|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы лярную Оф, а из вершины а прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Получаем луч ОЬ = v. Для определения скорости точки С делим отрезок аЬ на части: ас АС . АС 7ь=-АВ- ас = аЬ. Проведя из точки О в точку с луч, получаем Ос = v. Для звена CDE известны модуль и направление скорости и прямая, по которой направлена скорость Уд, перпендикулярная O3D. Проводим из точки О прямую, перпендикулярную OD, а из вершины с прямую, перпендикулярную CD. Пересечение этих прямых определяет вершину d и луч Odv. Зная скорости и Уд двух точек звена CDE, можно определить скорость точки Е, хотя прямая, по которой направлена скорость точки Е, не известна. Вершину е плана скоростей определяем как точку пересечения прямых, проведенных из вершин end перпендикулярно отрезкам СЕ и DE. Проведя из точки О в вершину е луч, получаем Ое = \р. Для звена EF известны модуль и направление скорости у^ и прямая, по которой направлена скорость \р. Для определения скорости точки F из точки О проводим прямую, параллельную траектории точки F, а из вершины е - прямую, перпендикулярную шатуну EF. Пересечение этих прямых определяет вершину / и луч Of = Vp. Измеряя в соответствующем масштабе лучи ОЬ, Ос, Od, Ое-и Of, определяем скорости точек В, С, D, Е и F, которые изображены на рис. 258, б. § 102. Мгновенный центр скоростей 1. Доказательство существования мгновенного центра скоростей Пользуясь теоремой о скоростях точек плоской фигуры, покажем, что в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей. Допустим, что известна скорость некоторой точки О плоской фигуры Уо (рис. 259) и угловая скорость фигуры w в некоторый момент времени. Примем точку О за полюс. Тогда скорость любой точки фигуры будет равна геометрической сумме скорости полюса у^, и вращательной скорости точки вокруг этого полюса (99.1). Восставим в точке О перпендикуляр к направлению скорости у^ так, чтобы направление поворота скорости у^ к этому перпендикуляру совпадало с направлением вращения фигуры. Вращательные скорости всех точек этого перпендикуляра вокруг полюса О направлены противоположно скорости полюса. Найдем такую точку Р, вращательная скорость которой vp равна по модулю скорости полюса Vq. т. е. Vqp = Vq. Так как направления этих скоростей противоположны, то имеем Vop = -Vo Скорость точки Р: Vp = Vo-l-Vop = 0. Следовательно, точка Р в рассматриваемый момент времени является мгновенным центром скоростей. Определим положение точки Р. Вычислив вращательную скорость точки Р вокруг полюса О и приравняв ее скорости полюса, получим  Рис. 259. Следовательно, мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости полюса, на рас- стоянии от полюса, равном 2. Определение скоростей точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей Определим скорости точек А, В п К плоской фигуры (рис. 260), приняв за полюс мгновенный центр скоростей Р. По формуле (99.1) получим: VpA. VpB. V/f = Vp + V Но скорость точки Р в данный момент равна нулю, т. е. Vp = 0. Тогда скорости точек определяются по формулам: Va = VPA- V = v V/f = VpA-, т. е. скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени представляет собой вращательную скорость этой точки вокруг мгновенного центра скоростей; поэтому Va = PA-(o, Vji±PA; Vs = PB.ix>, Vs±PB; г = PA:.(й, Vj(±PK. т. е. скорость любой точки плоской фигуры в каждый момент; времени имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры. Найдем зависимость между скоростями точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени: v PK = pj и т. д..  т. е. модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного Рис. 260. центра скоростей. Чтобы определить скорости точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей, необходимо знать положение мгновенного центра скоростей и угловую-скорость фигуры. 3. Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей 1. Допустим, что известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А н В' (рис. 261). Тогда мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, восставленных в точках А н В. Зная модуль скорости точки А и определив расстояние этой точки от мгновенного центра скоростей РА, находим угловую скорость плоской фигуры  Рис. 261. Модуль скорости точки в можно определить из пропорциональности скоростей точек их расстояниям от мгновенного центра скоростей: откуда или при помощи угловой скорости фигуры Vg = PB О). Скорость любой другой точки плоской фигуры определяется аналогично.    Рис. 262а, б. 2. Если скорости точек Л и В плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точек Л и S (рис. 262, а, б). Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е. v РВ Рис. 262в. Следовательно, концы скоростей точек Л и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный -центр скоростей. Пересечение этой прямой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры. Если скорости точек Л и В плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны АВ (рис. 262в), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = со), а угловая скорость вращения фигуры 3. Если известно, что скорости двух точек А н В плоской фигуры параллельны и они не перпендикулярны АВ (рис. 263), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (ЛР = оо). Очевидно, что и в этом случае = 0. Расстояния от всех точек плоской фигуры до мгновенного центра скоростей в этом случае равны между собой, т. е. АР = ВР= ... =оо. Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент геометрически равны:  Рис. 263.  Уд = Уд = Ус= ... Следует учесть то, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех ее точек в каждый момент также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности. Если условие уд = уд остается справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же v = Vb только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя (рис. 2б8г). 4. На практике часто происходит движение плоской фигуры, при котором она катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой (рис. 264). В этом случае мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится в точке ее соприкасания с кривой. Действительно, при отсутствии скольжения скорость точки соприкасания плоской фигуры по отношению, к неподвижной кривой равна нулю, т. е. эта точка в данный момент является мгновенным центром скоростей. § 103. Примеры на применение мгновенного центра скоростей Пример 68. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу. Скорость центра колеса в рассматриваемый момент времени V(. = 2 м/сек. Рис. 264. Определить скорости точек А, В, D н Е колеса, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 265, а). Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса С (рис. 265, б). Тогда скорость любой точки колеса будет равна геометрической сумме скорости полюса и скорости вращения этой точки вокруг полюса (99.1). Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки А касания колеса с рельсом равна нулю Vj = 0.  Рис. 265. Точка А является мгновенным центром скоростей. В этой точке скорость вращения вокруг полюса у^д и скорость полюса равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. VcA = -Vc- Расстояния от точек А, В, D, Е до полюса С равны. Следовательно, и вращательные скорости точек вокруг полюса тоже равны, т. е. св = Рев = СЯ = СА = с- Откладывая в каждой точке скорость полюса v; и вращательную скорость, перпендикулярную соответствующему радиусу колеса, находим: Vd = сЧ- ср = с + х'с = 2рс = 4 м1сек; v = Y с -Ь 4е = Лг/з, Ч- г/з, = г; /1 = 2 /2 = 2,82 м1сек. 2-й вариант. Примем мгновенный центр скоростей колеса за полюс. Тогда скорости всех точек колеса определятся как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модули скоростей всех точек найдутся по пропорциональности скоростей их расстояниям от мгновенного центра скоростей: Иг Так как PB = PE = R У!. то Ув = Ос рсс V 2 = 2,82 м/сек; % - с -рс == с У 2 = 2>82 м/сек. Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 265, в). Аналогичное распределение скоростей имеет место при качении колеса без скольжения по любой поверхности. Пример 69. Кривошип ос вращается вокруг оси о с угловой скоростью (Oq(. = 5 сек~ и приводит в движение подвижную шестеренку радиусом Г2 = 8 см, насаженную свободно на его конце С. Подвижная шестеренка катится без скольжения внутри неподвижной  7777 Рис. 266а.  шестеренки радиусом = 24 см. Определить модули и направления скоростей точек А, В, D п Е подвижной шестеренки, если BE J AD, а также ее угловую скорость (рис. 266а). Решение. Вторая шестеренка катится по внутренней поверхности первой неподвижной шестеренки без скольжения и мгновенный центр скоростей второй шестеренки находится в точке их соприкасания. Поэтому г'д = 0 (рис. 2666). Зная угловую скорость кривошипа ОС, определим скорость, центра второй шестеренки: Vq = ос (Oqq : (гJ - Г2) (Oqc = 16 5 = 80 см/сек. Соединяя точки В н Е с мгновенным центром скоростей, находим РВ = РЕ = Г2У^- Зная скорость центра второй шестеренки = 80 см/сек и расстояния от точек В, D н Е до мгновенного центра скоростей, опреде- ляем их скорости: г/д = -р^ = У^2 = 113,12 см/сек; PD ре /-- VE - Vc-p = Vcy2 = ll3A2 CMJceK. Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам РВ, PD, РЕ в сторону вращения шестеренки вокруг ее мгновенного центра. Скорость любой точки фигуры равна произведению угловой скорости фигуры на ее расстояние от мгновенного центра скоростей, например, Vc = PC (О. Отсюда определяем угловую скорость второй шестеренки: v 80 =:- = = 10 сек-К Пример 70. Две параллельные рейки движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями Vj и Между рейками зажат диск радиусом R, катящийся по рейкам без скольжения {рис. 267, а). Найти угловую скорость диска и скорость его центра. Решение. Так как диск катится по рейкам без скольжения, то скорости точек диска Mj и равны скоростям движения реек.   Рис. 267. Для определения положения мгновенного центра скоростей диска соединяем концы скоростей точек и (рис. 267,6). Точка пересечения этого отрезка с диаметром диска М-М^ является мгновенным центром скоростей диска в рассматриваемый момент. Определим расстояние от мгновенного центра скоростей Р до центра диска О. Полагая ОР=х, имеем: X (г ! + г/а) = ( i - 2)- Вычисляем угловую скорость диска: Подставляя значение R-\-x, получаем Скорость центра диска определяем по формуле Vi - V2 При Vi = V2 центр диска остается неподвижным и диск вращается вокруг него. Пример 71. Кривошип OA кривошипного механизма вращается вокруг оси О с угловой скоростью од. Принимая ОА = г и ЛВ = /.  Рис. 268а.  <д 777777? Рис. 2686. определить угловую скорость шатуна АВ и скорость ползуна В механизма в тот момент, когда кривошип OA составляет с осью направляющих ползунка угол ср (рис. 268а). Решение. Зная угловую скорость кривошипа и его длину, определим скорость пальца кривошипа А: Уд = ОЛ.(Оод = гшод. Скорость пальца кривошипа А направлена перпендикулярно ОЛ, а скорость ползунка В - по прямой ОВ (рис. 268,). Восставляем в точках А н В перпендикуляры к направлениям их скоростей. Точка пересечения этих перпендикуляров определяет положение мгновенного центра скоростей шатуна Рдд. Вычислим расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей. cos <р al = KB = YaB - ак = yi - г2 sin2 ср. Подставляя значение al, получаем у /2 - sin у Угловая скорость шатуна АВ - iL -. cos tf rcoCOS? Для определения скорости ползуна В найдем Р^ф: РавВ = PabL + LB = РавА sm ср + Л/С = УР-г2 sina ср tg ср + г sin ср. Тогда скорость ползуна В будет равна: Ов = Рав^ ав = {yp - rsin<f tg ср + г sin ср) Sim г sin у COS у у/2 -rsin? oa- Скорость любой точки шатуна АВ можно определить как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей Р^в-Однако вычисление расстояний от точек до мгновенного центра скоростей приводит к громоздким вычислениям. Рис. 268в. Поэтому в практических расчетах расстояния от точек до мгновенного центра скоростей обычно определяют графически по чертежу механизма, выполненному в масштабе. При ср = 0 мгновенный центр скоростей шатуна совпадает с точкой В и скорости всех точек шатуна являются вращательными вокруг точки в (рис. 268в). 1 ... 25 26 27 28 29 30 31 ... 44 |
 |
 |