Промышленное охлаждение - freezart.ru. Схемы и периодика

Главная » Мануалы

1 ... 40 41 42 43 44 45 46 ... 51

Найти ускорение точки В и мгновенное угловое ускорение шатуна АВ.

Решение. Скорости точек А н В шатуна параллельны друг другу и не нерпендикулярпы к отрезку АВ. Следовательно, мгновеп-1Н.!й центр скоростей шатуна находится в бесконечности, шатун совершает мгновенно-посгупагельиое движение, скорости всех его

К заламе 6,25.

точек равны ((о„г=0). Величина скорости точки А и, следовательно, любой точки шатуна равна

Уд = ОЛ №„ -- 20- см/сек.

Ускорение точки Л складывается из нормального и касательного ускорений, величины которглх равны

= Л О < 5 = 20- см/сек', да = ЛО So = 20 0,2;: = 4л CMJceu.

Выбирая точку Л за полюс как единственную точку шатуна, ускорение которой известно, применяем формулу распределения ускорений для точки В

В данном случае неизвестно по ве.тичиие и направлению, )р, неизвестно но величине. Следовательно, непосредственно найти искомые величины из уравнения (I) нельзя. Воспользуемся тем, что может быть определено нормальное ускорение точки В

v% (207.) 40

= = ЖГ - -/

Проектируя равенство (1) на нормаль к траектории точки В, т. е. на вертикальную ось, получаем:

д = л - сл sin Т - 7а - Т. (2)

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ

[ГЛ. Vf

где sin-) = = 0,5; -]f = 30°. Из формулы (2) находим величину вргчца гельного ускорения

\ 3 / 40 о , <)

-----=--= Tz см сек%

/3 3 1/3

так как ги = Лв-о)г = 0 (рис. б). Отсюда найдется значение углового ускорения

е„,= - = 0,1921. сек-\

В соответствии со знаком гиР £ направлено против часовой стрелки.

Находим касательное ускорение точки В, проектируя равенство (1) на ОВ:

= w\ - wfjy sin -[ - A-!: - ~ 7г- O.f = - 25,4 см/сек'.

S у S

Вслшшна ускорения точки В

Wa = V{wlf~(w] - = 135 см;сек\

Угол, составленный этим ускорением с линией О,В, определяется из уравнения

tg? = ! .-? = 0,188.

Задача 6.26. Колесо радиуса а катится без скольжегшя по прямолинейному рельсу (рис. а). Скорость центра колеса постоянная и равна Voy.



	г,

к задаче 6.26.

Определить уравнеипя диижения, скорость и ускорение точки Л1, жсчмко связанной с колесом и находящейся па расстоянии OiM = ! от цешра колеса.

Решение. Выбираем неподвижную систему координат ху и подвижную систему координат x,yi. Подвижная система координат перемешается поступательно вместе с центром колеса, а ее оси остаются параллельными осям неподвижной системы. Величина угловой скорости колеса определится из равенства (рис. 6):

так как мгновенный центр скоростей находится в точке Р соприкосновения колеса с неподвижным рельсом. Следовательно,

Умножая (1) на dt и учитывая, что (в = , имеем:

d, = dt.

Интегрируя, находим:

Полагая !? = 0, при = 0, находим из (2), что произвольная постоянная интегрирования Ci - 0 н, окончательно,

,==t.

Координаты точки М в подвижной системе координат:

Xi = l .SHI о = / sin -у-1,

у, = / cos tp = / COS t.

Координаты точки М в неподвижной системе координат складываются из координат точки Oj, начала подвижной системы, и координат (3):

х = Хо,+х, =tio/ + / Sin -у t,

У =yoi -I- У1 = а + / cos t,

тогда радиус-вектор точки Л1 в негкдвижной системе координат будет:

Г = Ivo.t +1 sm -i i + (а + / cos t)/

где i, J - орты осей координат.

w =--sin cos -tj). (4)

Замечая, с учетом (3), что р гдиус-векгор Oi/И равен

ri = OHf = -Vii-;-.i.y = /(sin - it i-cos-ioj, П|)едсгавим ускореппе (4) в виде

Таким сбразом, ускорение точки М постоянно по величине и направлению от точки М к центру колеса.

Задача 6.27. Прямолинейный стержень АВ совершает плоское движение.

