|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы в каждой системе координат мгновенную ось, т. е. прямую линию определяют два уравнения. Исключая из двух уравнений время t, получаем одно уравнение, определяющее геометрическое место мгновенных осей, соответствующих различным моментам времени, т. е^ поверхность, называемую аксоидом. Уравнение неподвижного аксоида: д: + У' = 0; уравнение подвижного аксоида: = 0. Полученные уравнения показывают, что аксоиды представляют-собой поверхности круговых конусов.  Рис. 364. При движении тела подвижный аксоид-конус, ось которого совпадает с осью С катится без скольжения по неподвижному аксоиду-конусу с осью, совпадающей с осью z (рис. 365). Модуль и направление вектора углового ускорения определим по формулам (130.7) и (130.12): dm 1 dui, 8=:- = fen cos nt. = knsinnt. da> = fe cos2fe или = = - kn sin 2kt, du>. e, = - Модуль угловог.о ускорения е постоянен и равен: Направление вектора углового ускорения определяется косинусами углов, составленных им с направлениями координатных осей: 
Рис. 365. Полученные значения косинусов углов показывают, что вектор углового ускорения е направлен по линии узлов (рис. 364). Рассмотренное сферическое движение твердого тела представляет собой совокупность двух вращений; вращения с постоянной угловой скоростью ( 3 = ср = 2ft вокруг оси ОС и вращения вместе с осью С вокруг оси Z с постоянной угловой скоростью (01=ф = . Такое сферическое движение тела называется регулярной прецессией. § 132. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей Случай I. Переносное и относительное вращения напра-£лены в одну сторону. Допустим, что плоская фигура движется в неподвижной плоскости /, а плоская фигура / совершает движение в этой же плоскости по отношению к фигуре (рис. 366,а). Тогда движение фигуры / по отношению к неподвижной плоскости /, т. е. ее абсолютное движение, является составным. Оно состоит из ее относительного движения по отношению к фигуре , с которой связана подвижная система отсчета и переносного движения вместе с фигурой , т. е. вместе с подвижной системой отсчета. Точку Pg плоской фигуры Я/, переносная скорость которой в данный момент равна нулю, назовем мгновенным центром скоростей ее переносного движения. Очевидно, переносное движение является вращательным движением вокруг центра Р^, т. е. вокруг оси 2, перпендикулярной рассматриваемым фигурам. Точку плоской фигуры /, относительная скорость которой в данный момент равна нулю, назовем мгновенным центром скоростей ее относительного движения. Относительное движение фигуры / является вращением вокруг центра Р^, т. е. вокруг оси 2. Предположим, что модули угловых скоростей (о^ и (о^ этих вращений известны. Определим абсолютное движение фигуры /, рассматривая сначала случай, когда переносное и относительное вращения происходят в одном направлении, т. е. когда векторы и о), направлены в одну сторону.  Рис. 366. Абсолютная скорость любой точки плоской фигуры /, совершающей составное движение, равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей: v = v,+ v,. Так как переносная скорость мгновенного центра скоростей Р^ равна нулю, то его абсолютная скорость Vp равна относительной скорости, которая определяется как вращательная скорость вокруг центра Pf. Скорость Vp направлена перпендикулярно отрезку Р^Р^ в сторону относительного вращения, а ее модуль равен: Так как относительная скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, то его абсолютная скорость Vp равна переносной скорости, представляющей собой вращательную скорость вокруг центра Pg. Скорость Vp направлена перпендикулярно отрезку pjp в сторону переносного вращения, а ее модуль равен Изобразив абсолютные скорости точек Р^ и Р, (рис. 366,6), найдем мгновенный центр скоростей Р абсолютного движения плоской фигуры / как точку пересечения отрезка, соединяющего концы скоростей Vp и Vp с отрезком Р^Р^. (§ 102). Пользуясь