|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Отсюда чаходим: Ni = Ai = 980 кГ, Fi = F.i=\96 кГ. Уравнения равновесия для клина В (рис. е) будут: Fkx= r+rcos 10° -yVi sin 10° -P = 0, Fty = S-N.iCOs 10° -P, sin 10° = 0. Сила трения выражается через пормальное давление T-.=f,S. Отсюда, пользуясь ранее нatlдeнlПJми значениями реакций N-2 и рц найдем: 5=999 kF, 7-= 250 /гГ, Р = 273 кГ. Найденное значегше Р является граничным при равновесии системы в случае опускания блока. Таким образом, на основании проведенного исследования можг.о заключить, что система будет находиться в равновесии, если проекция силы Р лежит в пределах - 273 кГ:<Рх~64\ кГ. Если модуль каждой из сил Р будет больиге 641 кГ, то при их направлении, указанном на рис. а, нач1ются подъем блока. Для того чтобы блок начал опускаться, нужно приложить силы Р в противс-положном направлеиии, причем их модуль должен превышать 273 кГ. Задача 1.35. Полуцилиндр весом Р и радиуса R лежит на негладкой горизонтальной плоскости (рис. а). Однородный стержень OA длиной I и весом Q шарнирно закреплен в roniie О. Он опирается на гладкую поверхность полуцилиндра, образуя угол а с вертикалью On=h. Определить наименьшую всллчипу коэффициента тре1шя скольжения / .между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью irpn равновесии. Ре Hie II и е. Полуцилиндр и стержень являются системой твердых тел, находящихся в равновесии. Под действием веса стержня полуцилиндр может начать движение вправо (при недостаточной силе тре1шя между полуцилиндром и полом). Для определения искомой наименьшей величины коэффициента тре1Шя скольже1шя между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью расс.мотри.м отдельно равновесие стержня и полуцилиндра. Рассматривая paimoiiCCHe стержня OA (рис. б), отбросим мысленно шарнир О и заменим его действие реакцией. Реакция шарнира приложена в точке О и неизвестгга по величине и направлению. Представим поэтому реакцию двумя составляющими Fq и pQy Отбрасывая мысленно полуцилиндр, заменим е;го действие на стержень реакцией Sj, направленной перпендикулярно к стержню, так как согласно условию трение между стержнем и полуцилиндром отсутствует. Величина реакции Si неизвестна. Кроме указанных реакций, к стержню в его середине приложен вес Q, направленный но вертикали. На рис. в представлены силы, действующие на полуцилиндр при равновесии. Полуцилиндр находится в равновесии под действием трех сил: веса Р, реакции стержня S.2 и реакции негладкой горизонтальной плоскости. Вес Р направлен по вертикальной оси симметрии полуцилиндра и, следовательно, линия действия этой силы проходит через точку С, лежащую на оси цилтнтра. Реакция стержня Si согласно пятому закону (закон равенства действия и противодействия) равна по величине Si и направлена противоположно. Следовательно, реакция  К задач!! 1.35. 5.j перпендикулярна к стержню, совпадающему по направлению с касательной к полуцилиндру, и направлена но радиусу DC. Этот радиус образует с горизонтальным диаметром полуцилиндра угол а, так как стороны АО и ВО, образующие угол а, соответстгенно 1юрпендику-лярны к прямой DC и горизонтальному диаметру. Равнодействующая реакций негладкой горизонтальной плоскости должна быть приложена в точке С. Действительно, полуцилиндр находится в равновесии иод действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Следовательно, линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Но силы S и Р пересекаются в точке С Значит, и линия действия равнодействующей реакции негладкой плоскости должна проходить через точку С. А это возможно только в том случае, если эта реакция приложена в точке С. Г'азложим реакцию горизонтальной плоскости на две составляющие: нормальную реакцию и силу трения Fq. Перейдем к составлению уравнений равновесия обоих тел. Составим для стержня сумму проекций всех сил на оси х и и приравняем их нулю: cosa = 0, (1) Fqv - q-\-\ Sin a = 0. sm а А--- ----- - I Q \1 sin Ы / cos я у Это и есть наименьшее значение коэффициента трения, при котором полуцилиндр и стержень