|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Покажем, что диагональ ОС этого параллелограмма представляет собой угловую скорость результирующего вращения тела, которое происходит вокруг оси ON. Для этого прежде всего установим, что ось ON является мгновенной осью абсолютного вращения тела, т. е. абсолютные скорости точек тела, расположенных на прямой ON, равны нулю. Точка О расположена одновременно на двух мгновенных осях вращения ОК и 0L, поэтому ее абсолютная скорость равна нулю Vq = 0. Покажем, что скорость вершины С параллелограмма ОАСВ также равна нулю. Точка С принадлежит твердому 1елу и поэтому она одновременно участвует в его вращениях вокруг осей ОК и 0L. Переносная вращательная скорость направлена перпендикулярно плоскости ОАСВ от читателя, а ее модуль равен: V, = DC ia = 2 пл. доле Относительная вращательная скорость направлена перпендикулярно плоскости ОАСВ к читателю, а ее модуль равен: v,=:EC ш^ = 2 пл. /\ОВС. Так как 1\0АС = [\ОВС, то у^ = - \. По теореме о сложении скоростей получим vc = v,-f-v, = 0. Установив, что скорости точек О и С твердого тела в рассматриваемый момент равны нулю, можно утверждать, что прямая ON, проходящая через эти точки, в этот момент является мгновенной осью абсолютного вращения тела. Покажем теперь, что геометрическая сумма векторов и to, т. е. вектор ОС, равен вектору угловой скорости абсолютного вращения тела о). Для этого проведем из гочки О в какую-либо точку М тела радиус-вектор г н определим скорость этой точки: v = v, + v,. Абсолютная скорость точки равна произведению неизвестного по модулю вектора о), направленного по оси ON, на радиус-вектор точки: v = a)Xi - Вращательные скорости составляющих движений Подставляя выражения скоростей, получаем Q) X r = Q)gX r + Wr X г =(tOg + Q),) X г, откуда находим, что Q) = Q), + Q),. (129.1) Таким образом, угловая скорость абсолютного вращения тела равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений. Установленное соотношение называют правилом параллелограмма угловых скоростей. Если твердое тело одновременно совершает вращения вокруг нескольких мгновенных осей, пересекающихся в одной точке, то угловая скорость to абсолютного вращения тела равна геометрической сумме угловых скоростей Wj, Wj, w составляющих вращений: й) = а), + (02+ ... +&) . (129.2) Это соотношение называют правилом многоугольника угловых скоростей. Оно показывает, что абсолютную угловую скорость w можно найти как замыкающую сторону многоугольника угловых скоростей (рис. 361). Рассмотрим несколько примеров на построение параллелограмма угловых скоростей. Допустим, например, что конус катится без скольжения по неподвижному конусу / (рис. 357). Так как при отсутствии скольжения точки соприкасания конуса с неподвижным конусом / имеют скорости, равные нулю, то линия соприкасания конусов является мгновенной осью 2 абсолютного вращения конуса . При качении конуса его образующие поочередно становятся линиями касания с неподвижным конусом, т. е. мгновенными осями абсолютного вращения конуса . Ось конуса не остается неподвижней, а вращается вокруг оси неподвижного конуса. Следоватедьно, абсолютное вращение конуса вокруг мгновенной оси Q. представляет собой совокупность его относительного вращения вокруг оси 2, являющейся его осью, и переносного вращения вокруг оси 2, совпадающей с осью неподвижного конуса. Угловые скорости этих вращений связаны зависимостью (О = Q)g 4-0). Зная одну из трех угловых скоростей и положение всех трех осей вращения, молено ностроить параллелограмм угловых скоростей и определить две другие угловые скорости. На рис. 358 пог.азан параллелограмм угловых скоростей для случая качения без скольжения конуса по внутренней поверхности неподвижного конуса /, а на рис. 359-для случая качения без скольжения конуса по неподвижной плоскости /. По рисунку легко убедиться в том, что смотря навстречу соответствующему вектору  Рис. 357. угловой скорости, можно видеть каждое из трех вращений происходящим против движения часовой стрелки. Покажем применение параллелограмма угловых скоростей на еле-  Рис. 359. дующем примере (рис. 360). Допустим, что конус обегает неподвижный конус / за минуту 15 раз. Определим угловую скорость вращения конуса вокруг своей оси, его абсолютную угловую скорость и его угловое ускорение. Для этого представим абсолютное вращение конуса вокруг мгновенной оси Q состоящим из относительного вращения вокруг его оси 2, и переносного вращения вместе с этой осью вокруг оси неподвижного конуса 2. .Модуль угловой скорости переносного вращения 2я-15 = 0,5тс= 1,57 сек-\  Задавщись направлением переносного вращения (против движения часовой стрелки, если смотреть сверху), откладываем вектор и строим параллелограмм угловых скоростей. Из параллелограмма находим модули угловых скоростей абсолютного и относительного вращений конуса : щ 0>5я ~ sin 30° ~ 0,5 = и=3,14 сек-Н a)r = (octg30° = = 0,5т1:]/3=:г2,72 сек . Рис. 360. Движение конуса явля- ется сферическим, так как его вершина О остается неподвижной. Для определения углового ускорения конуса 8 следует построить годограф угловой скорости w и определить линейную скорость и конца вектора w (§ 115). Годографом q) является окружность, параллельная основанию неподвижного конуса. Зная модули угловой скорости переносного вращения и относительного вращения (о^ конуса , определим модуль вращательной скорости и: и = (й^(й, = 0,5тг 0.5тг /3 = 0,25тг2 = 4,23 сек- ; е = ц; е = и = 0,25тс2/3 = 4,23 сек'. Вектор S перпендикулярен плоскости параллелограмма угловых скоростей. § 130. Проекции угловой скорости и углового ускорения твердого тела, совершающего сферическое движение, на неподвижные и подвижные оси декартовых координат Пусть сферическое движение тела задано уравнениями (113.1): е = Л(0. Быстроту изменения эйлеровых углов характеризуют алгебраические величины соответствующих угловых скоростей: й? 0)3 = угловой скорости прецессии, т. е. вращения тела вокруг оси Z, перпендикулярной плоскости угла ф; угловой скорости нутации, т. е. вращения тела вокруг линии узлов, перпендикулярной плоскости угла 6; угловой скорости собственного вращения, происходящего вокруг оси С, которая перпендикулярна плоскости угла ср. Сферическое движение тела в каждый момент времени может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей чгрез неподвижную точку О. Разложим это вращение на три составляющих вращения вокруг осей Z, J, С проходящих через эту же точку (§ 113). Тогда вектор о, угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси Q будет равен сумме угловых скоростей щ, З правленных вдоль осей Z, С, J, т. е. определится как замыкающая сторона многоугольника угловых скоростей: (0=:Q)j-(-Q)3+W2. Модуль угловой скорости О) можно определить непосредственно из многоугольника угловых скоростей (рис. 361) и по способу проекций. Определяя w при помощи многоугольника угловых скоро- Pj((. 351 стей, найдем сначала О/ - сумму двух угловых  скоростей ©1 и (1)3, лелограмма, построенного на этих между Ы] и 0)3 равен 9, имеем векторах. как диагональ парал-Учитывая, что угол л| = 0)2-f- 0)2-)- 2o)jO)3cos 9. Найденный вектор ю/ расположен в плоскости zOL а вектор направлен по линии узлов 0J, перпендикулярной к этой плоскости, т. е. угол между векторами Ы/ и равен 90°, а потому ,2 ,.,2 Подставляя в это выражение (о^, получаем u)2 = u)2-j- u)-j-(o-j- 2(0Шд cos 9 или I = У Q2 2 + COS е. (130.1)  По этой формуле определяем модуль угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси. Модуль и направление угловой скорости to можно определить также по ее проекциям на неподвижные оси декартовых координат X, у, Z или на подвижные оси 5, Т7, С Проекция ю на каждую ось определяется как сумма проекций составляющих угловых скоростей tOj, (О2 и (О3. Найдем сначала проекции ю на неподвижные координатные оси X, у, Z. Проекции (Oi и 0*2 находим непосредственно. Чтобы получить проекции 0*3 на все три оси, разложим эту угловую скорость на две составляющие, из которых одна направлена Рис. 362. по оси Z, а другая лежит в плоскости хОу (рис. 362). Первая составляющая имеет алгебраическую величину WjCOsS, вторая (OgSinS, Вторая составляющая направлена по прямой Oj, лежащей в плоскости хОу и перпендикулярной прямой 0J. Прямая Oj образует с осями х w. у углы, равные 90°-ф и 180°-ф. Проектируя угловые скорости на неподвижные оси, получаем: u)j. = ( 2 cos ф + 0)3 sin 9 sin ф; (йу = ( 2 sin ф - 3 sin 9 cos ф; (й^ == --(0з cos 9. Подставляя значения Wj, (Oj и (О3, находим: (Ojj. = б cos ф +ср sin 9 sin ф. (Oy = 9sin({) - cj)sin9cosiJ), \ (130.2) = ф-f-ср cos 9. При вычислении проекций to на подвижные оси %, f\, ? (рис. 363) проекции (Од и tOg определяем непосредственно. Чтобы получить проекции Wj на все три оси, разложим эту угловую скорость на две составляющие: направленную по оси С и лежащую в плоскости Oq. Их алгебраические величины равны (Oj cos б и (Oj sin 6. Вторая составляющая направлена по прямой Ои, лежащей в плоскости IOt) и перпендикулярной прямой 0J. Прямая Ои образует с осями ? и 17 углы, ; равные 90° - ср и ср. Проектируя угловые скорости па подвижные оси, получаем: (й^ = (Oj sin 6 sin cp-j- (O2COSCP; (0, = (О J sin б cos ср - ( 2 sin ср; o) = (OjCOs 6--(Оз. Подставляя значения о) (Og и (О3, находим: (l), cos в (й^ = 41 sin 6 sin cp-j-e cos ср, w = iijsin6coscp-Osincp, cor = Ф cos 0 + ср. (130.3)  Рис. 363. Легко убедиться в том, что при вычислении модуля со по ее проекциям на неподвижные или подвижные оси получается значение, определяемое формулой (130.1), т. е. О) = fV + (o2+co2 = ( 2+ ,2 4- ,2 j/f + C2 J e22CCOsO. Модуль и направление углового ускорения е также можно определить по его проекциям на неподвижные или подвижные оси декартовых координат. Определим проекции углового ускорения на неподвижные оси координат. Разлагая векторы угловой скорости w и углового ускорения 8 по ортам неподвижных осей, имеем: e = iE + JEy + ks. (130.4) (130.5) Вектор углового ускорения равен производной по времени от вектора угловой скорости (115.1): do> ~1Г (130.6) Сопоставляя выражения (130.5) и (130.6), определяющие е, находим dox dt da>y If dm 2 IT (130.7) т. е. проекции, углового ускорения на неподвижные оси декартовых координат равны производным по времени от проекций угловой скорости на соответствующие оси. Таким образом, выражения проекций углового ускорения на неподвижные оси содержат эйлеровы углы и их производные. Определим проекции углового ускорения и на подвижные оси декартовых координат, связанные с твердым телом. Обозначим единичные векторы подвижных осей ij, jj, kj. Эти орты, неизменные по модулю, вращаются вместе с телом вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Й). Поэтому производные от этих ортов по времени как вращательные скорости концов этих векторов определятся по формулам (124.3); -§- = a.Xii. = .XJi. = а.Хк,. (130.8) Разлагая векторы угловой скорости ю и углового ускорения г по ортам подвижных осей, поЯучаем (o = ij ,. + jj , + ki )c. (130.9) s = e£+Ji + kiSc. (130.10> d I di d] dk, \ / da. da d<s>, \ =:5Г=Ы + -Ж% + 0 + (1,-5+], + к1). Преобразуем первое слагаемое правой части этого равенства, пользуясь значениями производных от ортов; Ж Ж + = X ( г + Ji + к, .,) = W X 0) = 0. Угловое ускорение da. da da. s = h- + ix -+ki -jr (130.11) Сопоставляя выражения (130.10) и (130.11), определяющие е, находим проекции вектора е на оси 5. fl- С: da. da rfo) = = -1Г' (130.12) т. е. проекции углового ускорения тела на подвижные оси декартовых координат равны производным по времени от проекций угловой скорости на соответствующие подвижные оси. § 131. Проекции ускорения точки твердого тела, совершающего сферическое движение, на неподвижные и подвижные оси декартовых координат Пользуясь проекциями угловой скорости и углового ускорения тела на оси координат, можно определять проекции ускорения точки тела при сферическом движении на неподвижные или подвижные оси декартовых координат. Вектор ускорения точки при сферическом движении (118.2) w = eXr + wX(wXr). Из векторной алгебры известно выражение двойного векторного произведения АХ(В-ХС) = В(А-С) -С(А- В). Преобразуя по этой формуле двойное векторное произведение О) X (w X r)i получаем W = S X г + 0) (Q) г)-г (о) (О) или w = s X r + a)(Q) г) -ш^г. (131.1) Проектируя левую и правую части этого векторного равенства па неподвижные оси декартовых координат, получаем = - е^у + (о)х + Шуу + u)z) - (о2х, = - х^ + % ( лгЛГ + (йуу + U)Z) - (02у, В проекциях на подвижные оси декартовых координат получаем 5 = г Г, - sfi + ш. (0)5 + 0)7) + 0)0 - = s,. - е^С + 0) ((OjS + (07) + (й^С) - (oYj, = sT7 - eS + (й(. (u)jS + u)T7 + wC) - (oC. Ускорение точки определяется по его проекциям на оси; да = Ада^ j 2 щ,2 или да = /да2-j-да2-)-да2 Применим полученные формулы к определению характеристик сферического движения тела. Пример 92, Сферическое движение тела задано уравнениями (131.2) (131.3) . = 2k(. Определить модуль угловой скорости сферического движения тела, мгновенную ось вращения тела, неподвижный и подвижный аксоиды, а также модуль и направление вектора углового ускорения. Решение. Проекции угловой скорости на неподвижные оси декартовых координат вычисляем по формулам (130.2): (Oj = б cos ф + ср sin 9 sin ф; (Оу - О sin ф - ср sin 9 cos ф; (й^ = ti -j- ср cos 9. При ф = , 0 = 0, cj) = 2fe получаем: ш^ = 2k sin sin nt = k sin nt; (Oj, = - 2k sin cos / = - k cos u) = -f- 2fe cos = Й + /3 ife. Проекции угловой скорости на подвижные оси декартовых координат вычисляем по формулам (130.3): u) = (j)sin 6 sincp-]- 9 coscp; u) = ф sin б cos ср - 9 sin ср; u)j = ф cos б-j-ср. Подставляя значения ф, ср и 6, получаем: (й^ = и sin sin 2kt = 0,5 sin 2kt; 0) = sin cos 2fe/ = 0,5 cos 2kt; o)j = л cos + 2fe = ~- n -\- 2k. Модуль угловой скорости (О постоянен и равен: , = / ,2 + ,2 + ,2 у ,2 ,2 ,2 = /42 + 2 2 /З Так как 0)2 = 0, то направление угловой скорости совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на угловых скоростях oij и (О3 (рис. 364). Мгновенная ось вращения тела Q направлена по этой диагонали. Согласно формулам (117.1) и (117.2), уравнения мгновенной оси имеют вид: в неподвижной системе координат Oxyz = У >х >. г или X у г k sin nt -k cos nt n-\- k в подвижной системе координат Oltf, J- = = -l i 1) С или 5 V) t 0,5rt sin 2 0,5n cos 2kt 1 ... 36 37 38 39 40 41 42 ... 44 |
||||||
 |
 |