пропорциональностью скоростей точек их расстояниям от мгновенного центра скоростей Р абсолютного движения, определим расстояния от точки Р до точек Р^ и Р/. Р Р V Р Р - ы Р Р щ Р Р ~ Р Р -ы Р Р - ы (IC.Lf г Pi- гее г е Мгновенная ось абсолютного вращения Q проходит через мгновенный центр скоростей Р. Таким образом, мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры лежит в плоскости, проходящей через оси переносного и относительного вращений, и, будучи параллельной им, делит расстояние между этими осями на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Для определения угловой скорости (о абсолютного вращения плоской фигуры / воспользуемся скоростью точки - мгновенного центра скоростей относительного движения. Так как относительная скорость точки Р^ равна нулю, то абсолютная и переносная скорость этой точки равны между собой. Модуль абсолютной скорости точки Р^, как вращательной вокруг центра Р, равен произведению модуля неизвестной угловой скорости > на расстояние РР этой точки от мгновенной оси абсолютного вращения плоской фигуры. Модуль переносной скорости этой точки равен произведению модуля угловой скорости (0 на расстояние Р^Р^ от точки до мгновенной оси переносного вращения плоской фигуры. Приравнивая эти значения, получаем РР, . (О = Р,Р, . (О, = (Р,Р + рр,) . (О, = Р,Р . (О, + рр, . . Из условия (132.1) следует РеР-е-=РгР- Подставляя это значение, находим РР . ш = Р,Р т^ + РР, (й ш = ш,-)-ш^, (132.2) т. е. модуль абсолютной угловой скорости равен сумме модулей угловых скоростей составляющих вращений. Рис. 366,6 позволяет установить, что абсолютное вращение плоской фигуры направлено против движения часовой стрелки, т. е. в сторону составляющих вращений. Направляем вектор абсолютной угловой скорости w по оси 2 (рис. 366,а) так же, как направлены векторы и о),. Случай II. Переносное и относительное вращения направлены в разные стороны, а модули их угловых скоростей не равны.. Определим абсолютное движение плоской фигуры / в случае, когда переносное вращение вокруг оси и относительное вращение BOijpyr оси Qj. имеют противоположные направления и модули угловых скоростей и ш^. не равны между собой (рис 367,а). Условимся при выполнении построений считать,-что > ш^. Так как переносная скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, то его абсолютная скорость равна относительной скорости - вращательной скорости вокруг центра Р/. Аналогично абсолютная скорость мгновенного центра скоростей Р^ равна его переносной скорости - вращательной скорости вокруг центра Р/. Рг-РеРг-е< Ур.РеРг- Показав абсолютные скорости точек Р^ и Р^. (рис. 367,6), найдем мгновенный центр скоростей Р абсолютного движения плоской  Рис. 367. фигуры / как точку пересечения прямой, проведенной через концы скоростей Vp и Vp с продолжением отрезка Р^Р^ (§ 102). Определим расстояния от точки Р до точек Pg и Р^\ Р Р е р р т е Р Р Р Р т е (132.3) Мгновенная ось абсолютного вращения Й проходит через мгновенный центр скоростей Р. Таким образом, мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры параллельна осям переносного и относительного вращений и лежит в плоскости, проходящей через эти оси, со стороны той оси, угловая скорость вращения вокруг которой больше. Расстояния между осью абсолютного вращения и осями переносного и относительного вращений обратно пропорциональны угловым скоростям. Для определения угловой скорости абсолютного вращения плоской фигуры / воспользуемся скоростью точки Pj.. Приравниваем модули абсолютной скорости точки Я, - вращательной вокруг центра Р и переносной скорости этой точки - вращательной вокруг центра Р^: РР, . о. = Р,Р, . (Og = (PgP ~ Р,Р) . О), = Р^ . О), - Р,Р . ш,. Из условия (132.3) следует, что PgP . 0) = Р,Р . (О,. Подставляя это значение, находим РР, О) = Р,Р . О), - Р/ U)g, = -o)g, (132.4) т. е. модуль абсолютной угловой скорости равен разности модулей угловых скоростей составляющих вращений. Рис. 367,6 показывает, что абсолютное вращение плоской фигуры направлено против движения часовой стрелки, т. е. в сторону относительного вращения, угловая скорость которого по модулю больше угловой скорости переносного вращения. Откладываем (рис. 367,а) по оси Й вектор угловой скорости о) абсолютного вращения, направляя его так же, как направлен вектор ю,. Необходимо отметить, что три мгновенных центра скоростей переносного, относительного и абсолютного движений плоской фигуры всегда лежат на одной прямой. Рассмотренное составное движение плоской фигуры в ее плоскости представляет собой сложение плоских движений твердого тела, происходящих параллельно одной и той же плоскости или сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Результаты рассмотренных случаев показывают, что сложение параллельных векторов угловых скоростей осуществляется по известному правилу сложения параллельных скользящих векторов, т. е. так же, как и сложение параллельных сил. Случай III. Переносное и относительное вращения направлены в разные стороны, а модули их угловых скоростей равны. Определим абсолютное движение плоской фигуры / в случае, когда переносное вращение вокруг оси 2 и относительное вращение вокруг оси S, направлены в разные стороны (рис. 368,а), а модули их угловых скоростей равны, т. е. e = r: = - г- Покажем, что в этом случае абсолютные скорости всех точек фигуры HI геометрически равны. Фигура / совершает составное движение, а потому абсолютная скорость любой точки этой фигуры равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей: v = v,-f-v,. Переносная скорость точки М фигуры / (рис. 386,6) перпендикулярна отрезку PgM, а ее модуль равен: Vg = PgM 0). Относительная скорость этой точки перпендикулярна отрезку Р^М, а ее модуль равен: Строим параллелограмм скоростей и находим абсолютную скорость V-   Рис. 368. Треугольники Мае и Р^МР. подобны, так как стороны M.a = Vg и ac = Vr пропорциональны сторонам Р^М и Р^М, а / Мас = = lPeMPj как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из подобия этих треугольников находим: PtP, ~~ РеМ ~~ РгМ = (й^ или V = PJ>, Так как две стороны Ма и ас треугольника Мае перпендику- то и лярны двум сторонам Р^М и Р^М треугольника третьи стороны этих треугольников должны быть взаимно перпендикулярны, т. е. скорость абсолютного движения точки v направлена перпендикулярно отрезку PJPj.. Так как точка М выбрана произвольно, то абсолютная скорость любой точки плоской фигуры III направлена перпендикулярно отрезку РеРт> а ее модуль равен произведению расстояния между мгновенными центрами скоростей переносного и относительного движений на модуль угловой скорости одного из составляющих вращений (рис. 368,й и б). Следовательно, скорости всех точек фигуры / геометрически равны, т. е. мгновенный центр скоростей абсолютного движения этой фигуры Я находится в бесконечности, а угловая скорость ее абсолютного вращения равна нулю (§ 102, рис. 262.в). Если за все время движения направления составляющих вращений остаются взаимно противоположными, а угловые скорости равными по модулю, то фигура / совершает поступательное дви-жение. Совокупность двух вращений тела, направленных в противоположные стороны и имеющих равные модули угловых скоростей, называют парой вращений. Так как фигура / представляет собой сечение некоторого тела плоскостью, можно считать установленным, что в случае, если в течение некоторого промежутка времени тело участвует в двух противоположно направленных вращениях вокруг параллельных осей с равными по модулю угловыми скоростями Ш; = Ш2 = (О, то его движение поступательное (рис. 369). Модуль скорости этого движения равен произведению модуля угловой скорости ш на расстояние между осями вращений:  Рис. 369. Вектор скорости v направлен перпендикулярно плоскости пары угловых скоростей tOj, щ в ту же сторону, в какую направлен вектор момента пары сил М по отношению к паре сил Р, Р' (§ 40). Следовательно, вектор скорости поступательного движения тела представляет собой момент пары угловых скоростей. Таким образом, сложение векторов угловых скоростей как пересекающихся, так и параллельных, производится так же, как и сложение сил; это закономерно, так как векторы угловых скоростей и сил являются скользящими векторами. Случай пары угловых скоростей аналогичен случаю пары сил. Так же, как и момент пары сил, вектор скорости поступательного движения- вектор свободный, так как он относится к любой точке тела. Примером пары вращений является движение велосипедной педали АВ относительно рамы велосипеда (рис. 370). Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом OjOj вокруг оси Oj и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси Оз.  Рис. 370. Педаль АВ за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т. е. совершает поступательное движение, вследствие того, что угловые скорости составляющих вращений ti)i и tOj равны по модулю и противоположны по направлению. § 133. Примеры на сложение вращений твердого тела вокруг параллельных и пересекающихся осей Пример 93. Кривошип OA эпициклического механизма равномерно вращается с угловой скоростью % против движения часовой стрелки и приводит в движение колесо . Зная радиусы колес и Tj. вычислить абсолютную угловую скорость ©2 колеса и его относительную угловую скорость по отношению к кривошипу OA (рис. 371, а) Решение. Абсолютное движение колеса представляет собой вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей колеса - точку Р соприкасания колес (рис. 371, б). Это вращение можно разложить на два составляющих вращения: переносное вращение вместе с кривошипом с угловой скоростью ®е = ®0 вокруг оси О (Р^) и ОТНОСИ- тельное вращение по отношению к кривошипу вокруг оси, проходящей через ось колеса А (Р^) с угловой скоростью 0). Действительно, двигаясь с кривошипом, видим движение колеса П как вращение вокруг оси А. Так как абсолютный мгновенный центр скоростей Р находится между переносным и относительным мгновенными центрами скоростей, то абсолютное вращение направлено в сторону составляющих вращений, т. е. про- Рис. 371. тив движения часовой стрелки, а модуль абсолютной угловой скорости равен сумме модулей относительной и переносной угловых скоростей: 0 = (О^ + 0г. Определим co, пользуясь соотношением (132Л): РеР П  РгР 0, = 0), - = й)о- Определив ш найдем модуль абсолютной угловой скорости колеса /Л .......... , ... г, Г1 + Г2 Пример 94. Линейка АВ эллипсографа приводится в движение кривошипом ОС, который вращается с угловой скоростью вокруг оси О в сторону, обратную движению часовой стрелки. ОС = АС = ВС. Определить относительную угловую скорость линейки по отношению к кривошипу и ее абсолютную угловую скорость (рис. 372,а). Решение. Построим абсолютный мгновенный центр скоростей линейки как точку пересечения перпендикуляров к траекториям точек А и В (рис. 372,6). Разложим абсолютное вращение линейки вокруг точки Р на два составляющих вращения: переносное вращение вместе с кривошипом ОС вокруг оси О (Р^) с угловой скоростью Ш^ = Шд и относительное вращение по отношению к кривошипу с угловой скоростью ш,. Центром этоговра-щения является ось шарнира С, так как точка С является общей для линейки и кривошипа и в относительном движении по отношению к кривошипу не участвует. Если двигаться вместе с кривошипом, то можно видеть движение линейки как вращение вокруг точки С. Так как точка Р лежит вне отрезка PgPr- то направление относительного вращения противоположно направлению переносного и модуль абсолютной угловой скорости равен разности модулей угловых скоростей и ш^. При таком положении точки Р направление абсолютного вращения совпадает с направлением относительного вращения. Определяем модули относительной и абсолютной угловых скоростей линейки:  Рис. 372. Or РеР ЮС ш = - 4>g = 2u)j3 - Шо = 0- 2а)о; 1 ... 37 38 39 40 41 42 43 44 |
 |
 |