|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы §4] РАВНОВЕСИЕ ТРЛ ПРИ НАЛИЧИИ ТРГНИЯ 109 ставляютей, необходимой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плоскости R на две составляющие: нормальную составляющую N и касательную реакцию F, являющуюся силой трения (рис. 1.43). Таким образом, в предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил (5 р, F) с моментом S-r (где г - радиус катка) и вторая пара сил {N, Р), удерживающая каток в равновесии. Момент шорой нары, называемый моментом трения качения, определяется формулой где /к - коэффициент трения качения, измеряемый в единицах длины. Этот коэффициент можно рассматривать как расстояние, на которое смещается реакция N от вертикали, проходящей через центр катка. Для того чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трегщя F была меньше по величине, чем максимал1)Ная сила трения скольжения P<fN, (13*) где /- коэффициент трения скольжения. Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствии чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит [10 некоторой поверхности, смешенной от нижней точки катка в сторону возможного движегжя. При решении задач на равновесие твердо:о тела при наличии трения качения надо выполнить четыре н е р в ы х п у н к т а, у к а з а н-ных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности направить из точки, отстоящей на расстоянии коэффициента трения качения от нормал[, проведенной из центра катка так, чтобы она проходила через точку О пересечения двух других сил, действующих на каток (рис. 1.42), или заменить реакцию Р двумя составляющими - нормальной реакцией N и силой трения F; 5) согюставить число неизвестных и число уравнений равновесия, добавив к ним зависимость момента трения от нормального давлети'.я; число неизвестных должно быть равно числу уравнений, если задача является статически оиределе!1[1ой; 6) составить систему уравнений равновесия для твердого тела; 7) решив полученную систему уравнений, определить искомые величины; 8) сопоставив величину cmjh.i трегжя с максимальной силой трегшя скольжения, убедиться в том, что первая сила меньтие второй.  Задача 1.46. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом Q= 392 кГ приводится в равномерное движение человеком, который давит на рукоятку А0 = 1,5 .tf с постоянной силой Р в направлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен /-=0,5 см. Определить величину силы Р, силу трения при качении и нормальную составляющую реакции горизонтальной плоскости (рис. а). Коэффициент трения скольжения между катком и дорогой /=0,2. Рещение. При равномерном качении катка все силы, действующие на каток, уравновешиваются. К катку нриломсены две активные силы: вес катка Q и сила давтения человека Р. На каток наложена одна связь - горизонтальная плоскость. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно горизонтальную плоскость и    К задаче 1.46. заменим ее действие реакцией R. Эта реакция приложена в точке С, находяи1ейся на расстоянии Д от вертикали, проведенной через центр колеса. Реакция R направлена но прямой СО, так как согласно теореме о трех непараллельных силах в случае равновесия лшши их действия пересекаются в одной точке О (рис. б). Реакцию плоскости R раскладываем на две составляющие: нормальную составляютцую N, перпендикулярную к плоскости, и касательную составляющую - силу тре1щя при качении F, панравлениую вдоль плоскости. Рассмотрим равновесие кагка как твердого тела, находящегося под действием четырех сил: Q, Р, Л/, F. Выберем систему декартовых координат. Ось х направим по горизонтальной плоскости вправо, ось у - вертикально вверх через центр катка. Составим уравнения равновесия. Обозначив буквой а у10л между горизонталью (осью х) и рукояткой ОЛ, получим: Sft-=-/cosa = 0, (1) Е^йз, = Л^-<3-Psina = 0, (2) E/Wc(/=ft) = Pcosa.r -(Q-f Р sin а)Д = 0, (3) В уравнещи (3) буквой г обозначен радиус катка. При составлении суммы моментов сил относительно точки С сила Р, приложенная в центре катка О, разложена на две составляющие - горизонтальную (Р cos а) и вертикальную (Р sin а), и использована теорема Вариньона. При этом, как принято всегда делать, при вычислении момента горизонтальной составляющей силы Р мы пренебрегли изменением ее плеча, считая, что оно равно радиусу катка г. Из уравнения (3) найдем величину искомой силы Р: р - 9Ь 392-0,5 8 2 7 к Р Равенство (2) даст: N= Q + Р sin а = 392 -f 8,27 = 396,95 кГ. Из уравнения (1) определяем величину силы трения: f = Р cos а --= 8,27 = 6,63 кГ. Проверим, сопоставляя величины силы трения при качении F и силы трения скольжения, будет ли в данном случае чистое качение или же будет иметь место скольжение. Сила трения скольжения равна Р, = fN= 0,2 396,95 = 79,4 кГ. Таким образом, сила трения скольжения больше силы трения при качении. , F>F и каток будет катиться без скольжения. Задача 1.47. Цилиндрический каток радиуса г и весом Q (рис. а) удерживается в равновесии на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, нитью, перекинутой через блок А. К концу нити подвешен груз несом Р. Коэффициент трения качения катка равен / . Определить наименьшую и наибольшую величины веса Р, при которых каток будет в равновесии. Найти наименьшее значение коэффициента трения скольжения /, при котором в случае движения каток будет катиться без скольжения. Решение. Рассмотрим равновесие катка в двух случаях. В первом случае, когда величина Р имеет наименьшее значение, возможное направлоте движения катка но наклонной плоскости - вниз (рис. б). Точка С, где приложена реакция плоскости, в этом случае смещена на расстояние влево от перпендикуляра, опушенного из центра катка О на наклонную плоскость. К катку приложены две активные силы: вес Q и натяжоте нити Pmin- 01брасыпая мысленно связь, наложенную на каток, - наклонную плоскость, заменяем ее дейстние реакцией, которую раскладываем па нормальную составляюптую N и касательную составляющую (силу трения F). Составляющая N перпендикулярна к наклонной плоскости, сила трения направлена вдоль наклонной плоскости в сторону, противоположную возможному дв11же1П1ю центра катка. Рассмотрим равновесие катка как равновесие свободного твердого тела, находян^егося под действием четырех сил: Q, Рт\п> Л', F. Так как по условию требуется найти только минимальное и максимальное значе[1ия силу Р при равновесии, то и.ч трех уравнений равновесия   к задаче 1.47. составим одно уравнение, выражающее равенство нулю суммы момен-1СВ всех сил относительно точки С: Ц тс (Pk) = - /kQ cos а - j- (Q sin я - P, ,) r = 0. В это уравне!1пе не вошли неизвестные силы N w F, так как они приложены в точке С. 1Гри составлении уравнения мы разложили силу Q па две составляющие: Q cos а, панравлениую перпендикулярно к наклонной плоскости (плечо этой составляющей относительно точки С равно коэффициенту трения качения Д), и составляюи1ую Q sin а, нанравленную параллельно наклонной плоскости и отстоящую iia расстоянии г от нее. Решая уравнение (1) относительно Ртп' имеем: sin а - cos а Рассмотрим теперь второй случай, когда сила Р достигает максимальной величины, при которой возможно равновесие. В этом случае возможное направление движения катка - вверх по наклонной плоскости (рис. в). Силы Q и Яп11х направлеш.! аналогично первому случаю и приложе)и> пс-прежнему в цеит1)е катка О. Реакция наклонной плоскости на этот раз приложена в точке Cj, сментениой на расстояние /к вправо но наклонной плоскости. Составляем уравнение моментов относительно точки Q: 2 тс, (F) =AQ cos а - (Р, ах - Q sin а) /- = О, откуда имеем: Рпчх - Q sin а 4- cos а Таким образом, каток будет находиться в равновесии на наклонной плоскости, если величина силы Р лежит в пределах sin а - cos а г I /к sin а-]-у cos а Перейдем к определению наименьшего значения коэффициента трения скольжения /, при котором в случае движения цилиндр будет катиться, а ие скользить. Рассмотрим вначале случай, когда вес груза Р имеет наименьшую величину. Приравняем нулю суммы проекций всех сил на ось х, параллельную наклонной плоскости, и на ось у, перпендикулярную к ней (рис. б). Подставляя в первое уравнение Е = Ртш Н- F - Q sin а = о значение P iin> соответствующее (2), находим силу трения при качении F = Aqcos а. Второе уравнение равновесия Xf* = A-Qcosa = 0 позволяет определить нормальное давление, равное по величине нормальной реакции N -Q cos а. Условием, при котором будет чистое скольжение, является: F<fN, где/-коэффициент трения скольжения. Внося в (4) значения F N, находим: /к Рассмотрим, далее, случай, ксгда вес груза Р имеет наибольшую величину (рис. в). В этом случае уравнения проекций будут: Fy=Ni - Qcosai = 0. Внося в уравнение (6) значение Ртах (3), находим: Fi = y Qcosa, Л/, = Q cos а. Подставляя эти значения в (4), получаем условие чистого качения которое совпадает с условием (5). Задача 1.48. Стальной цилиндр радиуса г зажат между двумя параллельными направляющими, из которых нижняя закреплена неподвижно, а верхняя может перемещаться прямолинейно, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Верхняя направляющая прижимается вертикальной силой Р к диску (рис. а). Коэффициенты трет1я качения между цилиндром, нижней и верхнем направляющими соответственно равны/к, и / . К задаче 1.48. Пренебрегая весом ци- линдра и направляющих. кч\\\\\ч\\Чт\ч\\\н   найти максима..ьпую силу Т^, приложенную к верхней направляющей, при которой цилиндр еще будет оставаться в покое. Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра (рис. б), отбросив мысленно нижнюю и верхнюю направляющие, заменив их действие реакциями. Тогда на цилиндр будут действовать со стороны нижней направляющей нормальная реакция N, и сила трения Т„ со стороны верхней направляющей нормальная реакция N.2 и сила трения 7.3. При этом точка приложения реакции нижней направляющей будет смещена вправо от вертикального диаметра на расстояние А а течка приложения реакции верхней направляющей будет смещена на расстояние от вертикального диаметра влево, т. е. в сторону воз- можного перемещения цилиндра по отпощению к каждой из направляющих. С другой стороны, если рассмотреть равновесие цилиндра вместе с верхней направляющей, то, проектируя силы на вертикаль, получим: Ni - P = 0 или Ni = P. Тогда, возвращаясь к рассмотрению цилиндра (рис. 6), имеем, проектируя силы на вертикаль: Л/, - M = 0 или Ni = Ni = P. Составим, далее, сумму моментов всех сил относительно точки Л: откуда искомая максимальная сила равна П = Yr (Л. -г М/к.) = (/к. -Ь/к,). Если коэффициенты трения качения равны то тогда о Рис. 1.41. Для приобретения навыков в решении задач на равновесие тел при наличии трения качения рекомендуется решить следующие задачи из Сборника задач но теоретической механике И. В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 190, 191, 192. 3°. Равновесие твердых тел при наличии трения гибких тел. Предположим, что на неподвижный цилиндр навита нить, к одному концу которой подвешен груз весом Р. Угол охвата цилиндра нитью равен а (рис. 1.44). Коэффициент трения нити о шероховатую поверхность цилиндра равен /. Тогда сила Т, необходимая для удержания груза Р в равновесии, определяется по формуле Эйлера: Т=Ре~, (14*) где е - основание натуральных логарифмов. Таким образом, сила Т, уравновешивающая груз Р, не зависит от диаметра цилиндра и является функцией угла охвата и коэффициента трения. При решении задач на равновесие твердых тел при наличии трения гибких нитей надо выполнить  четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Далее следует: 5) сопоставить число неизвестных величии и число уравнемиН равновесия, добавив к уравнениям равновесия зависимость (14*) между силами натяжения нити с обеих сторон охватываемого тела, и убедиться в том, что число независимых уравнений равно числу неизвестгых и, следовательно, задача является статически онределеиной; G) 1н.1брать систему коорл;1нат; 7) составить урав!1ения равновесия твердого тела; 8) pcHHHi эту систему уравнений, определить неизвестные величины. Задача 1.49. При 1нвартовке судна матрос накладывает канат вос11меркой на чугунные столбы. Натяжение каната равно Q, сила, с которой матрос удерживает канаг, равна Р. Уго.т охвата канатом каждо'о столба ранен 210°. Определить коэффициент трения каната о столбы, если известно, что матрос может удержать канат, наложив tjmi восьмерки, Пола)ая коэффициент трения каната о чугунный столб равным /=0,15, определить величину натяжения, которое матрос способен удержать, если сила Р = 60 кГ. Р е ш е н и е. Угол охва.а канатом одного столба равен ь При наложении трех восьмерок угол охвата канатом столбов будет в шесть раз больше, т. е. 7л. Тогда зависимость натяжений двух к( н-цов каната определится формулой Логарифмируя, находим искомый коэффициент трения между канатам и чугунным столбом: Из (1) имеем: 1н = 77:/= 3,3. Отсюда при заданных знатениях / и Р и Q = 27-60= 1620 vP. Р Таким образом, наложив три восьмерки на чугунные столбы, матрос может удержать в равновесии канат, ко второму концу которого приложена сила, равная 1620 кГ. Задача 1.50. Через два неподвижных вала с нентрами О и О, (рис. а) перекинут трос, к концам которого подвешены грузы Р и Q, причем P>Q. Определить минимальное значение коэффициента трения между валами и тросом, при котором грузы будут находиться в равновесии. Полагая коэффициент треиия троса о вал равным /= 0,25, найти груз Р, который можно удержать в равновесии грузом Q=10 кг. Решение. Рассмотрим равновесие части троса, охватывающего левый вал (рис. б). На трос действует активная сила Р. Отбрасывая мысленно правый вал, разрезаем трос между валами и заменяем де(.-ствие правой части силой натяжения троса Т.    К 3a aiie 1 50. Для равновесия этой части троса должно удовле!воряться равен- где угол обхвата а равен 3~/2. Итак, Т = Ре~. Рассмотрим, далее, равновес1е правого вала (рис. в), отбросив мысленно левый вал, разрезав трос и замеш1в его действие силой 7 ,. Согласно закону равенства действия и противодействия натяжения Т и / i равны но величине. Для равновесия части троса, охпа1ываюптсй правый вал, должно удовлетворя1ься равенство так как и у правого вала угол охвата а =3-/2. Решая совместно уравнения (1) и (2), исключая натяжение ipoca между валами У, находим: Р .з./ Эта же задача может быть решена и другим способом. Рассматривая равновесие всего троса (рис. а) и замечая, что полный угол охвата тросом двух валов равен 3,3 находим зависимость между силами Р и Q: Q = Pe--, О)куда имеем: Для определения величины груза Р, который можег быть удержан в равновесии грузом Q=lO кГ, из (3) находим: Тогда = 10,5 In - = 3z/= 2,358. /5 = 10 I 0,5 = 105 кГ. Таким образом, грузом Q, равным 10 кГ, можно удержать в равновесии груз Р, равный 105 к Г. Задача 1.51. Трос АВ охватывает барабан, вращающийся вокруг центра О. Коэффициент трения троса о барабан равен /. Копны троса А v[ В прикреплены к рычагу BAD, который можег поворачиваться вокруг точки D. Расстояния AD = a, BD = b. 
к задаче 1.Ы. Определить натяжение троса в точках А w В. Пренебрегая весом рычага BAD, найти расстояние CD=:c, на котором надо подвесить к рычагу груз Q, чтобы давление в точке D равнялось нулю. Решение. Рассмотрим равновесие троса, охватывающею барабан, отбросив мысленно рычаг (рис. б) и заменив ею действие реакциями троса Si и Si- 1 ... 8 9 10 11 12 13 14 ... 51 |
||||||||
 |
 |