|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Пример 24. К балке АВ, лежащей на двух опорах А а В. в точках D а Е приложены вертикальные силы Pj = 60 кн и = >-Опора А - шарнирно-неподвижная, опора В - на катках. Определить построением веревочного многоугольника реакции опор балки, если известно, что АВ=\0 м, AD = 3 м, BE = 2 м. Решение. На балку АВ действуют четыре взаимно уравновешивающиеся силы: заданные силы Pj, Pg и реакции опор А а В. Линия действия реакции шарнирной опоры на катках направлена вертикально, силы Pj и Pg также вертикальны. Из этого следует, что и реакция неподвижной шарнирной опоры R направлена по вертикали. Изобразим балку АВ в некотором масштабе длин, приложим к ней заданные силы Pj и Pg и проведем вертикальные линии действия неизвестных реакций опор R и R (рис. 91).  Рис. 91. Многоугольник сил и веревочный многоугольник взаимно уравновешивающихся сил Pj, Pg, R и R должны быть замкнуты. Выбрав масштаб сил, построим часть замкнутого многоугольника сил, отложив две заданные силы Pj и Pg. Выберем полюс и проведем три луча. Условимся, что в замкнутом многоугольнике четырех сил Р Pg, Rg и с концом силы Pg совпадает начало реакции R, а с концом совпадет начало реакции R, конец которой совпадет с началом отложенной силы Pi. Три проведенных луча обозначимг Ra-Pv Р1-Р2 и g-P. Чтобы определить модули неизвестных реакций опор Рд и Рд, построим веревочный многоугольник из любой точки а линии действия реакции опоры R. Из этой точки проведем сторону, параллельную первому лучу Рд - Pi (между линиями действия сил R и Pi), далее из точки d - сторону, параллельную второму лучу Pj - Pj, и из точки е - сторону, параллельную третьему лучуРз - Рд до пересечения с линией действия реакции Rg в точке Ъ. Соединив точки а н Ъ отрезком прямой, получим четвертую сторону замкнутого веревочного многоугольника -Р^. Этой стороне веревочного многоугольника соответствует параллельный ей луч Рд - Рд, который проводится из полюса О. На этом луче должна лежать вершина многоугольника сил, соответствующая концу реакции R и началу реакции R. Таким образом, из конца силы Рз проводим вертикальную реакцию R до луча Рд - Рд. Из полученной точки проводим реакцию R до начала силы Pj. Получаем замкнутый многоугольник четырех сил Pj, Pj, R и R, все стороны которого вертикальны. Пользуясь масштабом сил, находим числовые значения реакций опор Рд = Рд = 50 кн. Найденные реакции опор прикладываем к балке в точках Л и 5, Пример 25. Определить построением веревочного многоугольника реакции шарнирно-неподвижной опоры А и шарнирной опоры на катках В балки АВ. В точке D на балку действует вертикальная сила Р = 40 кн, а в точке Е - сила Q = 60 кн, направление которой составляет с направлением В А угол 45°. Известно, что ЛВ=10 м, AD=3 м и ЕВг=А м.  i i l Рис. 92. Решение. Изобразим балку в масштабе длин (рис. 92). Приложим к балке в точках D к Е заданные силы Р и Q и проведем линию действия реакции R шарнирной опоры на катках. Выберем масштаб сил и построим часть замкнутого многоугольника четырех сил Р, Q, R, R, отложив заданные силы Р и Q. Если известна линия действия только одной из двух реакций опор, то в многоугольнике сил реакцию с известной линией действия удобно помещать за последней отложенной заданной силой. В этом примере из конца силы Q проведем прямую, параллельную линии действия реакции опоры R. Затем, проведем три луча, обозначив их Р^-Р, Р - Q и Q - Р^. реакция неподвижной шарнирной опоры А, линия действия которой не известна, приложена в центре шарнира А. Так как сторону Рд - Р веревочного многоугольника нужно провести между линиями действия реакции опоры и силы Р, то построение веревочного многоугольника следует начать в центре шарнира А, единственной известной точке линии действия реакции R. Построив веревочный многозпгольник и определив положение его стороны - /?д, проведем из полюса О луч R - параллельный этой стороне веревочного многоугольника. Тогда точка пересечения этого луча с прямой, проведенной из конца Q параллельно Rg, будет концом реакции R и началом реакции R. Соединив эту точку с началом силы Pj, получим реакцию опоры R. При этом направление реакций определяется направлением сил в замкнутом многоугольнике. Измерив соответствующие стороны многоугольника сил, получим: Rg=37 кн; /?д = 62 кн. Кроме модулей реакций опор, определено также и направление реакции R неподвижной шарнирной опоры А. Приложим к балке в точках А и В найденные реакции опор R и R. Установим следующее правило построения веревочного многоугольника. Если линия действия одной из двух реакций опор не известна, то построение веревочного многоугольника для определения реакций опор следует начинать в точке приложения реакции с неизвестной линией действия. Пример 26, Определить построением веревочного многоугольника реакции опор навесной фермы, изображенной на рис. 93а, если известно, что Qi = Q5 = 10 кн; QjQgQ: 20 кн.
