|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы и направлено от точки /: к ючке В. Мгновенный центр скоростей сгерж/гя BD находится в точке Р, так как скорость точки D перпендикулярна к стержню AD, а скорость точки Е перпендикулярна к стержню BE. Возьмем точку £, ускорение которой известно по неличине и по иаправлепию, за полюс. Рассмотрим ускорение точки Р, считая, что она принадлежит плоской фигуре, жестко связанной со стержнем ED. Направление ускорения точки Р известно, так как оно всегда направлено по нормали к центроиде. Если мысленно соединить течки В н D прямой, то тре-угольгшки ADB и BDE равны по трем равным сторонам. Вследствие этого, DAB = Z, BED и /, АВЕ= / ЕО.А. Тогда треугольники АРВ и EPD равны, имея равные сгорогн,! AB = ED и равные углы. Отсюда Следует, что PB = PD и АР-]-РВ = = AD=\0 см;   D We Е К задаче 6.22. таким образом, в условиях данной задачи сумма расстояний от мгновенного центра скоро-стей стержня ED до двух неподвижных точек А и В ecib величина посгоя1И1ая. Следовательно, точка Р описывает иа 1еподвижной плоскости эллипс, фокусами которого являются точки А и В. Этот эллипс является неподвижной центроидой. По свойству эллипса нормаль к нему в какой-либо точке является биссектрисой внутреннего угла между фокальными радиусами, т. е. биссектрисой угла .АРВ. Таким образом, ускорение точки Р направлено но биссектрисе угла АРВ. Не следует при этом сменитвать мгповетшый центр скоростей стержня ED с точкой Р, принадлежащей стержню БЕ. Ускорение этой точки складывается из трех ускорений: ускорения полюса, центростремительного и вращательного ускорений вокруг полюса: Wp=Wi, -\- -- w;?. (2) Строим (рис. 6) эти ускорения. Ускорение Wg, равное 40 см/сек', отклальшаем о г точки Я но стержню ЕВ. Для определения w, 420 ПЛОСКОЕ ДБНЖЕННЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VT найдем вначале мгновенную угловую скорость стержня ED. Рассматривая точку Е как принадлежащую стержню BE и стержню ED, имеем: Vi,= M -ВЕ=ш^,-ЕР, В этой формуле лpEP.= -±ш!l см, 2.Ли о что В1,1текает из условия ЕР--РО=ЛР-\-РВ = АО\0 см и из равенства (треугольник EDP прямоугольный) EP- = Prf- EU: Теперь определяем центростремительное ускорение точки Р: wl,p = EP->l = f-9 = 60 см1сск\ Это ускорение направлено от ючки Р к полюсу, к точке Е. Вращательное ускорение 14;,, направлено нерпепдикулярно к а } ,-; величина ВТ 01 о ускорения неизвестна. Так как угол АРВ, как легко показать из рассмотрения треугольника АРВ, равен 60°, то ускорение точки Р составляет угол р = 30° с линией РВ. Прсектнруя векторное равенство (2) на направление, перпендикулярное к Wp, находим: О = 40 cos 60° ~ 60 cos 60° + w% cos 30°, от куда 20 0,5-2 20 , 2 w =---- -- СМ сек'. рз уз Следовательно, РЕ 20 3 ,/ - 2 - = -рй = у--20 =1/3 сек \ Переходим к определению угловой скороеiи и углового ускорения стержня AD. Д.тя этого определим уско1еиис точки D, принадлежащей одновременно стержням ED и AD (рис. в). Ускорение точки D, как принадлежащей стержню ED, выражается так: а = £-гП£ + 5&- (3) Ускорение гг ]., направлено от точки D к точке Е и его модуль === DE - <о1 = ~.Q= 30]/3 см/секК уз ЛВ ~~ 10 = ]/3 сек -. Таким образом, !!atUei!!i! угловая скорость и угловое ускоре!!ис всех Г)ве!!ьев а!!1И!1араллело1 рамма, зная котор!.!е, Л!ОЖ!!о 0!1редел!1ть скорости !! ускоре!!ня любой точки меха!!нзма. Переходим к 011ределе!!И!0 ноложе!1ия мг!!ове!!!1ого це!!тра ускоре-!1Ий стержня ED. Иычисляем угол между ускоре1!ием любой точки стержня ED и !1а!1равле!1!!ем на мг!!Ове!!!!ый nei!Tp ускоре!!ий Q. !!аходим расстоя!!ие от точки П до M!TioBeii!ioro це!!тра ускорений LQ = -----= 4,37 см. Ус!<:орС!11!С w): 1!а1!ра!)ле1!0 !!ер1!С!!Д!1куляр!!0 к w,r его модуль = DC г„ = -J*;.-. .уг = 10 смсск'. ] 3 Ус!(оре!!!1с Wi; из!!ест1!0 !10 !1ел11Ч!1!1е (1) и !1а1!ра1!ле!1!1го. Таким образом, 0!!рСДСЛС1!!.! liCC Т р!Г СОСТЭ !!ЛЯ!0(ЦИе yCKOpC!!liS! ТОМКИ D. с другом сторо!!!.!, !!рп ира!!1,е!И1!! стерж!!Я покруг !!еП0ДиИЖ!!О!О 1!,е1!тра л точка D 011!!СЫ!)аег окруж1!ОС!!.. 11рое!ггируя (3) иа нормаль AD, !1ахол1!м абсол!0!11ое !!0 >маль!!ое ус!<оре!!ие точки D wl = к-, COS 60= - 40 0,5 - 1 о = 1 о см;сс1с\ Гак ка!< где ( j - !1С!<о.мая у!ло[1ая скорость стс'рм<11я AD, то Проектируя j)a!)e!!CTBO (3) па касателыу!о к траектории точки D, т. е. !!а ли!!И10 LD, 1!ахол!1.м абсол!от!!ое касзтель!!ое ускс)ре!!!!е ТОЧ!<И D = wIp - Ш/.; 30= = 30 Y 3 - = 10 К 3 см [сек'. Так как wl = z,.AD, где Ej - искомое углопое ycKopeiine стержня AD, то С троим мгновенный нешр ускорений, откладывая от направления ED, совпадающего с ускорением точки Е, угол а в сторону вращения дуговой стрелки s r (рис. г) и проводя отрезок EQ длиной 4 37 см. Задача 6.23. Кривошип OA = г = \0 см вращается вокруг неподвижной ючки О согласно уравнению ( = к1. Копен шатуна В
И/, vC в    I) W, wff  к задаче 6.23.  прикреплен шарнирно к центру колеса радиуса Р=12 см, которое катится без скольжения но прямой, параллельной ОВ (рис. а). Длина шатуна ЛВ = /=50 см. Определить при ср, = 0: а) мгиовеиную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение колеса, б) скорость и ускорение точек Е и D, в) положение мгновенного центра ускорений колеса. § 4 УСКОРЕНИЯ Т0Ч11( ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 423 Решение. Рассмотрим первое положение механизма, когда угол 9 = 0 (рис. й). Выберем неподвижную систему координат с началом в точке О, ось х направим по ОВ вправо, ось у - перпендикулярно к X в плоскости движения вверх, ось z - перпендикулярно к плоскости движения. Проекция угловой скорости кривошипа на ось z 0) = 9=11 сек^. Величина скорости точки А va = OA-\(o/,= 10k см/се/с, (1) причем эта скорость направлена перпендикулярно к кривошипу ОА (рис. б). Лля нахождения мгновенного центра скоростей шатуна необходимо зиагь направление скоростей двух его точек. Пер1!ая точка, скорость которой известна, - это А, принадлежа1цая кривошипу и шатуну. Вторая точка шатуна, направление скорости которой известно, - это точка В. Действительно, точка В движется прямолинейно по оси х и ее скорость, следовательно, также на1граплепа по этой прямой. Мгновенный центр скоростей шатуна ЛВ находится на пересечении иериен.ликуляров, восставленных к скоростям точек Л и В. Пернен-дикуляр к Va есть АВ, перпендикуляром к Vg является прямая DP (рис. б). Эти перпендикуляры пересекаются в точке В. Значит, точка Б в данном положении механизма является мгновенным центром скоростей шатуна ЛВ; скорость в точке В равна нулю. Переходим к определению мгновенной угловой скорости колеса. Точка В принадлежит колесу, и ее скорость равна г)улю. Точка Р является мгновеиным центром скоростей колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной )]рямой. Следовательно, и скорость точки Р равна нулю. Отсюда заключаем, что в данный момент мгновенная угловая скорость колеса равна нулю и скорости всех точек колеса также равны нулю. Действительно, Vl, = щ X Гх, (2) где щ - искомая мгновенная угловая скорость колеса; г, - радиус-векто|), проведенный из мгновенного центра скоростей Р в точку В. 1аз равно нулю, то равна нулю и мгновенная угловая скорость щ. Переходим к определению мгновенного углового ускорения колеса. Значение скорости точки А, как принадлежащей шатуну, равгю пронз-педению величины мгновенной угловой скорости шатуна о, на длину Mlиовенного радиуса ЛВ: Сопоставляя это значение с (1), определяем величину мгновенной угловой скорости шатуна Юн 10- - . где гс.н , = в А < ; = 50 = 2-2 см сек: Ускорение Wj манранлено ог точки В к полюсу, к точке Л. Откладываем в избранном маснпабе составляющие и w ускорения точки В (рнс. й). Третья составляющая k)jp паиравлеиа нернеидикулярио к w}fy и иеизвеста но величине. Сумма трех векторов со1ласио (3) должна равняться miyj. Но точка В движется прямолинейно но оси х, следователыю, ее ускорение должно быть 11а11ран.1е1Ю но этой оси. Проектируя равенство (3) на ось у, находим, чго w f = 0 и, слс-донагельно, 6, = О и ускорение точки В иаправлеио oi В к точке Л. Проектируя равенство (3) на ось х, имеем: /iv = - 4 - дл = - О' - = - 1 Точка В принадлежи г одновременно колесу и должна быть выбрана за ио.тюс как единственная точка колеса, ускорение которой известно. Так как мгновенное угловое ускорение колеса неизвестно, то следует вначале искать ускорение такой точки, ускорение которой известно но направлению. Рдинствеиной такой точкой является течка Р. Ее ускорение является касателын.ш ускорением и направлено lU) нормали к неитроидам, т. е. от точки Р к центру колеса В (рис. г). Ищем ускорение точки Р по формуле распределения ускорений: Откладываем от точки F направления этих трех составляющих полного ускорения: и iwPj направлеиы по касательной к центроидам, wf,ij - по нормали, полное ускорение направлено по Pfi. Проектируя равенство (4) на ось х, находим: Отсюда следует, что составляющие и ojPj папранлены в разные стороны и равны по величине. Подставляя в (5) их значения, имеем: 12~:- = BP-г Теперь можно naiiin ускореппе точки В. Выбираем точку А за полюс, так как она нрииадлежиг, как и точка В, шатуну и ускорение ее легко определяется. По величине оно равно = ш; = .40 0) = 1 От:смсскК Няирявлепо от точки А к точке О, так как оно является нормальным ускорением. Тогда w,w,-\-wl,~\-w]f (3) 0!кула £.2 =-угу-== сек (£;, Kaic пид!10 т i!a!ipaiwc!!!isi Kpjj, iiaiipaibTciio прот!!в часо!юй СГрСЛК!!). с другой сторо!1ы, г!роекг1!руя (4) иа ось у, 11ахол!:м; так как мг1!0вс!!1!ая углоиая скорость колеса (о., п ла!!1!ый моме!!Т pau!!a !!улю(2). Слело1!атель!!0, мг1!01)е1!!1ый iieiirp скорое !Сй и .мг1!оие1!11Ый 1!,е1!тр ускоре1!!!й колеса в ла!1!!е)м положе!!!!И меха!11!зма совпада!от и !1аходятся в точке Р. Осталось 0!1ределить ycKopeiine точек С и D. 0!!!i рав1!ы йУ/г = е. X где Г/г-[)ал!!ус-1!ектор точки Е, !!ро1!еде11!!Ый из л!гп01-;е!!Г1()го ueiirpa ускорений Р; г^у - аналогичный радиус-вектор точки D. Модули этих ускоре1Н1й будут: = z,R Y2 = j/2 12 с.и;сек\ = £.2 2/ = 24;:- см;сек'\ Наиранлеиия этих ускорений определяются по правилу векторного произведегигя и показаны иа рис. г. Задача 6.24. Решить предыдущую задачу для положения меха1шзма при угле <р^ = . Ренгенне. Скорость точки Л равна но величине (см. рис. д) д = АО ; (О, I = Юл см; сек и направлена перпендикулярно к АО. Скорость точки В параллельна скорости точки А, так как точка В движется по оси х. Восставляя исриендикуляры к и Фд, заключаем, что oini не пересекаются. Таким образом, шатун в да!И1Ый момент совершает мгновенное поступательное движение, скорости всех его точек равны между собой, в частности = Фд, а его мгнове1И1ая угловая скорость (Oj равна нулю. С другой стороны, точка В принадлежит колесу, мгновегиилй центр скоростей которого находится в Р. Следовательно, 1)д=:5р-<1)2, 426 ПЛОСКОР. ЛВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ ГЛ. VI где u). - величина мгновенной угловой скорости колеса; отсюда -Вр-12 Находим скорости течек /; и D .Вр = (0, ХГр и, следовательно, Vf, = u).2 R У'2 = 14,1 тс см I сек, х) = co.j. 2R = 20к см/сек. Направления этих скоростей определяются по правилу векторного произведения и показаны на рис. д. Переходим к определению ускоре[1ий. 1еличги1а ускорения точки Л определена; направляю это ускорение от А к О (рнс. е). Ускорение точки В находим но формуле распределения ускорений, взяв точку А, принадлежащую шатуну, за полюс: Откладываем пОц из точки В м проводим прямую но направлению ш)/ перпендикулярно к пкттуну АВ, соединяюш,ему полюс А с точкой /?. Составляю1г(ая wfsA = (i)i X- = 0, так как угловая скорость со, в ланЕЮм положении равна нулю. С другой стороны, Щ) направлено ио ОВ. Проводя из В прямую по направлению ОБ, находим пересечение этой линии с направлением w l\. Таким образом, найдены: Обозначая угол ОВА чер.ез y и замечая, что угол между wa н W£y равен этому углу, находим: tg-=?i= = 0,204. Проектируя равенство (1) иа осн координат, имеем: Wj = wlJ sin 1-, О = wjj cos 7 - w. Ре1иая совместно эти уравнения, находим: = тед tg f = I Ол 0,204 = 2,04к^ см/сек\ wZ =bywA-\- wi = Tz- у IO- -I- 2,04- = 1 0,2k- см/сгкК Величина углового ускорения шатуна АВ в данном положении будет равна 1- ЛВ- 50 - сек . Врашение шатуна ускоренное, так как мгновенная угловая скорость шатуна в данный момент равна нулю. Переходим к определению ускорений точек колеса. Точка В должна быть выбрана за иолюс, raic как это сдннстве1И1ая точка колеса, ускорение которой известно. Далее следует найти ускорение точки Р, мгновенного центра скоростей, так как это единственн<!я точка колеса (кроме В, взятой за полюс), наиравленне ускорения которой известно. Согласно теореме о распределении ускорений а'я = й-!- ?.й + %- (2) Ускорение точки Р, совиадаюнгей с мгновенным центром скоростей, направлено по нормали к центроидам. Неподвижной центроидой в данном случае является прямая, но которой катится колесо, подвижной центроидой - обод колеса. Следовательно, Wp направлено но РВ. Откладываем Wq от точки Р (рис. ж); Kijjj направлено но той же прямой и неизвестно по величине; Byj направлено о г Р к В. Проек< тируя равенство (2) па паправле1ше BP, имеем: Wp = wli, = R-ii>l=\2--f= 8,33г: см;сек'. (3} Проектируя равенство (2) на направление, перпендикулярное к BP, находим: = ffij - 2,04 л^ см/сек : (4) Далее находим величину углового ускорения колеса . = f§ = 0,n.eK- Дуговую стрелку (рис. ж) следует направить по часовой стрелке. Следовательно, вращение колеса замедлешюе. Ускорения точек D и 7: находятся теперь но формулам распределения ускорений (рис. з): 0 = в+ 1-в+ Центростремительные ускорения и как всегда, направ- лены к полюсу В, вращательные ускоре1Н1я wp и wjf перпендикулярны 428 ПЛОСКОЕ ДНИМСВППР. ТПЕРДОГО ТЕЛЛ [ГЛ \ к т1д и wj:ii cooiTieTCTiieiii:i.i. Как легко внде1ь пз формул (3) и {-\), иелпмппг,! их [laniiiir -ги , и ш'р^. Иахсдпм знамения ускорении Wp и W/,: = у (8,33-- - 2,04i:-)- (2,04г-у^ = б.б:: смхекК Определяем угол а, соспиляемый ускорением тои^п с направлением иа полюс В. Для точки I) tKt = - - = ят^=0,19. Для точки tg а, = -------= - -, = 0,32о. Таким образом, пайдегн,! ускорения точек D и Е по величине и наиранлеиию. Переходим к определению положения мгноветюго центра ускорений колеса. Находим уге)л а, онрелеляемый равеистиол. е., 0,17.;:-. 12- , , ая 13-4-5. Откладываем от ускорения точки В (рис. гг) в направлении дугопо!* стрелки ej ([)ис. ж) угол а (т под этим углом проводим прямую, на которой лежит м1Н0веиный центр ускорений. Находим расстояние дз мгновенного центра ycKopemUl И) 2,01;:- /iQ = . ---!- =- - 2,86 см. Откладывая это расстояние от точки В иод углом а к ускоретио (рис. гг), находим мгновенные! центр ускорений. Задача 6.25. Fi кривошигтш-шатуппом механизлге уюл BOA равен в данный момент 0,5тс. Углоь;ая скорость и угловое ускорение криво-HHHia длиной ОА - Г^Юсм. известны: и) = т: сел: , £о = 0.2т: сс/С\ Ползун В, описывающий дугу окружиосги радиуса Р = 30сл, н данном положении находится нз горизогггальпой прямой. Длина шатуна Л5 = /=40 см. 1 ... 39 40 41 42 43 44 45 ... 51 |
 |
 |