающая сила S(t) является периодической функцией времени (рис. 116) с периодом т = --, т. е. S(t-\-Т) = S(i), и удовлетворяет условиям Дирихле (наличие на нротяжеьши одного периода конечного числа максимумов и минимумов и конечного числа точек разрыва первого рода), то эту функцию можно разложить в ряд Фурье: 5(0= -2 ЛоЧ- 2 (Aicos ipt-]-вi sin ipi).  прерывистой и импульсивной.) возмущающая сила возникает Jl--fA;4- = /2 sin {pt-\-b), где т III Закон движе1Н)я материальной toikh в случае р k р лается формулой x = Xi-}~Xi (л , - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, л , - частное решение неоднородного уравнения), где значит. Xi~Ci cos kt-\-Co sin kt, Xi= sin (pt-{-), X = C cos ki -f- Ca sin kt -L -.. sin (pt -f 8). При начальных условиях движения материальной точки, т. е. при =0 х - Хо, X = Xf постоянные интегрирования выражаются формулами: С, = л-о - Sin 8, С. = А - cos 8. Окончательно уравнение движешш материальной точки имеет вид X = л- cos kt -\- sin kt - - - (sin 3 cos kt -I- - cos 8 sin kt ] -[- -1- !Lf,i sin (pt-. 4 Теорети'ес;ая механика, том II где г г р = , Д. = J S (О cos ipt dt, Bi = j-\s (t) sin ipt dt; здесь i = 0, 1, 2, 3, ... Вынужденные колебания материальной точки вызываются действием системы сил, в составе которой имеются восстанавливающая сила f и возмущающая сила 5. Па рис. 117 ось х на-правле[а вдоль .тиний действия сил f и s. Начало отсчета взято в положении статического равновесия материальной точки. Сила s условно нанра1!лена вниз, однако, как следует из ее закона изменения, ее направление является неременнЕом. Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону: S= И sin(pt-j-а). Дифферегщиальное ypaBfiernie вынужденг1ых колебаний материальной точки имеет вид Последний член правой части уравнения движения г ---j sin (pt -\- 8) R- р определяет вьтуждснные колсбжтя, первые два слагаемых cos kt-\-- °-%\п kt определяют свободные колебания, которые со- К вершала бы материальная точка при отсутствии возмуптаюнтей силы, а слагаемое - -.-, :sin Ь cos kt -\- cos S sin kt k- -p- k J - колебания материальной точки, имеющие частоту свободных и 1н.1зва1тые возмущающей силой Л'. Вынужденные колебания материальной точки: х^ = X X sin (/--8) имеют круговую частоту/ колебаний, равную крую-вой частоте р изменения возмущаюнтей силы (т. е. период вынужденных колебаний .v., вызванных возмущающей силой .9, равен периоду этой силы). .Амплитуда вынужденных колебаний а, т. е. величина наибольшего динамического смещения материальной точки, равна а= - Статическое cMcmeime материальной точки иод действием носто-HiHiofi силы Н равно Д,/=. Коэффициентом динамичности 1. называется отношение амп.ти-туды а вынужденных колебаний к статическому смептению Д/?, т. е. а Коэффштент динамичности X определяет, во сколько раз наибольшее династическое сметттение материальной точки, вызываемое неременной возмущающе!! силой S = Нsin (ptZ), больше статического смещения Д^, происходящего иод действием постоянной силы, равной по величине aмпJmтyлe возмущаюптей силы. Коэффициентом расстрой/си z называется отпоп1епие круговой частоты р вьтужденных колебаний материальной точки к круговой частоте k ее свободных колебаний, т. е. = Коэффициент динамичности X связан с коэффицне1ггом расстройки Z зависимостью Х==-у-Ц,-. График этой функции изображен на рис. 118. Рассмотрим его подробнее: 1) В случае 0<2<1, т. е. при р<k, происходят вынужденные колебания малой частоты. При этом коэффициент динамичности->. растет от едищщы до бесконечности. 2) При т. е, при p-k, Х-усху. При =11, т. е. при равенстве круговых частот свободных и вынужденных колебаний, имеет место явление, называемое резонансом. При резонансе переменная амплитуда вынужденных колеба1Н1й неограниченно возрастает (в реальных задачах при учете силы сопротивления движению амплитуда является конечной). 3) В случае 21, т. е. при pk, происходят вынужденные колебания большой частоты. При z~*oo коэффициент динамичности \ убывает до нуля. В случае резонанса, т. е. при p = k, частное решение неоднородного уравнения x-\-kx~h sin (pt-i-Ь) имеет вид; -1 t cos {kt-\ 8).  Рис. 118. Рис. II!). При резонансе переменная амплитуда вьшуждснных колебаний а=А/ растет прямо пропорцнонально времени (рис. 119). Уравнение движения материальной точки в случае резонанса, т. е. при p = k, имеет вид х = Хо cos kt- sin kt cos Ь sin kt - t cos {kt -j- 8). Последнее слагаемое справа - cos (А/-[-8) определяет вы- пужденшие колебания, первые два слагаемых дго cos А/-[-sin/< / соответствуют свободным колебаниям, которые имели бы место при огсугствии возмущающей силы, слагаемое cos 8 sin kt определяет колебания, вызванные возмущающей силой, имеющие круговую частоту свободных колебаний. Сдвиг фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями материальной точки (рис. 120): 1) В случае вынужденных колебаний малой частоты, т. е. при p<k, сдвиг фаз е между возмущающей силой 5 и вызванными екр вынужденными колебагшями равен нулю. (Возмущающая сила и вынужденные колебания одновременно достигают наибольших, наименьших значений и обращаются в нуль.) 2) В случае резонанса, т. е. при p = k, сдвиг фаз е между возмущающей силой 6 и выну-жде1П1Ыми колебаниями х^ равен ~ (вынужденные колебания, вызванные возмущающей силой, отстают но фазе от этой силы 3) В случае вынужденных ко-Рис. 120, лебаний большой частоты, т. е. при pk, сдвиг фаз S между возмущающей силой 5 и вынужденными колебаниями х^ равен л: (вынужденные колебания отстают по фазе от соответствующей возмущающей силы па Tz). Рассмотрим случай, когда возмущающая сила Sit) является периодической функцией времени периода Т. Разложим ее в ряд Фурье: S(t)=-\ Ло У {Ai cos ipt + Bi sin ipt),  где p = , Ai = ~ S(,t) cos ipt dt, Bi = y-S (t) sin ipt dt; здесь i = 0, 1, 2, 3, ... Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колсба1щй материальной точки имеет вид X+=14 + 2 Р^+Р^)- г = 1 Уравнение движения материальной точки при р А будет: х = лг,-[-лгз, где JC - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, atj - частное решение 1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 66 |
 |
 |