Рис. 93а= Решение. Линия действия реакции шарнирно-стержневой опоры В направлена по оси стержня. Линия действия реакции неподвижной шарнирной опоры А проходит через центр шарнира, но направление ее не известно. Поэтому построение веревочного многоугольника начинаем в центре неподвижной опоры А (рис. 936). Так как линия дрйствия силы Qj проходит через центр шарнира А, то сторона веревочного многоугольника - обращается в точку, а поэтому построение веревочного многоугольника начинаем в точке А, проведя через эту точку прямую, параллельную лучу -Qj до пересечения с линией действия силы Qj. Затем проводим стороны веревочного многоугольника -Qj, Qj - Q, -и - R- Сторону - /?д проводим до пересечения с линией действия реакции опоры В в точке b и, соединяя эту точку с точкой А - началом лостроения веревочного многоугольника, получаем его сторону R-/?д.
 Рис. 936. Проводим из полюса О луч, параллельный стороне R - до пересечения с прямой, параллельной линии действия реакции опоры Яд, проведенной из конца силы Qg. Реакция опоры заключена между лучами Qg - /?д и /?д - Рд и направлена по обходу контура многоугольника сил в одну сторону с силами Qj, .....Q5. Реакция опоры R, заключенная между лучами /?д - /?д и /?д - Qj, замыкает многоугольник сил, т. е. имеет по обходу контура многоугольника такое же направление, как и остальные силы. Определив реакции опор, прикладываем их к ферме в точках Л и В. § 35. Диаграмма Максвелла - Кремоны и примеры ее построения В 1864 г. известный английский физик Дж. Максвелл (1831 -1879> и независимо от него в 1872 г. итальянский математик Л. Кремона (1830-1903) предложили графический метод определения усилий в стержнях фермы, получивший название диаграммы Максвелла - Кремоны. Порядок построения диаграммы Максвелла - Кремоны Для построения диаграммы Максвелла - Кремоны необходимо-знать модули и направления реакций опор, которые определяются аналитически или путем построения веревочного многоугольника. При построении диаграммы Максвелла - Кремоны необходимо придерживаться следующего порядка: а) начертить схему фермы в выбранном масштабе Ллин с указанием приложенных к узлам заданных сил и реакций опор, располагая их вне контура фермы; б) обозначить буквами внешние области, ограниченные внешним контуром -фермы и линиями действия внешних сил, и внутренние области, ограниченные только стержнями фермы; в) построить многоугольник внешних сил в выбранном масштабе сил, откладывая силы в такой последовательности, в какой они расположены по контуру фермы в направлении, обратном движению часовой стрелки; г) на базе многоугольника внешних сил построить для каждого узла фермы замкнутый многоугольник сил, откладывая силы в такой последовательности, в какой они встречаются при обходе узла в направлении, обратном движению часовой стрелки. Узлы выбирать так, чтобы в них было не известно не более двух сил; д) установить, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, определяя направления реакций стержней по диаграмме; е) определить модули усилий измерением отрезков диаграммы. Рассмотрим построение диаграммы Максвелла - Кремоны для стропильной фермы, изображенной на рис. 941,о'вместе с действующими на нее заданной вертикальной силой и соответствующими реакциями шарнирно-неподвижной опоры и опоры на катках с наклонной опорной плоскостью. Обозначим А, В, С внешние области--части плоскости, ограниченные внешним контуром фермы и линиями действия внешних сил, а F, Е, D - внутренние области - части плоскости, ограниченные только стержнями фермы. Это даст возможность каждую внешнюю силу и усилие в стержне обозначить двумя буквами, соответствующими названиям прилегающих областей. Буквы будем ставить в таком порядке, в каком эти области расположены по контуру фермы или узла фермы в направлении, обратном движению часовой стрелки. Например, согласно обходу контура фермы в указанном направлении, силу, приложенную к верхнему узлу фермы, обозначим АВ, реакцию левой опоры-ВС, а реакцию правой опоры - С А. Построим в масштабе сил замкнутый треугольник внешних сил АБСА, откладывая силы в такой последовательности, в которой они расположены по контуру фермы в направлении, обратном движению часовой стрелки, а затем перейдем к построению замкнутых многоугольников сил, действующих на каждый из узлов фермы (рис. 94, б). Построение многоугольников сил, действующих на узлы фермы, следует начинать с того узла, к которому приложены две неизвестные силы. 5 X   Рис. 94. Начнем построение с левого опорного узла /, на который действуют известная реакция опоры ВС и две неизвестные реакции стержней CF и FB. Проводим из точки С диаграммы прямую, параллельную стержню CF, а из точки В диаграммы - прямую, параллельную стержню FB. Точка F пересечения этих прямых определит третью вершину замкнутого треугольника BCFB сил, действующих на узел /. Отрезки CF и FB, изображают в принятом масштабе сил реакции стержней CF и FB, приложенные к рассматриваемому узлу /. Согласно § 3, модули этих реакций равны модулям усилий в этих стержнях. При этом, если реакция стержня направлена от узла, то стержень растянут, а если реакция направлена к узлу - стержень сжат. В замкнутом треугольнике сил BCFB реакция опоры ВС направлена от В к С (В - начало силы, С - конец). В ту же сторону по контуру треугольника должны быть направлены реакции стержней, т. е. реакция CF направлена от С к F (С - начало силы, F - конец), а реакция FB направлена от F к В (F - начало силы, В- конец). Приложив силы указанного направления к узлу /, установим, что реакция CF направлена от узла, а реакция FB - к узлу. Из этого следует, что стержень CF растянут, а стержень FB сжат. Приложим реакцию растянутого стержня FC к узлу II (для узла ; F - начало силы, С - конец) и реакцию сжатого стержня BF к узлу IV {В - начало силы, F - конец). Тогда из сил, действующих на узел , будут не известны только две: реакция стержня СЕ и реакция стержня EF. Построим замкнутый треугольник FCEF сил, действующих на узел II, проведя из точки С диаграммы прямую, параллельную стержню СЕ, а из точки F - прямую, параллельную стержню EF, до взаимного пересечения в точке Е. Приложив к узлу найденные на диаграмме реакции стержней СЕ и EF, установим, что оба эти стержня растянуты. Реакции этих же стержней приложим к узлам / и IV. Далее рассмотрим узел / и, зная реакцию стержня ЕС, построим замкнутый треугольник ECDE, из которого определим модули и направления реакций CD и DE. После этого остается неизвестным лишь усилие в стержне ОЛ. Так как в построенной диаграмме уже имеются точки Л и D, то, соединяя эти точки отрезком прямой, получаем усилие AD. Этот стержень сжат, так как его реакции-DA, действующая на узел/К, и AD, действующая на узел V, - направлены к узлам. Параллельность отрезка, соединяющего в данном примере точки Л и D диаграммы, оси стержня AD служит критерием качества построения диаграммы. Если отрезок AD параллелен оси стержня AD, построение диаграммы выполнено правильно, если же он не параллелен, то в построении диаграммы допущена ошибка. Только точное построение диаграммы Максвелла - Кремоны при помощи чертежных инструментов обеспечивает параллельность последнего отрезка диаграммы оси соответствующего стержня, а следовательно, точность графического определения усилий в стержнях фермы. Модули усилий во всех стержнях фермы определяются измерением соответствующих отрезков диаграммы. Значения усилий заносятся в таблицу, причем усилие в растянутом стержне считается положительным, а в сжатом - отрицательным. Пример 27. Построить диаграмму Максвелла - Кремоны для фермы, изображенной на рис. 95, а, вместе с действующими на нее вертикальными заданными силами: ОЛ = 40 кн, BC-\2Q кн и вертикальными реакциями опор ЛБ= 100 кн и CD = 60 кн. Решение. Построение диаграммы начинаем с построения замкнутого многоугольника внешних сил DABCD. Затем последовательно рассматриваем узлы /, , /, IV, V и строим многоугольники сил, действующих па эти узлы: АВЕА, AEFA, FEBCKF, DAFKLD, LKCML, т. е. получаем последовательно точки Е, F, К, L, М (рис. 95, б). Правильность построения диаграммы Максвелла - Кремоны подтверждается параллельностью отрезка диаграммы DM оси стержня DM. Направления реакций стержней фермы определены по диаграмме (рис. 95, б) и показаны на рис. 95, а. Пример 28. Построить диаграмму Максвелла - Кремоны для фермы, изображенной на рис. 96, а в масштабе длин вместе с дей- ствующими на нее вертикальными заданными силами DA = 40 кн, ВС = 80 кн и вертикальными реакциями опор ЛВ = 70 кн и CD = 50 кн. Решение. Прежде всего строим замкнутый многоугольник внешних сил, который в рассматриваемом случае представляет собой °; 
 Рис. 95. вертикальный отрезок DABCD. Затем, рассматривая последовательно узлы /, fl, Vf, строим многоугольники действующих на них сил АВЕА, EBCFE, AEFKA. AKLA, LKFCML, MCNM, т. е. получаем последовательно точки Е, F, К, L, М, N (рис. 96, б).   Рис. 96. Построение диаграммы Максвелла - Кремоны заканчивается соединением точек D а N диаграммы. Так как отрезок DM диаграммы параллелен оси стержня D.V, то диаграмма Максвелла - Кремоны построена правильно. Точки М я N диаграммы совпали, следовательно, усилие в стержне NM равно нулю. Направления реакций стержней фермы определены по диаграмме {рис. 96, б) и показаны на рис. 96, а. Вопросы для самоконтроля 1. Какие виды многоугольника сил и веревочного многоугольника соответствуют каждому случаю приведения плоской системы сил? 2. Каковы графические и аналитические условия равновесия системы сил, произвольно расположенных иа плоскости? 3. Из какой точки следует начинать построение веревочного многоугольника при определении реакций опор в случае, если известна линия действия лишь одной из реакций опор? 4. Сформулируйте правило построения диаграммы Максвелла - Кремоны. ГЛАВА VI СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ § 36. Многоугольник сил. Параллелепипед сил Положим, что к твердому телу приложены силы Pj, Pj, Pg, и Р4, линии действия которых не каются в одной точке О. лежат в одной плоскости, но пересе-  Рис. 97. Перенося силы по их линиям действия в точку О, строим пространственный многоугольник этих сил. Замыкающая сторона многоугольника сил определяет равнодействующую силу (рис. 97). При этом направление равнодействующей по контуру многоугольника обратно направлению составляющих сил. Таким образом, равнодействующая пространственной системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия сил и равна геометрической сумме данных сил R=Pl + P2+ ... +Р„. Таким же способом определяется равнодействующая плоской системы сходящихся сил. Если к телу приложены три сходящиеся силы, не лежащие в одной плоскости, то их равнодействующая приложена в точке пересечения линий действия сил и изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 98). Действительно, диагональ параллелепипеда Ос является замыкающей стороной многоугольника Сил ОаЬс, т. е.  Рис. 98. R = Pl-P2 + P3. Изложенное правило сложения трех сходящихся сил в пространстве называется правилом параллелепипеда сил. Сходящиеся силы в пространстве взаимно уравновешиваются, если многоугольник этих сил замкнут, т. е. их геометрическая сумма равна нулю Как видно, условие равновесия сходящихся сил на плоскости и в пространстве одно и то же. Однако, решение задач на равновесие сходящихся сил в пространстве путем построения замкнутого многоугольника сил весьма сложно, так как стороны этого многоугольника не лежат в одной плоскости. Поэтому для решения этих задач графический метод не применяют, а пользуются аналитическим методом, т. е. составляют уравнения равновесия этих сил. § 37. Проекции силы на оси декартовых координат Взяв правую систему неподвижных осей декартовых координат х, у п Z, разложим силу Р по правилу параллелепипеда на три составляющие силы Рд., Ру и Р^, направленные параллельно этим осям (рис. 99). Силы Рд., Ру, и Р^ называются компонентами силы по осям лг, у ц Z. Алгебраические значения длин направленных отрезков Аа, Ад и Ас называются проекциями силы на оси х, у к z. 1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 44 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |