|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы ростей производится по тем же правилам, как сложение векторов сил в статике. Рассмотрим общий случай сложения движений твердого тела, одновременно участвующего в нескольких вращательных движениях вокруг произвольно расположенных мгновенных осей и в нескольких поступательных движениях. Покажем, что к системе угловых скоростей можно применить метод приведения к произвольно выбранному центру, аналогичный методу Пуансо, применяемому в статике к системе сил. Вектор угловой скорости, так же как и вектор силы, является скользящим вектором потому, что его можно отложить от любой точки оси вращения тела. Вектор угловой скорости так же как и вектор силы, нельзя просто перенести с одной оси на другую параллельную ей ось; это означало бы замену вращения вокруг одной оси не эквивалентным ему вращением вокруг другой оси. Применим к вектору угловой скорости приведение к заданному центру, аналогичное приведению силы. Предположим, что дан вектор угловой скорости , приложенный в точке а, и требуется привести его к заданному центру О (рис. 379). Приложим в точке О два вектора ft) = 10 и < > = - to. Вектор ю в точке а и вектор ю' в точке о образуют пару угловых скоростей. Вектор момента этой пары v, согласно § 132, равен вектору поступательной скорости \q. Проведем из центра приведения О в точку а радиус-вектор г и определим момент полученной пары угловых скоростей: V = Vo = г X ю- Кроме вектора поступательной скорости Vp, имеется вектор угловой скорости ю , равный вектору ю, но приложенный в центре приведения О. Таким образом, вектор угловой скорости можно перенести параллельно его первоначальному положению в любой центр приведения, присоединив вектор поступательной скорости, равный моменту заданной угловой скорости относительно атого центра. Это означает, что вращению вокруг оси, проходящей через точку а, с угловой скоростью W, эквивалентно вращение вокруг параллельной оси, проходящей через точку о, с угловой скоростью ь> = (1> в совокупности с поступательным движением со скоростью \q. Модуль и направление момента v пары угловых скоростей ю, ю' определяются так же, как в статике определялись модуль и направление момента М пары сил Р, Р'.  Рис. 379. При этом v = Vo = r X W соответствующего где \q - скорость поступательного движения, приведенной паре угловых скоростей. Предположим теперь, что в некоторый момент времени дана система угловых скоростей tOj, toj.....(л„, приложенных в точках j. Лз.....Л„, и система поступательных скоростей щ.....и„, характеризующих движение твердого тела (рис. 380). Выберем произвольный центр . приведения О и приведем все векторы щ, .. к атому центру. Приведенные векторы, согласно § 129, можно заменить одним вектором о , равным их геометрической сумме; о> = 1 + >2-- -f- >n = S >i- При переносе векторов Wj, .....n точку О образовалось п пар угловых скоростей. Момент каждой присоединенной пары угловых скоростей равен соответствующей поступательной скорости: Vi = Vio = riX i. V2 = Vjo = Г2 X Щ.  v = v o = r Xw . Рис. 380. где Ti = OAi, Г2=ОЛ2, .... Так как поступательные скорости являются свободными векторами, то их можно перенести в центр приведения. Результирующую поступательную скорость \q найдем как геометрическую сумму поступательных скоростей Vio, V20.....Vno соответствующих парам угловых скоростей, и скоростей заданных поступательных движений твердого тела щ, щ.....и„: Vo = Vio + V2o+ ... +V o-fUi+U2-f ... + U . Таким образом, в результате приведения заданная совокупность движений твердого тела оказалась замененной одним вращением вокруг мгновенной оси 2, проходящей через точку О, с угловой скоростью ft) и поступательным движением со скоростью v. Эта замена движений эквивалентными движениями аналогична замене заданной системы сил и пар в статике одной силой, равной главному вектору R*, и одной парой с моментом, равным главному моменту сил относительно центра приведения М = }Лд. Рассмотрим возможные случаи приведения аналогично тому, как это проводилось в разделе Статика . Случай I: о) = 0 и Vo = 0. Тело находится в состоянии покоя*. В статике аналогичным является случай, когда R* = 0 и Мо = 0, при котором силы уравновешиваются. Случай II. о) = 0, VqQ. Тело движется поступательно. Скорость этого движения можно рассматривать как момент пары угловых скоростей (рис. 381), модуль которого Vgz=v = tod. В статике этому случаю соответствует пара сил, момент которой M = Pd (рис. 382).   Рис. 381. Рис. 382.  Рис. 383.  Рис. 384. Случай III: ыфО, Vo = 0. Тело совершает сферическое движение вокруг точки О с угловой скоростью ю (рис. 383), а в случае неизменности направления ю вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О. В статике этому случаю соответствует приведение сил к равнодействующей силе R, линия действия которой проходит через центр приведения (рис. 384). * Здесь и ниже имеется в виду, что указанные условия в отношении м и V сохраняются в течение некоторого промежутка времени. Случай IV: ыФО, VqO и v Lw. Тело совершает плоское движение. Пусть после приведения угловых и поступательных скоростей к центру О получен вектор ы и вектор v, перпендикулярный to (рис. 385). Заменим поступательную скорость парой угловых скоростей плоскости, перпендикулярной v, выбрав угловые скорости равными по модулю (О и определив плечо d = Поместим один из векторов угловой скорости пары с моментом v = V, лежащей в Я   Рис. 385. Рис. 386. вращений в точку О, а другой, равный ю, в точку К на расстоянии OK = d, отложенном перпендикулярно to в такую сторону, чтобы по отношению к паре угловых скоростей вектор скорости поступательного движения v был расположен так же, как по отношению к паре сил расположен ее момент М (рис. 385 и 386). Тогда равные и противоположно направленные векторы й) и ю' в точке О можно отбросить, так как соответствующие им вращения взаимно компенсируются. Остается только вектор ю, приложенный в точке К.  Рис. 387, Тело в этом случае вращается с угловой скоростью ю вокруг мгновенной оси 2, лежащей в плоскости, перпендикулярной поступательной скорости \д на расстоянии ОК =- от центра приве- дения. В статике этому случаю соответствует приведение сил к равнодействующей силе, линия действия которой находится в плоскости, перпендикулярной главному моменту на расстоянии 0К = - от центра приведения (рис. 386). Случай V: ©=0, Уо=т^О и VqH& J tii - общий случай движения свободного твердого тела. Пусть после приведения угловых и поступательных скоростей к центру О получены векторы ы и Vq (рис. 387). Заменим поступательную скорость Vq парой угловых скоростей произвольной величины и Wj с моментом v = Vq и плечом OK = d = - . Сложив по правилу параллелограмма векторы угловых скоростей м и в точке О, получим Wl, = M--W,. Движение тела сводится к двум вращениям вокруг скрещивающихся мгновенных осей 2i, и 2, проходящих через точки О я К, с угловыми скоростями Ыц и Й). В статике этому случаю соответствует приведение сил к двум скрещивающимся силам Р и Q (рис. 388).  Рис. 388.    Рис. 389. Рис. 390. Рассмотрим другое представление этого же случая. Пусть после приведения угловых и поступательных скоростей к центру О полу- чены вектор w и вектор поступательной скорости Vo = v, не перпендикулярный (i) (рис. 389). Разложим поступательную скорость на две скорости: v*, направленную вдоль вектора о, и v, перпендикулярную W. Поступательную скорость v заменим парой угло- вых скоростей w и w с плечом ОС = d = - . Векторы й) и w в точке О как равные по модулю и противоположно направленные отбросим, а момент пары вращений v* как свободный вектор перенесем из точки О в точку С. Тогда векторы w и v* будут направлены вдоль одной прямой, проходящей через точку С. Таким образом, движение свободного твердого тела можно рассматривать как совокупность его вращения с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси и поступательного движения вдоль этой оси со скоростью V*. Совокупность этих движений называется мгновенным винтовым движением, а мгновенная ось 2в называется мгновенной винтовой осью. Так как точки мгновенной винтовой оси не участвуют во вращении, то их скорости геометрически равны v*. Таким образом, мгновенная винтовая ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых равны по модулю и направлены вдоль этой оси. В статике этому случаю соответствует приведение сил к динаме (рис. 390). Общий случай движения свободного твердого тела можно представить в видемгно-венного винтового движения или в виде двух мгновенных вращений вокруг скрещивающихся осей. Если принять за полюс какую-либо точку С мгновенной винтовой оси, то скорость любой точки тела М определится как диагональ прямоугольника, построенного на скорости полюса v* и вращательной скорости точки М вокруг мгновенной винтовой оси (рис. 391): Здесь v = m-hsg. где hs - перпендикуляр, опущенный из точки М на мгновенную винтовую ось. При увеличении расстояния точки от мгновенной винтовой оси увеличивается ее вращательная скорость v, а следовательно, и абсолютная скорость точки Положение мгновенной винтовой оси как в неподвижном пространстве, так и в движущемся теле с течением времени изменяется. Линейчатая поверхность, представляющая собой геометрическое место мгновенных винтовых осей в неподвижном про-  Рис. 391. страистве, называется неподвижным аксоидом мгновенных винтовых осей. Линейчатая поверхность, представляющая собой геометрическое место мгновенных винтовых осей в движущемся теле, называется подвижным аксоидом мгновенных винтовых осей. В каждый момент времени эти аксоиды соприкасаются по общей производящей, являющейся мгновенной винтовой осью для данного момента времени, и одновременно подвижной аксоид перемещается относительно неподвижного со скоростью v*, направленной по линии их соприкасания. Таким образом, при действительном движении свободного твердого тела подвижной аксоид мгновенных винтовых осей катится по  неподвижному аксоиду и в то же время скользит вдоль линии их соприкасания. В статике установлена следующая зависимость между главным моментом сил относительно центра приведения М^, наименьшим главным моментом системы сил М* и главным вектором R*: М* = Мо -dXR. где d - радиус-вектор произвольной точки центральной оси системы сил относительно центра приведения (рис. 392). В кинематике существует аналогичная зависимость между результирующим вектором поступательных скоростей Vq, наименьшей поступательной скоростью v* и результирующим вектором угловых скоростей о: v* = Vo -dX м. где d - радиус-вектор произвольной точки мгновенной винтовой оси относительно центра приведения (начала координат) (рис. 393). Выражая эту зависимость в проекциях на неподвижные оси декартовых координат JC, у. г, получаем:
где JC, у, Z - текущие координаты точек мгновенной винтовой оси. Так как векторы v* и w параллельны, то их одноименные проекции пропорциональны. Пользуясь этим, получим уравнения мгновенной винтовой оси: * * * <ЛЛ (оу (о^ (й или Рд. -(у<а^ -гму) Уу - {г<лх - х<лг) - {xw - уп)) 4f <l>jf <l)y 0) ш Эти уравнения аналогичны уравнениям центральной оси системы сил. В статике установлены два инварианта системы сил: R* = const, 24.24-22 = const; R* . Мо = ХМ 4- КЖу 4- ZM = const. В кинематике также имеются два инварианта, т. е. две величины, не зависящие от положения центра приведения: (О = const; u)2 4- u)2 4- u)2 = const; w . Vq = WjcVj 4- (Оу-Уу 4- >л = const. Минимальная поступательная скорость Vmi = v* направлена вдоль мгновенной винтовой оси и ее алгебраическая величина равна: via = v* = vocos{fa, Vo); Отношение минимальной поступательной скорости к угловой скорости результирующего вращения тела ш называется параметром кинематического винта Вопросы для самоконтроля 1. Что представляет собой абсолютное движение тела, участвующего в нескольких вращениях вокруг сходящихся мгновенных осей? 2. Как по уравнениям сферического движения твердого тела определяют его угловую скорость? 3. Каковы проекции углового ускорения тела при сферическом движении иа неподвижные и подвижные координатные оси? 4. Как определяют угловую скорость твердого тела, вращающегося вокруг двух параллельных осей в одну и в разные стороны? 5. Что называют парой вращений и при каком условии пара вращений эквивалентна поступательному движению? Чему равна скорость этого поступательного движения? 6. Какие понятия статики аналогичны угловой скорости вращения тела и поступательной скорости? 7. В чем заключается правило приведения вектора угловой скорости к заданному центру? 8. Что представляет собой движение твердого тела, участвующего в нескольких вращениях вокруг произвольных осей н в нескольких поступательных движениях? 9. Сравните все возможные случаи приведения угловых и поступательных скоростей к заданному центру с аналогичными случаями приведения системы сил в статике. 10. Что называется мгновенной винтовой осью вращения твердого тела и каковы ее уравнения? 11. В каком виде при помощи мгновенной винтовой оси может быть представлен общий случай движения свободного твердого тела? 12. Что называют подвижным и неподвижным аксоидом мгновенных винтовых осей и как перемещается подвижной аксоид при движении свободного твердого тела? 13. Укажите распределение скоростей точек свободного твердого тела? 14. Скорости каких точек свободного твердого тела являются наименьшими? 15. Скорости каких точек свободного твердого тела равны между собой по модулю? 16. Какие характеристики движения свободного твердого тела ие зависят от выбора центра приведения? 17. Что называют параметром кинематического винта? Механические величины и единицы их измерения
1 ... 39 40 41 42 43 44 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |