|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Заменяем равномерно распределенную нагрузку сосредоточенными силами. Нагрузка на участке AD Q, == (q + q) ЛО = 30 20 = 600 кн. Нагрузка на участке DC от собственного веса 2 = 9i DC = 10 50 = 500 кн. Нагрузка на участке DE от веса поезда Qg = 2 = 20 30 = 600 кн. Каждая из сил Qj, Qj, Qg приложена в середине соответствующего участка. На балку AD, кроме заданной силы действуют реакция опоры Рд и реакция правой балки в точке D. Очевидно, что обе реакции направлены вверх. На балку DC, кроме заданных сил Q2 и Qg, действуют реакции R и R,;, и реакция Rd левой балки в точке D, которая равна по модулю силе R и направлена противоположно ей, т. е. вниз. Реакции R и R условно направляем вверх. К балке AD приложены две неизвестные силы R и R, к балке DC - три неизвестные силы Rd, Rb, R. Поэтому составим сначала два уравнения равновесия параллельных сил, действующих на балку AD: 2Л1(д = 0;-Qi . 10+/?о-20 = 0; Rd = 20 ~ 2 ~ 300 кн, 2Р; = 0; /?-Qj + /?3 = 0; R = Q - Rjy = 600- 300 = 300 кн. Сила Rb, приложенная к балке DC в точке D, равна по модулю силе R, т. е. = Рд = 300 кн. Таким образом, из сил, приложенных к балке DC, остались неизвестными только реакции опор R и R. Определяем их модули из двух уравнений равновесия сил, приложенных к балке DC. Центр моментов берем в точке приложения одной из неизвестных сил, например В: 2m, = 0; R. 10-Q3.5-Q2- 15 + 40 = 0; - 10+ Qg 5+ Q2 15 -300.10+600 5+500 15 Rc =-4--40-= 187,5 кн. 2Л = 0; /?c + /? Qg -Q2+/?c = 0; Рд = ;?о + £?з+£?2-Рс= 300+600-+500- 187,5= 1212,5 кн. Так как величины всех сил получены со знаком плюс, то их направления указанные на схеме (рис. 666, в), совпадают с действительными, § 25. Примеры на равновесие плоской системы сил Пример 13. Определить реакции опор консольной балки АВ, весом 0=15 к, находящейся под действием сил Pi = 40 ки, 30 , л пары с моментом Aff=30 кн-м. Известны размеры: ЛВ = 9 м, АС = 1,5 м, CD = 6 л СЕ = 2 м, (рис. 67а). л в м Рис. 67а. Решение. Решаем задачу согласно общему плану решения задач статики, рассматривая равновесие плоской системы сил, действующей на балку АВ. 1. Показываем действующие на балку заданные силы: Pj, Р^, пару сил М, а также вес балки G, который прикладываем в середине О длины АВ, считая балку однородной (рис. 676). С Xi £ О Рис. 676. 2. Мысленно отбрасываем связи: неподвижную шарнирную опору С и шарнирную опору на катках D, заменяя их действие соответствующими реакциями. Реакция опоры направлена перп &ядикулярно к опорной плоскости, т. е. вертикально. Линия действия реакции опоры С не известна. Если на рассматриваемое тело действуют силы, произвольно расположенные на плоскости, то необходимо провести оси координат и разложить реакцию неизвестного направления на две составляющие, направленные вдоль осей координат. Оси могут иметь любое направление, выбор их направления обусловлен характером задачи. В рассматриваемой задаче направляем ось д: вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у вертикально вверх. Направления составляющих Х,;, и реакции опоры С принимаем совпадающими-с направлениями осей координат. В случае, когда принятое направление не совпадает с действительным, ответ, полученный для соответствующей силы при решении задачи, имеет знак минус. Когда будут найдены величины Х(, и К^, модуль и направление реакции опоры С определим согласно § 9. 3. Для плоской системы сил Pj, Pg, G, Х^, Y, Ro и пары сил с моментом М, действующих на балку, составляем три уравнения равновесия: Из трех уравнений можно найти три неизвестные величины Х^ Y(2, Rd- Необходимо помнить, что до составления уравнений равновесия сил на расчетной схеме должны быть показаны все силы, действующие на рассматриваемое тело, как известные, так и неизвестные, как это выполнено на рис. 676. Эта расчетная схема не изменяется ни в процессе решения задачи, ни после него, так как уравнения равновесия сил составляются именно по этой схеме и только ей соответствуют. При составлении первого уравнения за центр моментов принимается, как правило, точка, относительно которой моменты наибольшего числа неизвестных сил равны нулю, т. е. в данной задаче точка С, в которой приложены две неизвестные силы Хс и Yp. Составим уравнения равновесия: х, = о 2к, = о Pj-CK - P2-CE - O-CO + Ro-CD - \M\ = 0; ~PiCos60°-f-Ac = 0; - Pi cos30°+Kc -Рз -G + /?o = 0. Здесь С К - перпендикуляр, опущенный из центра моментов С на линию действия силы Pj, длина которого равна плечу силы Pj, относительно С CK = ACsin60°= 1,5 0,866= 1,3 м. 4. Из трех уравнений равновесия сил определяем искомые реакции. Так как неизвестные силы Х^ и Y не имеют момента относительно точки С, то из первого уравнения опре.деляется Р^: -Р,-СК + Рг-СЕ+0-СО+\М\ Но --g-- - 40-1,3 + 30.2-f 15-3 + 30 83 =--2---= -7г = 13,8 кн. 6 о Из второго уравнения находим = Р cos 60° = 40 0,5 = 20 кн. Из третьего уравнения получаем Yc = Picos30° + P2+G-d = 40 0,866 + 30+15-13,8 = 65,8кн. Все три ответа имеют знак плюс, следовательно, принятые направления сил Хс> Ус совпадают с действительными. Найдем модуль и направление реакции опоры С (рис. 67в):  /?с = Yxl -н- yI = /20 + 65,8 = 68,8 ; cos (Rc, i) = if- = = 0,291; 65,8 cos (Rc,y) = = 683=0,956; (Rc, f) 73°, Z.(Rc. Л-17°. В дальнейшем условимся заканчивать решение задачи определением модулей и направлений составляющих X и Y реакции опоры. Примечание. Если в рассматриваемую систему сил входит пара сил, то при составлении уравнений проекций следует помнить, что сумма проекций сил, составляющих пару, hi любую ось равна нулю (рис. 68). Пример 14. Однородный брусок ав весом 0==16н опирается концом а на гладкий горизонтальный пол и промежуточной точ- Рис. 68.  Рис. б9а. кой d - на ребро. Брусок удерживается под углом а = 60° к горизонтали веревкой ef, перпендикулярной к оси бруска, причем bd = de = ea. Определить натяжение веревки ef и реакции опор Л и D (рис. 69а). Решение. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к бруску ав. Прикладываем к бруску в середине его длины о заданную силу - вес бруска G (рис. 696). Освобождая брусок от трех связей, прикладываем к бруску их реакции: реакцию пола R, реакцию S нити ef и реакцию ребра R. Направления всех трех реакций известны, а их модули можно определить из трех уравнений рабновесия плоской системы сил, действующей на брусок. В двух первых примерах сумма моментов сил состав.аена относительно точки приложения двух неизвестных сил. Из каждого уравнения равновесия определена одна из неизвестных сил и не требуется совместного решения системы уравнений с несколькими неизвестными. В рассматриваемом примере такой точки нет, так как три неизвестные реакции приложены к бруску в различных точках. Найдем точку пересечения линий действия двух неизвестных сил, например S и и примем ее за центр моментов. Тогда силы S и R не будут иметь моментов относительно этой точки К. Плечи силы R и силы G найдем, опустив перпендикуляры из точки К на линии действия этих сил. Обозначим длину бруска U тогда: А0 = . Оси координат проведем, как указано рис. 696. Уравнения равновесия сил имеют вид: 1. 2,7f = 0; Gcos60° -/?о^=0. Сокращая обе части уравнения на I, определяем /?д: 3 16 . 1 1 у=12 .  Рис. 696. /?o=3Gcos 60°-------2 2. 2А'г = 0;-лСО8 30° + ОсО5 30°=0. Отсюда /?д = 0= 16 н. 3.Yi = Q; /?дсоз60° -S - - Gcos 60° + /?д = 0. Так как /?д = 0, то --S-\-Ra = Q и S = Rj 12 н. Проанализировав результаты, увидим, что силы G и R составляют пару сил, а силы R и S - другую пару. Нетрудно убедиться в том, что моменты этих пар равны по величине и противоположны по знаку. Примечание. Иногда трудно определить моменты сил относительно точки пересечения линий действия двух неизвестных сил. Тогда за центр моментов принимают точку приложения одной неизвестной силы и уравнение моментов, содержащее две неизвестные величины, решается совместно с уравнениями проекций. Пример 16. Груз весом О - 280 н подвешен в точке Е к горизонтальной балке АВ весом Gi=160h. Балка АВ укреплена при помощи шарнира А и свободно опирается концом В на балку CD весом 120 н. Балка CD имеет шарнир С и концом D опирается на гладкую вертикальную стену; балки однородные, поверхность их гладкая. Расстояния АЕ = АВ, CB = CD. Определить реакции опор Л, С и D (рис. 70а). Решение. Неизвестные по направлению реакции шарниров А и С разложим на составляюш,ие Хд, Уд, Х^, Y. Реакция стены R. направлена перпендикулярно к стене. Пять неизвестных величин А'д, Кд, Xq, Y(. и Rq нельзя определить из трех уравнений равновесия сил, приложенных к системе двух балок. Произведем расчленение балок, т. е. рассмотрим отдельно равновесие сил, приложенных к каждой из балок.  Рис. 70а. На балку АВ действуют заданные силы G и Gj, составляю-ш,ие Хд, Уд реакции шарнира А и реакция R балки CD, направленная по нормали к ее поверхности (рис. 706). На балку CD действуют вес балки G2. приложенный в середине CD, реакция rb балки АВ, равная по модулю реакции R и направленная противоположно ей, составляющие Хс, Ус реакции шарнира С и реакция стены R (рис. 706). В- число внешних сил, приложенных к каждой балке, входят силы Rb = - Rb, выражающие взаимодействие балок. Эти силы для системы балок являются внутренними. Составим по три уравнения равновесия сил, действующих иа каждую балку, и определим шесть неизвестных величин А'д. Кд, Xq, Для сил, приложенных к балке^ЛВ, получим: X, = Q; 2. = о; Gi AB-\-RbAB sin 30° = 0; А'д - /?д cos 30° = 0; Кд - G - О1 -[- /?д cos 60° = 0. Для сил, приложенных к балке CD, получим: - RjlcD - gjCD cos 60° + RCD sin 60° = 0; + Rb cos 30° - /?д = 0; c - s cos 60° -0,2 = 0. Из системы I уравнений найдем: lo + i-O, .280+1.160 5 = sin 30° = OiS Л'д = R cos 30° = 300 0.866 = 260 н; K = 0--Oi -/?дСО8б0° = 280Н- 160 - 300 0,5 = 290 н. Учитывая, что Rb = -Rs, т. е. Pa = /?a = 300 . из системы II уравнений найдем: -д-в + у^гсовбо -300 +1.120-0,5 Rn = = 150 н; - пгбо ~ б;8бб А-с^ -/?в COS 30°+-/?д = -300. 0,866+- 150 = - 110 к; = COS 60° +- О2 = 300 . 0,5 + 1,20 = 270 к. Знаки ответов показывают, что сила направлена влево, а действительные направления остальных сил совпадают с указанными на схеме. Пример 16. Мост состоит из двух частей, связанных между собой шарниром С и прикрепленных к береговым устоям шарнирами А и В.