будут находиться в равновесии. Уравнение моментов относительно точки О будет: Q - sina -6,.OD = 0. (3) Точка О выбрана за центр моментов, так как при этом составляющие реакции шарнира О не входят в уравнение моментов. Таким образом, из последнего уравнення непосредственно находится неизвестная сила S, а только эта сила из входящих в систему уравнения (1) - (3) и войдет далее в уравнения равновесия полуцилиндра. Уравнения (1) - (2) могут быть использованы для нахождения неизвестных составляющих реакций шарнира Fqx> Foy Из уравнения (3), пользуясь очевидным равенством 0D cos а Л - г sin а, (4) найдем: о АО /cos а sin а Перейдем к составлению уравнений равновесия для полуцилиндра. Проектируя силы, приложенные к полуцилиндру, на оси координат, получим два уравнения равновесия: Si cos а - Fc = О, (6) yVc - -s sin а - Р = 0. (7) Кроме того, сила трения связана с нормальной реакцией зависимостью Pc=fNc- (8) Учитывая равенство S\=Si, получим систему четырех уравнений (5)-(8) с четырьмя неизвестными 5, Fc> f- Д' нахождения наименьшего значения коэффициента трения / исключим из рассматриваемой системы остальные неизвестные. Внося (5) и (8) в уравнение (6), получим: /n2acos --/м=0. (9) 4 (Л - г .sin а) - с \ ) Подставляя (5) в (7), найдем: Л/с = Р--Q-l-T- (1С) 4 (Л - г sin а) Исключая из полученных уравнений (9) и (10) реакцию Vc, получим окончательно: cos а Задача 1.36. Крутящий момент мотора электрической лебедки ранен М= 20кГм. Для остановки мотора служат тормозные колодки тормоза Л (рис. а), прижимающиеся силами Р к тормозному диску В, жестко связанному с ротором мотора. Радиус тормозного диска г = 600 jHM. Определить силу давления Р, необходимую для удержания ротора в равновесии, если коэффициент трения между деревянными колодками и чугунным тормоз1н,1м диском равен /=0,о. Решение. Рассмотрим равновесие тормозного диска В (рис б). К диску приложена активная пара - крутящий момент М- Отбрасывая мысленно тормозные колодки, заменяем их действие реакциями.   К задаче 1.36. Каждая реакция раскладывается на две составляющие: нормальное давление Р и силу трения F. Зависимость между нормальным давлеьшем и силой трения выражается при помощи коэфф1Щис11та тре1шя F=fP. (О Для равновесия диска необходимо, чтобы сумма моментов всех сил, приложенных к диску, равнялась нулю. Силы Р взаимно уравновешиваются и в уравнет^е моментов не входят. Силы тре1щя образуют пару сил; крутящий момент представляет собой также пару сил. Сумма моментов сил, состанляюи1,их пару относительно любой точки, равна моменту нары. Таким образом, F 2г - М = 0. (2) Подставляя значение силы трения (1) в уравнение (2), имеем: fp.2r - M = Q, от куда М 120 -2rf-- 2-0;б. 0,5 -- = 200 кГ. Задача, 1.37. Электрическая лебедка (рис. а) весом Q = 2T кренится к фундаменту при но.мои1,и шести болтов. Максимальная сила тяги 7 равна 8 7 и направлена под углом 30° к ropnsoiny. Коэффициент трения между основанием лебедки и фундаментом равен /=0,5. к задаче 1.37. лебедки. Так как срезывающее усилие в болтах равно нулю, то следует рассмотреть равновесие лебедки как рав1ювесие свободного твердого тела, находящегося под действием сил: Q, Т, ЗР, ЗР, R, F. Выберем оси координат: ось х направим по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим сумму проекций всех сил иа ось у и приравняем ее нулю: Р -6Р - Q- rsin 30° = 0. Из этого уравнения определяется нормальная составляющая реакции фундамента, равная по величине нормальному давлению на фундамент: Р = 6Р4-Q-f- Г sin 30° = бР4-2 + 8-0,5 = бР-1-6. (1) Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось х, имеем: 7-cos 30= -Р = 0. Из этого уравпе1шя определяется необходимая для равновесия сила трения Р= Г cos 30° = 8я 6,92 7; (2) Зависимость между силой трения и нормальным давлением дается формулой / -/р. Определить силу затяжки болтов, при которой срезывающее усилие в них равно нулю и лебедка удерживается от сдвига одной силой трения. Решение. Рассмотрим равновесие лебедки. К ней приложе1н,1 две активные силы: вес Q и скла тяги Т. Отбрасывая мысленно связи - болты и фундамент, заменим их действие реакциями (рис. б). Полагая затяжку всех шести болтов одинаковой, заменяем их действие двумя силами по ЗР каждая. Реакцию ф^ндамента раскладываем на нормальную составляющую Jf и силу трения F. Силу тре1шя направляем по горизонтали влево, в сторону, противоположную возможному сдвигу О 3P\\q\ ]\зр Подставив в это выражение значение силы трения (2), нормального давления (1) и коэффициента трения, получим: 6,92 = (бР -f 6) / = (6Р -f 6) 0,3, откуда определим необходимую величину затяжки болтов ,92 - 6-0,5 6 - 0,5 1,3 Т. Таким образом, для того чтобы болты не испытывали срезывающих усилий и лебедка удерживалась от сдвига силой трспия. необходимо и достаточно, чтобы затяжка каждого болта удовлетворяла условию PSs 1,3 Т. Задача 1.38. Однородный прямолинейный стержень АВ весом Q (рис. а) опирается в точке В иа шероховатую вертикальную стену. Коэффициент трения между стержнем и стеной равен /. В точке А стержень опирается на горизонтальный гладкий пол. Стержень удерживается в равновесии нитью AD, перекинутой через блок D. К ко1щу нити подвешен груз Р.    К задаче 1.38. Определить пределы, в которых можно изменять величину груза Р, чтобы не нарушить равновесия стержня. Решение. Рассмотрим равновесие стержня АВ. На него действует одна активная сила, вес стержня Q, приложенный посредине стержня в точке С и направленный но вертикали вниз. На стержень наложены три связи: горизонтальный пол, вертикальная стена и нить AD. На основании закона освобождаемости от связей отбросим мысленно связи и заменим их действие реакциями. Реакция гладкого пола Л/д направлена перпендикулярно к полу, натяжение нити Р направлено но горизонтали вправо, реакция шероховатой вертикальной стены может быть представлена двумя составляющими: нормальной реакцией Л/д, направленной по горизонтали влево, и силой трения F . Сила трения направлена по вертикали: 1) в случае, когда груз Р наименьшей величины и, следовательно, возможное направление движения точки - вниз, сила трения направлена вверх (рис. б), в сторону, противоположную возможному движению; 2) в случае, когда груз Р наибольшей величины, точка В может начать скользить но стене вверх и, следовательно, сила тре1шя F (рис. о) направлена но вертикали вниз, опять-таки в сторону, противоположную В03М0Ж1ЮМУ движению. Рассматривая равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: Q, Nj, N, F, Рп,\п (рнс. б), найдем минимальное зиаче1ще веса груза Pmin- Выберем оси координат - ось х направляем по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим уравнения равновесия (рис. б): X гпд (F) = / Sin а -- Q 0,5 / cos а - Л^д / cos а = 0. Через / в последнем уравнении обозначена длина стержня АВ. Кроме того, на(шшем зависимость силы трения от нормалыюго давления FB=fN Задача является статически определенной, так как система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных: уУд, F,, /V,j, Pmin- Решая совместно эту систему уравнений, находим искомое ми1тмальное значение величины груза Р: mm -2(tga-/) Для определения наибольшей величины груза Р рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. в) как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: Ng, Fg, Q, N, Pmat- Тогда уравнения равновесия имеют вид i;P* = P.nax - Л' =-0, ХПу = Л/д-Рй-( = 0, X Шд (Ffc) = Ршах? Sin а -j- Q 0,5/ cos а - NJ cos а = О, кроме того, Решая сов.местно эту систему уравнений, находим наибольшую величину груза Р, при которой стержень будет в равновесии: Из уравнения (1) следует, что Pniax 1!есграниче1И10 возрастает, если tga->/. При tg!x<;/ для возможности подъема стержня (скольжения точки В iHiepx по стене) необходимо, чюбы сила Q была направлена вверх но вер 1 икали, чю невозможно. Таким образом, в этом случае не сущее 1нует силы Р^ах, которая могла бы нарушить равновесие лестницы. Таким образом, равновесие cTCpMiiisi созмсжио при изменепни веса груза Р в пределах Эта задача может быть решена и несколько иным путем. Замечаем, что но условию задачи не требуется определе1шя неизвеспюМ реакции гладкого пола yV. Поэтому из возможных уравне1шН равновесия стержня (рис. б) выберем такие, которые не содержат N4, Составим уравнение моментов всех сил относи1елы10 точки Л: Vw (F,) = /Vfi/sHi a--/-Vcosa-Q -cosa = 0. (3) Второе уравнение равновесия-равенство нулю суммы проекций всех сил иа горизотальную ось х. В нею также не войдет неизвестная сила Fx = Pnua- Nn = - (4) К этим двум уравнениям дсбаиляется соотиошеш.е между нормальной реакцией н силой трения в точке В\ FafNu- (5) Подставив значение F, из (1) в (3) и учитывая (4), сразу получим. = 77Fg?+7)- Лналогичио для нахождения наибольшего зиг:чения силы Р составим такие же уравнения равр.овссия (рис. в): V /Ид {F,) - Njjl sm у - F/jI cos а - Q cos а = О, V/-\, = -.V;, = О, Реннн! совместно aiy систему у1)авиениН, определим максимальное значение силы /- : Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к результату, [И,1ражаемому формулой (2). Сопоставляя оба решения, мы видим, что в нервом случае мы применили общий метод составления уравнений равновесия для тер- дого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил, не учитывая особенностей данной задачи. Достоинство общих методов и заключается в том, что они ведут к цели, несмотря на различия в условиях задач. Иногда такой путь не является самым простым и коротким. На примере второго способа рснтения мы видим, что при учете особенности данной задачи (в задаче не требуется определить величину реакции гладкого пола Л/д) удалось составить меньшее число урав-1ЮИИЙ равновесия, которые проще и скорее привели к пели. Задача 1.39. Два одинаковых однородных стержня ЛВ и ВС, весом Р и ДЛИ1ЮЙ / каждый, шарнирно соединены между собой. В течке А стерже)!ь АВ шарнирно прикреплен к вертикальной стене.  К задаче Точка А находится на высоте h над горизонтальным нолом, па который концом С свободно опирается стержень ВС. Зная коэффициент трения / между стержнем ВС и горизонтальным нолом, определить угол fi при равновесии. Penienne. Рассмотрим отдельно равновесие стержня ZfC(рис. б) и стержня АВ (рис. в). Отбросив мыслсшю связи, заменим их действие реакциями. К стержню ВС ириложет.! силы: нес Р, нормальная реакция горизонтального пола N и сила тре1шя F, направленная в сторону, противоположную возможному движению; реакция шарнира В ие известна iw по величине, ни но направлению (представим се двумя составляющими S ву- К стержшо АВ приложены сильк вес Р; составляющие реакции шарнира В, равные и противоположные силам, приложенным в точке В к стержню ВС (обозначим эти составляющие через Sbx и 8ву); составляющие реакции шарнира А, названные Яд. и Яду. Составим уравнения предельного равновесия для стержня ВС: Л'-Л- = 0, FI sin ? - Л cos р + Р cos ? = О, F=fN. 4 М. и, Бать и др., т. 1 (2) (3) (4) Уравнение моментов (3) составлено относительно точки В, уравнение (4) дает зависимость силы трения от нормального давления. Уравнения равновесия для стержня АВ будут: Sii..-RAx = Q, (5) Sny-P+RAy = 0, (6) SbxI- sin я - Sliyl cos a -- P cos a = 0. (7) Здес1> сумма моментов сил (7) составлена относительно точки А. Чтобы найти уравнения, определяющие зависимость между углами аир, решим совместно составленные уравнения, кроме уравнений (5) и (6), так как последние содержат / и R, которые согласно условию задачи находить ise нужно. Из уравнения (1), (2) и (4) найдем: V = /( + W Исключив из уравнения (3) неизвестные F, N, получим: SnJ sin 3 - (Р -u S; ) / cos ? + Ц cos p = 0. (9) Разделив это равенство на / cos и воспользовавшись равенством (8), найдем: с другой стороны, разделив уратшние (7) на /cos а и воспользовавшись равенством (8), получим: nP-\-Sny)g-Say = Q- (И) Исключив из уравнений (10) и (11) 5, найдем: 3tgp-tga = . (12) Это - первое уравнение, определяющее углы а, р в положении равновесия. Второе уравнение найдем из геометрического равенства / sin 3-]-/ sin а = /г, (13) откуда получим: sin sin а = ---. (14) Исключив из равенств (12) и (14) угол а, найдем: /l-(л slnfi)= / 1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 51 |
 |
 |