Промышленное охлаждение - freezart.ru. Схемы и периодика

Главная » Мануалы

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 51

но 0B = 2R - 2г, и, следовательно, для равновесия необходимо, чтобы выполнялось Неравенство

(знак неравенства соответствует случаю, когда давление на горизонтальную плоскость будет распределяться по всему ободу).

Задача 1.31. Два однородных стержня АВ и CD длиной 21 и весом Р каждый опираются в точках D и 5 на гладкий горизоггталь-ный пол и соединены посередине шарниром О. Концы стержней А и С соединены нитью. Между верхними половинами стержней лежит гладкий Диск радиуса г и весом Q. Угол DOB ==2а..

К задаче 1.31.

Определить натяжение нити.

Решение. Для нахожде!шя реакций пола в точках D и В рассмотрим равновесие системы твердых тел (два стержня, скрепленных шарниром и нитью, и диск), отбросив мысленно пол и заменив его действие вертикальными реакциями Яд и Яд (рис. б). Кроме реакций пола, к системе твердых тел приложены: в центре диска его вес Q, в шарнире О вес стержней 2Р, оси координат показаны на рисунке. Составляем два уравнения:

судгма проекций всех параллельных сил на вертикаль равна нулю

J!.Fky=RD+ д-2Р-0 = 0; сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю moiF,)=Rg.BD-(2P + Q)A- = 0. Решая совместно эти уравнения, находим:

Rd = Rb = P-Y-Как и следовало ожидать, реакции пола равны между собой.

2 sin

Таким образом, реакции стсрж!юй равны между собой, что очевидно и но соображениям симметрии.

Далее, рассмотрим равновесие одного из стержней, заменив действие пола известной реакцией Ry н давление диска найденной величиной N (рис. г). На стержень, кроме того, действуют следующие силы: неизвестное но величине натяжеггие нити S, неизвестная но величине и направлению реакция шарнира о, которую представляем двумя составляющими Rq оу стержня Р. Благодаря тому, чго ранее были найдены реакции Rj и No, число нсизвест[П11х сил, действующих на стержень, равно трем, т. е. задача является статически оирелелеипой. Так как по условию требуется найти только натяжение 1ЩТИ, то достаточно составить одно уравнение равновесия, приравняв пулю сумму моментов всех сил относительно точки 0:

Е то (F) = SI cos CL - R/ sin a - Л/, ~~ = 0.

Задача 1.32. Нить ЛЕВ прикреплена к потолку в точках Л и В и пропущена через два отверстия в балке CD (рис. а). В середине /; Щ1ТИ подвешен груз Р. Вес балки CD равен Q. Pacciosnnie CD между отверстиями в балке равью АИ.

Полагая нить и балку абсолютно гладкими, онредел\1ть угол о, образованный в положении рашювесия балкой и нижними отрезками нити, натяжешге нити и реа:<ции между балкой и питью в точках С и D.

Решение. Для определения натяжения нити разрежем мыслегню АС и BD и рассмотрим равновесие нижней части системы (рис. б)

Рассмотрим, лалее, равновесие лиска, отбросив стержни и заменив их действие на диск реакгщями и (рис. в). Реакции Ni и Л/ соответстветш иернендикулярны к стержням АВ и CD, так как трение между диском и стержнями по условию отсутствует. Следователыю, yV] и Ni образуют с горизонталью равные углы а. Кроме реакций, на диск действует сила тяжести Q. Линии действия всех трех сил пересекаются в центре диска. Напишем уравнения равновесия диска:

Е F),x = Л^, cos а - Л/з cos а = О,

Е Fky = Ni sin а -f Л', sin а - Q = 0.

Регпая совместно эти два уравнения, имеем:

§31

PAUHOBECHli СИСГЕМЫ ТВЕРДЫХ ГЕЛ

под действием веса груза Р, веса балки Q и реакций нитей R и R.,. Проведя оси координаг (рис. б), составляем два уравнення равновесия:

2; с (*) = СО ~ (Q -1- Р) = 0.

Решая совместно эти два уравнения, имеем:

/?, = Я: = /? = --,

что, впрочем, очевидно вследствие симлгетрии системы.

Для нахождения угла а рассмотрим равновесие сил, приложенных к точке Е (рис. а). Следует заметить, что натяжение во всех частях

к зазаче 1.32.

нити по модулю одно и то же, так как в точках С и О, где нить проходит через отверстия в балке, трение отсутствует. Если бы в этих точках между нитью и балкой сушествовало трение, то 1гатяже-ния нити но разные сгороиы от отверстия были бы различны.

В точке Е приложены вес Р и натяжения /? и R. нитей, образующих угол а с горизонталью. Для определешш угла а достаточно составить одно уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на вертикаль равна нулю):

2/? sin а -Р = 0,

sin а = -

Второе уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на горизонталь равна пулю) составлять нет необходимости, так как оно только вновь подтвердит ранее установленное равенство натяжений в левой и правой половинах нити R[ = R = R. Для определения реакции между балкой и нитью рассмотрим равновесие нити в точке С, отбросив балку и заменив ее действие реакцией, составляющие которой обозначим через Л' и (рис. г). Кроме того, на нить в точке С действуют натяжения и -отрезков нитей АС и ЕС. Составляем урав1:е1шя равновесия точки С:

F,y = R~Ny-R sin а = 0. (2)

Из уравнения (2) находим:

Уравнение (1) дает:

Ny = Ri\- sino.) = 9-. Nx = 0,5 Yq-2PQ.

Для приобретения навыков в рещении задач на равновесие системы твердых тел рекомендуется решить следующие задачи из Сборника задач по теоретической механике И. В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 108, 109, 112, 143, 144, 145, 147, 150, 164, 166, 167, 169.

§ 4. Равновесие тел при наличии трения

1°. Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения. Силы трения скольжения возникают между шероховатым телом и шероховатой поверхностью, если равнодействующая активных сил Ц не направлена по нормали к поверхности, на которой 1ЮК0ИГСЯ тело (рис. 1.36). При равновесии тела необходимо, чтобы реакция шероховатой поверхности 5 (рис. 1.37) равнялась по величине И и была направлена в прямо противоположную сторону. Разложим активную силу /? на нормальную составляющую Л' и касательную составляющую Т, реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую Ni и касательную составляющую F, называемую силой трения скольжения или силой трения первого рода. При равновесии должны соблюдаться равенства

Л/-М = 0, (1*)

r - F = 0. (2*)

Из опыта известно, что при изменении величины составляю1ней Т в определенных пределах равновесие тела не нарушается. Следовательно, и сила трения скольжения согласно уравнению (2*) будет меняться в этих пределах.

Таким образом, сила трения скольжения при покое есть составляющая реакции связи, возникающая ггри действии активных сил, стремящихся сдвинуть тело. Эта составляющая реакции направлена в сторону, противоположную возможному движению тела. Величина силы трения может меняться от нуля до некоторого предела, в зависимости от величины и направления активных сил, с тем чтобы

Рис. 1.36.


ч
	1.37.

воспре/гятствовать перемещению тела. Огличие силы трения от других реакций связей заключается в том, что ее модуль не может превысить определенного предела.

Зависимость между силой трения и нормальным давлением определяется законо.ч Кулона: наибольшая величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению тела на поверхность

(3*)

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможному относительному движению.

Постоянная / называется коэффициентом трения скольжения. Экспериментально установлено, что этот коэффициент зависит от материала соприкасающихся тел и их шероховатости (чистоты обработки). Для абсолютно гладких тел коэффициент / равен ггулю. Для реальных тел

/>0. (4*)

Коэффициент трения не -зависит от силы нормального давления и площади соприкосновения *).

*) В последнее время экспериментально установлено, что с изменеггием нормального давления и площади со11рикос1Ювения кояффиннент трения незначительно меняется. Этим изменением мы будем нренсброгати.

Угол 9 между нормалью к поверхности и полной ее реакцией в положении предельного равновесия, когда F=Fma%: называется углом трения (рис. 1.38). Эют уго;г оггределяется равенством

tgf = f, т, е. <р = arctg/. (5*)

Построим в точке соприкосновения нормаль к поверхности и прямую OA, составляющую с ней угол 9. Конус, описанный этой прямой как образующей, называется конусом трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил, приложенных к твердому телу, леж1гт внутри конуса трения, то вне, зависимости от ее модуля тело останется в покое. Это объясняется тем, что в этом случае движущая сила будет меньше предельной силы трения.

У /. О

Рпс. 1.38.

Рис. 1.39.

Рис. 1.40.

Действительно, рассмотрим равновесие тела, находящегося на горизонтальной плоскости 5 (рис. 1.39). К телу приложена равнодействующая активных сил Q под углом а к нормали (вес тела входит в Q). Коэффициент трения скольже1шя /=tgf известен. Полагая а<ф, составим уравнение равновесия, прирашшв нулю сумму проекций всех сил иа направление нормали (рис. 1.40):

yV-Qcosa = 0 или N=Q cos я..

(6*) (7*) (8*) (9*t

Следовательно, сила Q, линия действия которой находится внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места, как бы велика она ни была. Иа этом свойстве ос1К)ваны некоторые самотормозящиеся устройства.

Если из Q выделить вес тела Р, то неравенство (9*) примет вгд

или

Проектируя все силы на горизонтальиое направление, находим:

Q sin а - F = 0 или Qsina. = F. Замечая, что наибольшее значение силы трения равно

F,nax=fQ COS а, и учитывая, чго tga<tg9, заключаем:

Q sin 0L<fQ cos а.

Qi sin a <f(P 4- Qi cos a.).

(10*)

Следовательно, сила Q, не может нарунн1ть равновесие тела при

1 - 4? P-bC,cosa

Сила трения может принимать различные значения or нуля до наибол11Шей величин.1. Поэтому урав11е1И-1я равновесия твердого тела, которые выражалисг. равенствами [§ 2, уравнения (!*), (2*), (3*), при наличии сил трения превраш.гюгся в неравенства. В связи с этим при решении задач, как правило, рассматривают наибольшее значение силы трения и находят при этом из уравнений равновесия предельные (наибольшие и ггаименьшие) значегнш искомых величин.

Так, например, рассматривая равновесие лестниць! АВ (рис. 1.41), онираюшейся на гладкую степу и шероховатый иол, мы найдем наименьшее значение угла я, при котором лесгнина будет в покое, если возьмем максимальное знамение силы трения. Положений равиоь1есия леспинп.! будет нрн этом бесчггсленное множество, так как нргг любом З(гачен11и угла а, больнгем тгайде1шого, но лгеныггем 90°, для равновесия необходима сила трения меньшая, чем ее максимальная величина.

При решении задач на р а в н о в е с и е т в е р -лого тела при наличии сил трения следует выполнить четыре первых пункта, указагигых в начале к н и i-и, па стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой гговерхностн представить дву.\гя соста1!Ляю-шими - нормальной реакцией и свлоИ трения, или же, не раскладывая эту реакцию на составляющие, направить ее иод углом трения <р к ггормали к noBepxirocTii (nprr максимальной силе трешя);

5) сопоставить число неизвестных велнчгш н число независимых уравнегщй равновесия, которые должны быть раын.! для статически онре-делен1н>1х задач; при этом к уравт1ениям равновесия твердого тела следует добавить зависимость силы треггия от нормалыюго давлс1гия (3*);

6) выбрать систему координат;

7) составить систему урав1гений равновесия д.тя сил, нриложенгн.1Х к твердому телу или к системе твердых тел;

8) реншв систему уравнений равновесия, определить искомые ве-

.ИТЧИНЫ.

Задача 1.33. Определить мо.туль силы Р, irpn которой начнется движение блока (рис. а). Вес блока Q = 200 к1\ высота /г = 0,8 м, ширина й = 0,6 м. (ила Р, нрнложегшая в точке В, образует угол 30- с горизонтом. Коэффициент трения между блоколг и гор1гзо(г-тальным но.юм /=0,2,

Р е ш е н и е. Движение блока может 1гачаться в двух случаях: а) если начнется скольжение блока но плоскости вправо (рис. о) ir б) если блок начнет опрокидываться вокруг ребра (рнс. в).

Рассмотрим первый случай. В этом случае точка приложения реакции полз N неизвестна. Составим уравнения равновесия - приравняем суммы проекций всех сил на оси координат (рис. б) нулю

Fkx=P cos Ж - F, = О,

Fy = N-\-P sin 30° -Q = 0.

Кроме того, учтем зависимость силы трения от пормалыгого давления

Fi=fN.

Определим из данной системы уравнений силу Р. Исключая силы Ft и N, находим:

cos 30° + f sin 30° - 0,965 - * -

Если величина силы Р станет больше этого значения, то блок начнет скользить вправо.

Рассмотрим второй случай. В случае возможного опрокидывания блока вокруг ребра А нормальная реакция N и сила трения F будут приложены в точке А (рис. в).

Составим три уравне1шя равновесия и четвертое уравнение - зависимость силы трения от нормального давления

V Е, = р cos 30° - F = О,

V f Л' - Q Ч- Р Sin Ж = О, 2 /Яд (£,) = Q . - - Р cos 30-/2 = О,

F = fN.

(1) (2)

Для нахождения величины силы Р достаточно найти ее значение из (3):

Qb 200 0,6-2

2Л cos 30° ~ 2 0,8 J/3

= 86,6 кГ.

Если модуль силы Р станет больше этого значения, то блок начнет опрокидываться около ребра А

Уравнения (1), (2), (4) смогут быть использованы для определе-1ШЯ нормальной реакции и силы трения.

Сопоставляя значения модуля силы Р в первом и во втором случаях, заключаем, что так как величина силы Р при скольжении меньше ее величины при опрокидывании, то при возрастагши модуля силы Р от нуля до максимума блок начнет сначала скользить, а не опрокидываться.

Задача 1.34. Для подъема (рис. а) или опускания (рис. б) ка-метюго блока А, весявтего 2000 кГ, нриме1шли два клина В и С. Коэффициент трения для соприкасающихся поверхностей АВ и АС равен /=0,2, а для поверхностей BD и CD равен /, = 0,25.

У }/} } %

D 6)

К задаче 1.34.

Найти равные по величине горизонтальные силы Р, сжимаювше клинья, необходимые для подъема блока А. Определить силы Р, растягивающие клинья, необходимые для опуска1Шя блока А. Наклонные плоскости соприкосновения блока с клиньями образуют угол 10° с горизонтом.

Решение. Рассмотрим рав,новеспе системы тел, состояитей из блока А и клиньев В \л С. При подъеме блока (рис. а) силы Р сжимают клинья. Рассмотрим отдельно равновесие блока и равновесие клина. Отбросив мысленно клинья, заменим их действие на блок

нормальными реакциями N и силами трения F (рис. в). Кроме того, на блок действует известная сила - вес Q. Составим два уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил на оси х и у:

Fkx = NiS\n 10° -Л^, sin 10°-[-£,2 cos 10° -F, cos 10° = О,

Fy = Ni cos I0°--Aiicos 10° -Q -F, sin 10° - F sin 10° = 0.

Кроме того, запишем зависимость сил трения от нормального давления

Fi=/Ni, F,=fN,.

Тогда находим:

Л', = М=10Г)0 кГ, Fi = F2 = 210Kr.

Перейдем, далее, к рассмотрению равновесия клина В (рис. г). На клин действуют: реакция блока, которая раскладывается на нормальную составляющую-N.i и силу трения - F.i, активная сила Р и реакция полз, разложенная на нормальную силу 5 и силу тре1И1я Т. Напишем уравнения равновесия для клипа В:

У:Р^х= - -2 sin 10° -Fjcos 10°- 7-f-P = 0, Fft, = 5--F2 sin 10° -cos 10° = 0.

Кроме того, имеем зависимость силы трения от нормального давления

/ =/io.

Отсюда, пользуясь найденными ранее значениями реакций, найдем 5=996 кГ, Г=249 л-Г, Р = 641л-Г.

Таким образом, для равновесия системы при подъеме блока получено необходимое граничное значение силы P = G41 кГ. Если же Р^641 кГ, то начнется но.тъем блока; система придет в движе1ше.

Перейдем к определению величины силы Р при спуске блока. Блок А находится в равновесии (рис. д) под действием активной силы - веса Q, нормальных реакций клиньев N, м Nn. и сил трения F, и F. Силы трения в этом случае направлены вдоль наклонной плоскости вверх. Это сразу видно из рассмотрения равновесия клина В (рис. <?), так как в связи с изменением направления силы Р на прямо противоположные силы Г и -F меняют свое направление на противоположное по сравнению с предыдущим случаем (рис. г).

Уравнения равновесия для блока А будут:

2Fft = F, cos 10° -F, cos 10° -М sin 10°--М sin 10° = О,

V Fy = Ni cos 10° -f- TV, cos 10° + Fi sin 10° + F., sin 10° - Q = 0.

Кроме TOio, зависимость силы трения от нормального давления даечся равенствами

Fi=fNu F, = fN,.

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 51