Рис. 71а. Вес каждой части моста Oj = Oj = 130 кн, их центры тяжести D а Е. На мосту находятся два груза = 10 кн и Q2 = 40 кн. Все размеры указаны на рис. 71а. Определить давление в шарнире С и реакции шарниров Л и В. Решение. Так как реакции шарниров Л и В не известны по направлению, то они должны быть разложены на составляющие Хд, Уд, Хд, Уд. Эти четыре неизвестные силы нельзя определить из трех уравнений равновесия плоской системы сил, приложенной к мосту, рассматриваемому как одно тело (рис. 7\б). Так как мост представляет собой совокупность двух тел, соединенных шарниром С, то можно произвести его расчленение и рассмотреть равновесие сил.  Рис. 71(У. приложенных к каждой части моста. В число внешних сил, действующих на каждую часть моста, войдут реакции отброшенной части = - Х^ и являются внутренними силами (рис. 71в). У^ = - yg, приложенные в точке С, которые для всего моста 
Рис. 71в. Для плоских систем сил, приложенных к каждой части моста, можно составить по три уравнения равновесия и из шести уравнений определить шесть неизвестных величин: А'д, Кд, Л'д, Кд, Х^., Yq. Однако в этой задаче система шести уравнений получается проще, если составить сначала три уравнения равновесия сил, приложенных ко всему мосту, рассматриваемому как одно тело, а потом - три уравнения равновесия сил, приложенных к одной части. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к мосту, как к одному телу. Прикладываем к мосту заданные силы Gj, Gj, Qi и Qo (рис, 716). Заменяем действие связей-шарниров А и В - соответствующими реакциями Хд, ¥д, Х^, Y. Составляем три уравнения равновесия плоской системы сил, приложенной к мосту: 2Ж; = 0; -О,- 1,5 -Q,-5 -Qj. И-Gg- 12,54-Кд. 14 = 0; V - Gi-1.5 + Qi-5 + Q2-ll + G2-12,5 - J4 - 130-1,5+ 10-5 + 40. 11+ 130.12,5 2310 =--- = ~j=lb5K . 2К, = 0; K-Gi-C?,-Q2-G2+K = 0; >a = G, + Qi + Q2+G2-K5=145k -2, = 0; Хд + ;д = 0. Третье уравнение содержит две неизвестные и на этом этапе решения не используется. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к левой части моста. Прикладываем к левой части моста заданные силы Gj и и реакции связей Хд, Yд, Х^ и Yc. где Х^, Y - реакции отброшенной правой части моста. К правой части будут приложены силы (?2, (?2 Хд, Y, Xg, Y, где Х^, Y - реакции левой части Моста (рис. 71 в). Составляем три уравнения равновесия сил, приложенных к левой части моста: 2 = Q, - 2 +- Gi - 5.5 +- д - 4 - Кд . 7 = 0; Г^.7 -Qi.2-Gi-5,5 145-7 -10-2-130-5,5 280 А'д =--=--= = 70 кн. 2К, = 0: Кд-О,-д1+-Кс=0; Kc = Gi + Q, -Кд= 130+ 10- 145 = -5 кн. 2, = 0; Х^Х^О; Хс = - Х^= - 70кн. Знаки минус при величинах Х(. и К^- показывают, что истинные направления сил Х^ и Y, приложенных в точке С к левой части моста, противоположны показанным на схеме. Следовательно, истинные направления сил Х' и Y приложенных к правой части, тоже противоположны направлениям, показанным на схеме. Из третьего уравнения первой системы находим А'д = - А'д = - 70 кн. Таким образом, горизонтальная составляющая Хд реакции шарнира В направлена не вправо, а влево. § 26. Определение усилий в стержнях ферм по способу Рихтера Применим метод сечений к определению усилий в стержнях плоских ферм. Рассмотрим ферму, изображенную на рис. 72 а. На ферму действуют вертикальные внешние силы: заданная сила Р = 60к и реакции опор Рд = 40кн и Rj -20 кн.  Рис. 72а. При определении усилий все стержни фермы условимся считать растянутыми, знак минус в тответе будет означать то, что стержень сжат. Пусть требуется определить усилие в стержне 6 фермы. Для этого проводим сечение /-/, рассекая не более трех стержней, в том числе стержень 6, усилие в котором определяется. Мысленно J отбрасываем левую часть фермы, заменяя ее действие на оставшуюся правую часть усилиями Sg, S7 и Sg, приложенными в соответствующих сечениях стержней и направленными в сторону отброшенной части (рис. 726).
в Рис. 726. Чтобы определить усилие независимо от усилий Sj и Sg, составляем уравнение моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки К, в которой пересекаются линии действия сил S и Sg. Эту точку называют точкой Риттера: 2Ж, = 0; -5бй + Рд. 1,5а = 0. Так как Л = 0,5 а, то 5б=/?р4 = 60 кн. в 0,5а Воспользуемся тем же сечением /-/ для определения усилия Sj независимо от усилий Sg и Sg. Спроектируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось у, так 1 ... 3 4 5 6 7 8 9 ... 44 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |