|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Решение. Необходимо иметь в виду, что направление силы сцепления Fu зависит от величины груза Р. При максимальной возможной величине этого груза Р^у, сила сцепления направлена вниз по наклонной плоскости, так как под действием реакции нити груз стремится перемещаться вверх по наклонной плоскости (рис. 846). При минимальной величине груза Pmin сила сцепления направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 84в). Составим уравнения равновесия сходящихся сил, действующих на тело, когда оно удерживается в предельном состоянии покоя максимальным грузом Р^ (рис. 846):  Рис. 84а. Ртах -FT-G Sin а =0; 2г = 0; 2К(=0; Л/ -Gcos а = 0. Отсюда Л/= Gcos а. .   Рис. 84в. Так как Р™ = /Я, из первого уравнения получаем Ртах = fcoN + о sin а = fQ cos а + G sin а. Так как /сц = &Тсц = sin усц cos !рсц то имеем Q cos а sin срсц -f sin а COS Усц q Sin (а -- у^ц) COStpcu COStpcu Аналогично определяем Р^х^ (рис. 84в): Sln(a -Усц) min - cos =рсц Таким образом, условие равновесия сил, приложенных к телу, покоящемуся на шероховатой наклонной плоскости, имеет вид: Q Sin (а - Усц) Sin (а + Усц) COS Усц COS Усц Это неравенство показывает, что величина груза Р, который удерживает тело на наклонной плоскости, изменяется в пределах от Ргл\а до mai- Эти пределы соответствуют изменению модуля и направления силы сцепления от F, направленной вверх по плоскости, до Ff, направленной вниз. Таким образом, задачи на равновесие сил при наличии сил сцепления имеют совокупность решений, границами которых служат решения, полученные в условиях предельного состояния покоя. Пример 21. Однородный брус АВ весом G = 10 гн удерживается веревкой BD под углом а к шероховатой вертикальной стене, причем AD = AB. Определить в предельном состоянии покоя угол а, натяжение веревки и нормальную реакцию стены, если коэффициент сцепления между брусом и стеной /сц = 0,5 (рис. 85а). Решение. Рассмотрим равновесие трех сил. к брусу: заданной силы О, реакции S веревки BD приложенных и реакции    Рис. 85а. Рис. 856. шероховатой стены в точке А (рис. 856). Линии действия трех взаимно уравновешивающихся сил пересекаются в одной точке (см. § 7). Найдем точку К пересечения линий действия сил G и S; соединив эту точку с точкой А, получим линию действия реакции R. Построим замкнутый треугольник этих сил. Рассмотрим Д ABD. Отрезок СК, проходящий через середину стороны АВ параллельно стороне AD, является средней линией Д ABD, т. е. точка К делит сторону BD пополам. В равнобедренном треугольнике ABD (по условию задачи AD = AB) медиана АК является и высотой, т. е. АК ± BD. КАп, составленный реакцией R с перпендикуляром An в предельном состоянии покоя, равен углу сцепления, Угол к стене, г. е. где % Тсц = /сц = 0.5; срсц = arctg 0,5 = 26° 34. Но КАп = / KDA, так как стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Таким образом, l KDA = l KBA=. Из Д ABD определяем угол а: а = KDA + / KB А = 2<рсц = 2-26° 34 = 53° 08. Модули сил S и Кд найдем из треугольника сил, определив его углы: S = G cos срц, где 1 1 2 =10--:j=4]/ = 4-2,236 = 8.94 гн. Rj = Sig срец = 4 ]/ 5 0,5 = 2 /5 = 4,47 гн. Разложив реакцию на нормальную реакцию N и силу сцепления РГц', определим N: Л^ = РдС05срец = 2/5.:А.==,4 гн. Пример 22. Однородный тонкий брусок АВ весом G опирается концом А на вертикальную стену и точкой D на ребро. На конце В подвешен груз весом Gj = . Известны расстояния по горизонтали и вертикали: АЕ=2а и DE=a, а также коэффициенты сцепления между бруском и стеной /сц(л) = 0,3 и между бруском и ребром /сц (d) = 0,2. Определить наименьшую длину бруска АВ, при которой конец А не скользит вниз, а также нормальные реакции опор А м D (рис. 86а). Решение. Рассмотрим систему сил, приложенных к бруску АВ, находящемуся в предельном состоянии покоя. На брусок действуют заданные силы G и Gj, нормальные реакции Nд и N, в точках А и £> и максимальные силы сцепления в этих же точках Р^ц^д) и -.шах Гсц(0)< направленные противоположно направлению возможного скольжения этих точек бруска (рис. 866). Модули этих сил сцепления выражаются: Е-тах /. дт ртах /. * т сц (А)-/сц (А)А' сц(О) /сц (О)О- Обозначим длину бруска: AB-L Определим расстояние AD, cos а и sin а: AD = YaE~+ED = а ]/ 5; АЕ 2а 2 sina = а/5 У5 Составим три уравнения равновесия плоской системы сил, при ложенных к бруску: Ж;д=0; - G-icosa + Aoa/S -0,Zcosa==rO; (1) 2А'; = 0; Л^д -yVoCOsCQO -a) + Ff(D)Cosa = 0; (2) 2К, = 0; ц[а) -G + yVocosa + Fru(d)COs(90-a)-Gi = 0. (3) Эти уравнения содержат три неизвестные величины: /, Л^д и Л/д, так как зависимость сил сцепления от нормальных реакций известна.   Рис. 86а. Рис. 866. Выразим в уравнениях проекций силы сцепления через нормальные реакции: л -Л^о51па + /<,ц(д)Л^оС08а = 0, /сц (д)д-0 + оС05а + /, сц (o)A/oSina --2- = 0. Определим из этих уравнений Л1д и УУд. Из первого уравнения: == (sin ~ feu. (D) cos а). Подставив это выражение во второе уравнение, найдем N: /сц (A)D (sin а - /сц fD) cos а) - G + Л/д cos а + 1° + /сц (D)AD Sin а - = О. (/сц (Л) + /сц (D)) + (1 - /сц (А)/сц (oi COS л Подставив значения коэффициентов сцепления и функций угла а, получим -О =-- о^о.егуъо. (0,3 + 0,2)-(1-0,3-0,2)- Определим iV: iV, = 0.63 /50( -0.2 . ~Wo,380. Подставив найденное значение - V, и cos а = --- в уравнение моментов (1), определим искомую длину бруска: ~G- --L + 0,63 /5 Оа 1/5 - - / -Д. = 0. 2 /5 2 У^ откуда г = 1,575 а У 5, т. е. ЛВ= 1,575ЛО. Найдем длину участка DB: DB=AB - AD = 0,575ЛО. Вопросы для самоконтроля 1. Относительно каких точек плоскости момент данной силы имеет одно и то же значение? 2. Сформулируйте теоремы о парах сил на плоскости. 3. Чем можно уравновесить пару сил? 4. Как направлены реакции опор балки, нагруженной парой сил и лежащей на двух опорах, из которых одна - шарнирно-неподвижная, а другая - на катках? 5. Зависит ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения? 6. Каковы возможные случаи приведения сил, расположенных произвольно на плоскости? 7. К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек на плоскости: а) имеет различную величину; б) имеет постоянное значение, не равное нулю; в) равен нулю. 8. При каком условии сила, равная главному вектору плоской системы сил, является равнодействующей этой системы? 9. Перечислите системы уравнений равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости? 10. Какие задачи статики называют статически определенными и какие - статически неопределенными? 11. В чем состоит условие равновесия сил, приложенных к рычагу? 12. Что называют коэффициентом устойчивости? 13. В чем заключается сущность способа Риттера? 14. В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения? 15. Что называют конусом сцепления? 16. Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности? 17. Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые плоскости? ГЛАВА V ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА § 31. Многоугольник сил и веревочный многоугольник. Графическое определение равнодействующей плоской системы сил Рассмотрим графический прием сложения сил, произвольно расположенных на плоскости, называемый способом веревочного многоугольника. Как известно из § 20, в результате приведения плоской системы сил к любому центру можно получить либо равнодействующую, либо пару сил или установить, что силы уравновешиваются. Каждому из  этих трех случаев приведения сил соответствует определенный вид веревочного многоугольника. Рассмотрим сначала случай, когда многоугольник данных сил Pj, Р2 и Pg, приложенных в точках А А^ и Лд (рис. 87, а), не замкнут, т. е. главный вектор сил не равен нулю. В этом случае силы приводятся к равнодействующей силе. Построив в любом месте плоскости многоугольник данных сил, найдем главный вектор этих сил R*, который определит модуль и направление равнодействующей силы (рис. 87, б). Остается определить лишь одну из точек линии действия равнодействующей силы. Для этого и производят построение веревочного многоугольника. Возьмем произвольную точку О - полюс-и соединим ее с вершинами многоугольника сил лучами, число которых всегда на единицу больше числа сил. Так, например, при сложении трех сил число лучей равно четырем. Очень удобно давать лучам двойные обозначения. Так, луч, проведенный из точки О к вершине многоугольника сил, в которой сходятся силы Pj и Pg, обозначим /-2 (или Pj-Pj), луч, проведенный из точки О к вершине многоугольника сил, в которой сходятся силы Pj и Р3, обозначим 2-3 (или Pj-Р3) и т. д. Первый лу>г обозначим О-/ (или О - Pj), а последний 3-О (или Р3 - 0). Проведем из произвольной точки L плоскости прямую (рис. 87, а), параллельную лучу О-/, до пересечения с линией действия силы Р, в точке Ку Из точки Ki проведем прямую, параллельную лучу /-2 до пересечения с линией действия силы Pg в точке К2 и т. д. Из точки Ag проведем прямую К^Я, параллельную лучу 3-0. Ломаная линия LKiKKl, стороны которой параллельны соответствующим лучам, а вершины лежат на линиях действия сил, называется веревочным многоугольником. Обозначения сторон веревочного . многоугольника соответствуют обозначениям сил, между линиями действия которых расположены эти стороны. Продолжим первую и последнюю стороны веревочного многоугольника до их пересечения в точке К и покажем, что эта точка принадлежит линии действия равнодействующей силы. Для этого перенесем все силы по линиям их действия в вершины веревочного многоугольника К^ А'з разложим их на составляющие, направленные по соответствующим сторонам веревочного многоугольника. Так, сила Pj разложится на составляющие Sq-j и Sj.j, сила Рг-на Si 2 и S2-3 и сила Рз - на 82-3 и 5з-о- Сопоставляя параллелограммы сил, построенные в точках К\> Кч и А'з, с треугольниками аОЬ, ЬОс и cOd, устанавливаем: аО = So-i; Ог> = 81 2; Ю=81-2; Ос = 82-3; сО= 82-3; Od = S3-o. Силы 81-2 и 8i 2, приложенные в точках Ki и /Cg, равны по модулю длине одного и того же луча Ob и противоположно направлены, а потому они взаимно уравновешиваются. Аналогично уравновешиваются силы 82-3 и 82-3, приложенные в точках К2 и А'з. Остающиеся в действии силы Sq-i и 8з о переносим в точку их пересечения К и, построив на этих силах параллелограмм, находим их равнодействующую R, т. е. равнодеРствующую данных сил Pj, Pg и Р3. Сравнивая построенный параллелограмм и taOd, видим, что R=:R*. Таким образом, точка пересечения первой и последней сторон веревочного многоугольника представляет собой одну из точек линии действия равнодействующей силы. Выбор полюса О и точки L - начала построения веревочного многоугольника-не отражается па результатах построения. При изменении положения точек О н L пересечение первой и последней сторон веревочного многоугольника произойдет в другой точке, также принадлежащей линии действия равнодействующей силы. § 32. Случай замкнутого многоугольника сил. Графическое определение момента результирующей пары сил Пусть дана система сил Pj, Pj и Pg, приложенных в точках А^ А^ и Лд, треугольник которых замкнут, а линии действия не пере-секаются в одной точке (рис. 88, а). Эти силы не приводятся к равнодействующей, так как их главный вектор равен нулю, и не уравновешиваются, так как их линии действия не пересекаются в одной 
Рис. 88, точке. Следовательно, они приводятся к паре сил. Определим момент этой пары построением веревочного многоугольника. Выбрав полюс О, проводим лучи к вершинам многоугольника сил и заключаем, что первый луч О-1 и последний 3-О совпадают (рис. 88, б). Построим веревочный многоугольник LKiKzKN; его параллельные крайние стороны О-/ и 3-О не совпадают, т. е. веревочный многоугольник является не замкнутым. Перенесем заданные силы в точки Л' К2 и А'з. Разложив силы Pj, к Pg на составляющие, направленные по сторонам веревочного многоугольника, устанавливаем, что силы Si 2 и Si-2, приложенные в точках Ki и К2< а также силы S2-3 и S2-3. приложенные в точках К2 и К^, взаимно уравновеши- ваются. Остающиеся в действии силы So i = oO и 5з-о=Оа, приложенные в точках Ki и равны и параллельны, но направлены в противоположные стороны, т. е. образуют пару сил. Момент эгойг пары определяется; М = - SQ id, где 5o i - длина отрезка, соответствующего совпавщим лучам, определенная по масштабу сил, d - расстояние между крайними сторонами веревочного многоугольника, определенное по масштабу длин. Момент пары в данном случае имеет знак минус, так как пара сил Sq-i, 8з о стремите вращать плоскость чертежа по движению часовой стрелки. § 33. Графические условия равновесия плоской системы сил Рассмотрим систему сил Рр Pg и Pg, приложенных в точках Л1,. Л2 и Л3, треугольник которых замкнут и линии действия которых, пересекаются в одной точке (рис. 89, а). Такие силы взаимно уравновешиваются.  Рис. 89. Покажем, что веревочный многоугольник этих сил также будет' замкнут, т. е. его крайние стороны будут лежать на одной прямой. Выбрав за полюс точку О, проведем из этой точки лучи О- 7,. 1 - 2, 2 - ЗиЗ - О, причем луч 3 - О совпадет с лучом О - / (рис. 89, б). Построив веревочный многоугольник, перенесем все-силы по их линиям действия в вершины веревочного многоугольника Al, А'з и /Сз и разложим эти силы на составляющие по направлениям сторон веревочного многоугольника. Из треугольников аОЬ,-Юс и cOd установим: Si 2 = - 81-2; 82-3 = - 82-3; 83-0 = - 8о-1- Действительно, последняя сторона веревочного многоугольника 3 - О должна совпасть с первой стороной О-/, так как только-в этом случае силы, направленные по сторонам веревочного много- угольника, уравновешиваются. Замкнутость веревочного многоугольника, т. е. совпадение последней и первой его сторон, имеется и при равновесии любого числа сил на плоскости. Основываясь на полученных результатах, сформулируем графические условия равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости: силы, произвольно расположенные на плоскости, находятся в равновесии, если силовой и веревочный многоугольники замкнуты. § 34. Примеры применения веревочного многоугольника Пример 23. Определить путем построения веревочного многоугольника равнодействующую вертикальных нагрузок Pi=60 кн, />2=80 кн и Яз = 40 кн, приложенных к балке АВ в точках D, Е а F. Известно, что Л5 = 8 м, ЛО = 2 м, DE = 3 м и BF = 2 м. Решение. Решая задачи при помощи веревочного многоугольника, необходимо выбрать масштабы длин и сил. В выбранном масштабе длин вычерчивается схема с изображением точек прило-  Рис. 90. жения и линий действия сил. В выбранном .масштабе сил строят многоугольник сил. В рассматриваемом примере балка АВ с точками D, Е к F изображена в масштабе длин, показанном на рис. 90. Равнодействующая данных параллельных сил (/? = Р1-)-Р2--Рз= 180 кн) направлена вниз по вертикали. Для определения линии действия равнодействующей силы строим многоугольник сил и веревочный многоугольник. Находим точку пересечения первой и последней сторон веревочного многоугольника К, которая принадлежит линии действия равнодействующей силы. Проведя через точку К вертикаль, определяем линию действия равнодействующей силы, а, следовательно, и точку ее приложения L к балке АВ. По масштабу длин определяем AL-A,2 м. 1 ... 5 6 7 8 9 10 11 ... 44 |
 |
 |