Зная ycKopeiine точек Л и 5, определить точку С прямой АВ, ускоре[1ие которой является iianNienbmnM, а также величину и направление ее ускорения.

Решение. Графоаналитический метод. Рассмагрпвая точку Л как полюс, 1!айдсм, пользуясь формулой (Я*):

к /, = Wa 4- Ща -\- Z = A-h Щи. величину и паправлепие

Для этого откладываем из точки В ycicopeinie iw и равную ему сумму Wqa-tWa (pic. б). Ускоре[ше w образует с прямой ЛЛ угол а:

<А

Зная угол а, находим мг110ве1шый центр ускорегпШ стержня. Для этого откладываем угол а от ускорений и w/ в том же накрап-лении, в котором прямая ВА отложена от хИдд. Пересечение прямых BQ и ЛQ и определяет положение мгновенного центра ускорений Q. Зная положение мгновсшюго центра ускорений, можно легко найти точку С

Скорость точки М оп)еделится как иропзиолпая радпуса-вектсра по време[И1

/ IVn Vn \ Ivr,

- = cos-/;-- -sm-f/

Скорость точки М иаправл'спэ перпендикулярно мгповеЕПЮму радиусу РМ.

Ускорение точки А\ ссгь производная от скорости но времени

УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУСЫ

стержня, ускорение которой яиляется наименьшим. Действительно, ускорения точек плоской фигуры нронорциональиы 11Х расстояииям до мгновенного ueirrpa ускорений. С.1едовательно, для нахождения точки С достаточно опустить из Mrnoueinioro neirrpa ускорений Q перпендикуляр на стержень АВ. Точка С, находящаяся в нересечеппн перпендикуляра со стержнем, будет иметь иапмеиынее ускорение.

Для нахождения величины и направления ускорения точки С построим на двух векторах цуд параллелограмм. Нанравлепие ускорения точки С определпгся углом а, отложенным от прямой QC. Неличина ускорения точки С равна длине вектора с началом в точке С и с концом па стороне параллелограмма, соединяющей концы векюров (рис. б). Эго следует из того, чю ускорение любой точки сгержия/:?,4

К задаче 6.27.

складывается из относи гелыюго ускорения, параллельного гУдд и пропорционального расстоянию точки до полюса А, и ускорения полюса Юд. Конец относительного ускорения любой точки стержня леиатт иа прямой D,4. Прибавляя к нему ускорение полюса цУд, находим, что конец ускорения любой точки стержня АВ лежит на стороне параллелограмма, соединяющего концы векторов цУд.

Величину ускорения Wq можно найти и другим путем. Замечая, что

QQ - НА - ► I

Для приобретения навыков в решении задач па определение ускорений точек плоской фигуры рекомендуется решить следующие задачи из Сборника задач но теоретической механике И. В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 557, 564, 565, 568, 569, 572, 575, 578.

Рис. 6.18.

Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пусть фигура ABC (рис. 6.18, а) совершает плоское движение. В данный момент скорость точки А равна v, направление скорости точки В задано пунктирной линией kk. Для построения плана скоростей откладываем из произвольного полюса о (рис. 6.18, б) отрезок оо, равный фд. Из точки о проводим прямую, параллельную направлению' скорости точки В, а из точки а-прямую, перпендикулярную отрезку АВ, соединяющему точки Л и 5. Пересечение этих прямых определяет точку b на плане скоростей. Вектор оЬ соответствует скорости точки В -

ob = VB, (I*)

а векгор аЬ - вращагслыюй скорости точки В вокруг Л, т. е.

ай,= г ,д.-ыХп, (2*)

§ 5. План скоростей и план ускорений

План скоростей--это диаграмма, позволяющая графически определить скорости любой точки рассматриваемой плоской фигуры. План скоростей может быть построен, если: а) известна скорость точки Л плоской фигуры и нанравление скорости другой точки В фигуры или б) известна скорость точки А плоской фигуры и мгновенная угловая скорость фигуры. План скоростей может быть построен и для совокупности плоских фигур, об!)азующих плоский механизм.

где Г1 = ЛВ. Полученный на рис. 6.18,6 векторный треугольник

оЬ = оа-\- аЬ соответствует формуле расиределе1Н1я скоростей

Из плана скоростей находится иеиосредственио величина мгновенной угловой скорости плоской фигуры

АВ АВ- >

Для нахождения скорости точки С достаточно провести из точки а прямую, пернепдикулярную к АС, а из точки й (рис. 6.18, прямую, перпендикулярную к ВС. Пересечение этих прямых определит точку с плана скоростей. Отрезок ос будет изображать скорость точки С. (Скорости точек плоской фигуры, обозпачепт,1х прописными буквами, изображаются на плане скоростей векторами, проведенными из полюса о в соответствующую точку, обозначенную малой буквой; оЬ означает скорость точки В и т. д.

Фигура аЬс иа плане скоростей иодобпа плоской фигуре ABC (рис. 6.18, а), так как любая прямая, обозиачеипая малыми буквами па плане скоростей {аЬ, например), перпендикулярна к соответствую-н'.ей прямой {АВ) па плоской фигуре. Таким образом, фигура аЬс подобна ABC и повернута иа угол 90° в направлении врапгения.

План ускорений - это диаграмма, нозволяюиоя графически определить ускорение любой точки рассматриваемой плоской фигуры. План ускорений может быть построен, если имеется план скоростей, известно ускорение какой-либо точки А плоской фигуры и паправленис ускорения другой точки В фигуры. План ускорений может быть также построен, если, кроме плана скоростей и ускоре1щя точки А плоской фигуры, известно положение нентра кривизны траектории какой-либо точки В фигуры. Лля построения плана ускорений удобно пользоваться формулой распределения ускорений при плоско-параллельнсм движении:

Построе1ше плана ускорений произведем для той же плоской фигуры, полагая известными ускорение точки А и направление ускорения точки В (прямая NN). Откладываем из произвольной точки о,

(полюса) ускорение w = o\a\. Далее, определяем величину центростремительного ускорения точки В при враи(снии вокруг точки А

*;, = <.,ш==(°;.л = *, (6-,

436 ПЛОСКОЕ ДПИЖЕПИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. уг

1де аЬ находится непосредственно из плана скоростей (рис. 6.18, б). Откладываем найденное по величине центростремительное ускорение W/

из точки О] (рис. 6.18, б) в ганравлешш, параллельном/УЛ. Обозначим этот вектор ajrtj.

перпендикулярную к а|Л^: на пей должен находиться конец вектора Wg, отложенного из полюса oj. С другой стороны, проводя из oj прямую, параллельную направлению {NN) ускорения г£)д, замечаем, что конец вектора и д должен находиться и на этой прямой. Следовательно, он находится в точке bi, где эти прямые пересекаются.

Далее, находим величину мгновенного углового ускорения нлсской фигуры

ЛВ ~ AR- >

Направление е„г можно изображать при помощи дуговой стрелки ei которая в данном примере направлена против часовой стрелки. Зпая £ можем, пользуясь формулой распределения ускорений (5*), пайти ускорение любой точки плоской фигуры.

Второй вариант построепн! плана ускорений получается, если вместо направления ускоре1щя второй точки (точки В) известно положение HCinpa крипиз!п.1 траектории точки В в данном положении плоской фигуры - С,. Построение в этом случае отличается от предыдущего следующим. После того как отложены векторы o,ai и ах1ц и проведено паправлепие хИдРд перпендикулярно к ауПу, находим нормальное ускорение точки В

и откладываем этот вектор от полюса Oj в паправлеиии ВС. Далее, из конца Wn проводим перпендикулярно к прямую w. (направление касательного ускорения). На пересечении этой прямой и ранее ироведеиного направления iwj.Pj и находится точка ft конец вектора ускорения

При построении нл.зна скоростей и плана ускорений плоской фигуры рекомендуется такая последователь ностьдейств и й:

1) изображаем на чертеже в избрашюм масштабе плоскую фигуру, скорость и ускорение одной точки Л, выбранной за полюс, направление скорости и ускорения другой точки В;

2) строим план скоростей, откладывая из произвольной точки о известную скорость точки А и направление скорости второй точки В,

§S ПЛМГ СКОРОСТПП Н ИЛМ! УСКОРЬНИЙ 437

затем проводим из конца прямую, перпендикулярную к ЛВ, до пересечения с направлением скорости точки В;

3) находим, далее, мгновс1И1ую угловую скорость фигуры, после чего можем построить скорость любо!1 точки фигуры, пли строим скорости других точек плосг:ой шгуры, откладывая их В11аи(ателып.1е скорости перпендик'улярпо к прямым, соедппяк^щпм точки с полюсол! Л; величины враигательпых скоросте!! берем пропорц1:опалы11.1ми расстояниям точек до гюлюса Л;

4) строим план ускорении, откладывая пз произвольно!! точ1си о, известное ускорение точк1! А, из его KOi!!ia - це!!тросгрем!1гелы!ое ускорение w} и проводя через ко!!ен w, 1!аправле!П!е врап!,атель!!ого ус1Соре!!1!я; !1ересеченне !!а!111а!1ленпя уско[)ення io4!ii! В с 1!а!!раиле-Н!1ем iwJjP ог!ределяет- ис!сомое ycicopeniie точки В;

5) находим мгнопеппое угловое ускореппе iKTOcKoit (1)П1уры, после чего можно гюстроить ускорение .чюбой точки.

Задача 6.28. Кривоипит ОИ плсского механизма враигается равномерно, делая 300 оборотов в мппугу.

Для ноложе1П1я механизма, 1шгда о = 0, л'О, ~2, 0[1ределптт> графически скорости точек А, В, С, D, иостронп ггтан скорости. Paз^ieI;l>I звеньев: 0 = 20 гм, АВ=\()0 см, /ID = 50 см, /;C=30r.i/, О^С=Ъ0 см. Координаты точки 0.2:60 см и 40 см (рис. а).

[ешепие. Для определения скоростей точек плос1Сого механизма для положения, когда = л/6, вгтчерчнваем схему меха1н1зма в избранном масштабе в этом положении (рис. а) н строим п.тап cicopocicH.

Скорость точки А кривошипа направлена перпендикулярно к кри-В0И1ИПУ 0,Л. Ее модуль равен произведению углово!! скорости кривошипа иа его длину

г- = ш . = aJ- ОуА --= 20 = 200л см/сек.

Из произвольной точки О (рис. б) откладываем в маснпабе отрезок оа, пзображаюитпй скорость Vj.

Скорость точки В паправлепа вдоль прямой OiB. Она определяется формулой

п = л-\-Опл- С)

Для построетшя скорости точки В из точки о (рис. б) проводим прямую, параллельную иа[1равлепи10 скорости ф^, а из точки а - прямую, перпендикулярную к АВ, до их пересечения в точке Ь. Полученный таким образом отрезок оЬ определяет скорость точки В, а отрезок ah определяет вра[цательную скорость точки В вокруг точки Л, величина которой равна

438 ПЛОСКОЕ ЛВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. Vf

где lojj - мгновенная угловая скорость звена АВ. Измерив длины отрезков оа и ой и умножив их на масштаб, имеем:

115ic см I сек, ;)д = 170ic с.н'сек. Скорость точки D определяется формулой

Скорость Фд уже имеется на плане скоростей. Чтобы найти вра-шательную скорость точки D вокруг А, воспользуемся свойством

плана скоростей, т. е. находим место точки d на прямой аЬ (рис. б) из соотношения

АВ аЬ AD~ ad

так как вращательные скорости точек В и D вокруг точки А про-порциоггальпы их расстояниям до полюса А. Соединив нолуче/шую таким образом точку d с точкой о, получим отрезок od, определяющий скорость точки D. Измерив длину отрезка od и умножив ее на масштаб, имеем:

д=135л см/сек. Скорость точки С, как принадлежащей звену ВС, равна

с = л4-*лс- (2)

(] другой стороны, скорость точки с, как принадлежащей звену 0.,С, направлена перпендикулярно к С^С. Для построешгя скорости течки С из точки о (рис. б) проводим прямую, перпендикулярную звену С^С, а из точки b - прямую, перпендикулярную звену ВС, до их nefece-чения в точке с. Полученный таки.м образо.м отрезок ос определяет скорость точки С, а отрезок he определяет вращательную скорость точки С вокруг точки В, в(-личи)1а которой равна

где и) .д - мгпове1П1ая угловая скорость звена СВ. Измерив длины

отрезков ос и he и умножив их на масштаб, имеем:

г),= 130ic см/сек,

v. - To-k см/сек.

Переходим к построению плана скоростей механизма для положения, когда ср = т:/2. Вычерчиваем схему меха1шзма в масштабе в этом положении (рис. в) и строим план скоростей. Скорость точки А кривошипа направлена перпеидикулярио к кривошипу О^А и ее модуль

1 ... 40 41 42 43 44 45 46 ... 51