|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения. Поэтому по ускорению какой-либо точки А вращающегося диска (рис. 225) можно определить графически ускорение любой другой точки В этого диска, лежащей на радиусе АС. При равномерном вращении тела . da О) = const, е = = 0, а поэтому ai = /?e = 0. Таким образом, при равномерном вращении ускорение точки является центростремительным, а его модуль равен: = = /?0)2 В этом случае ускорение w точки М направлено к центу С окружности, описываемой этой точкой. § 93. Примеры на вращательное движение Пример 58. Вращение маховика в период пуска машины определяется уравнением где t - в сек, <р - в рад. Определить модуль и направление ускорения точки, отстоящей от оси врещения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее скорость равна 8 mjcck. Решение. По уравнению вращения маховика находим его угловые скорость и ускорение согласно формулам (91.5) н (91.8): 0> = = *2. = 2t. (a) (6) Пользуясь формулой (92.1), находим момент времени когда скорость точки М равна 8 м/сек: V = Rli>, - -- 16 срк- R - 0,5-  Рис. 226. По этому значению ш из (а) находим ty *, = У^ = УГ6 = 4 сек. По уравнению (б) вычисляем е, а затем по формулам (92.2), (92.3) и (92.4) - модули вращательного, центростремительного и полного ускорений точки М в этот момент времени: е, = 2 4 = 8 сек-2; 1 = /?е, = 0,5 8 = 4 м1сек'; wa=wf = 0,5 162= 128 MjceK. да, = + = /4 + 1282 = 128,06 м/сек'. Как видно, модуль полного ускорения точки весьма мало отличается от модуля центростремительного ускорения точки (рис. 226). Направление ускорения точки определяется углом р, образованным ускорением и радиусом СМ: Пример 59. Груз А, подвешенный к нити АВ, намотанной на барабан, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан. За первые 3 сек барабан совершает 9 оборотов. Определить в конце 5-й сек скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза А, если диаметр барабана D = 30 см (рис. 227а).   V,r, Рис. 227а. Рис. 2276. Решение, Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению (91.13*): Формула угловой скорости имеет вид (91.12*): u) = ( о -\-zt. Для того, чтобы начальное значение угла поворота % обратилось в нуль, следует неподвижную полуплоскость поместить в начальном положении подвижной полуплоскости, вращающейся с барабаном (см. § 91). Выполним это и получим ч^ - О. При вращении из состояния покоя начальная угловая скорость барабана равна нулю u)o = 0. При этих условиях формулы (91.12*) и (91.13*) принимают вид (Ч Y- 2 u) = et. Так как ср=:9 оборотов при t = 2)CeK, то из уравнения (а) определим одинаковое для всех моментов времени угловое ускорение е; £ = - = 2 = 2 об1сек^ = Ак сек~. Из уравнения (б) найдем угловую скорость барабана в конце 5-й сек: t = 5 сек, ( 5 = 47С. 5 = 20тс сек~. Определим в точке В обода барабана (рис. 2276) модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (92.1), (92.2), (92.3): ti5 = /?u)5 = 0,15 . 20u = 3 3,14 = 9,42 mjcck, wl = w = R& = Q,\b 4ii: = 0,6 -3,14= 1,88 л/сел; (модуль вращательного ускорения точки тела при равнопеременном вращении одинаков для всех моментов времени), TO =/?u)2 = 0,15 400ii:2 = 60 9,86 = 591,6 л/сйк^. Модуль полного ускорения точки обода барабана определяется по формуле (92.4): w=Y{tf + {5f=V 1,882-591,62 591,6 MJceK . Вследствие незначительной величины модуля вращательного ускорения по сравнению с модулем центростремительного ускорения, полное ускорение приближенно равно центростремительному. Скорость груза равна скорости точки обода барабана: frps = t)5 = 9,42 Ml сек. Ускорение груза (рис. 2276) равно вращательному ускорению точки обода, т. е. Тогр = да= 1,88 м1сек'. § 94. Векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений Введем понятия векторов угловой скорости ы и углового ускорения S. Условимся откладывать вектор угловой скорости тела ы от любой точки оси вращения, направляя его по этой оси так, чтобы смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки (рис. 228, а и б). Модуль этого вектора дол-Жен равняться абсолютному значению угловой скорости, м = . Принятое правило обусловлено применением правой системы осей координат, которой соответствует положительное направление вращения, противоположное направлению движения часовой стрелки. При Пользовании левой системой вектор ю следует направить так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть вращение тела происходящим в направлении движения часовой стрелки. Векторы, направления которых зависят от принятой системы координат, называются псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, кроме угловой скорости, могут служить также момент силы относительно точки и момент пары сил. При сложении псевдовекторов .действительны правила параллелограмма и многоугольника (§ 129).   Рис. 228. Рис. 229. Вектор углового ускорения е характеризует изменение вектора угловой скорости й) в зависимости от времени, т. е . он должен быть равен производной от вектора угловой скорости по времени е = (94.1) Направление векторной производной совпадает с предельным направлением приращения дифференцируемого вектора (см. примечание. § 78, стр. 190). Так как вектор ta имеет постоянное направление, то направление его приращения Д совпадает с направлением самого вектора w при ускоренном вращении и противоположно ему - при замедленном. Таким образом, направление вектора 8 = - совпадает с направлением вектора о) при ускоренном Рис. 230. вращении и противоположно ему при замедленном (рис. 229, а и б). Модуль вектора е равен абсолютному значению углового уско-dS) -рения, Е= Так кдк точкой приложения векторов мне может быть любая точка оси вращения, то векторы мне являются скользящими. Пользуясь понятием вектора угловой скорости ю, легко получить векторное выражение вращательной скорости.  Изобразим (рис. 230) вектор угловой скорости ю, радиус-вектор г точки М тела относительно произвольной точки О оси вращения и вращательную скорость этой точки v. Модуль вращательной скоростиг г; = Ли = шг sin а, где а - угол между радиусом-вектором г и вектором угловой скорости (j). Модуль векторного произведения w X г: I О) X г 1 = sin а. Сопоставляя значения ti и ] w X г , устанавливаем, что модуль вращательной скорости V равен модулю векторного произведения w X г- Вращательная скорость v направлена перпендикулярно к плоскости треугольника СОМ, т. е. плоскости векторов сомножителей миг; если смотреть навстречу v, можно видеть поворот вектора (j) к вектору г на угол а, соверщающимся* против движения часовой стрелки, т. е. направление вращательной скорости v совпадает с направлением векторного произведения w X г. Следовательно, векторы V и (j) X г имеют равные модули и одинаковое направление, т. е. они равны между собой: vr=wXr. (94.2) Таким образом, вращательная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точки оса вращения. Выражение (94.2) является одним из основных соотношений кинематики твердого тела. Если известны проекции ш^, Му, вектора угловой скорости, направленного по оси вращения тела OA, на оси координат (рис. 231) и координаты некоторой точки М тела х, у, z, то вращательнук> скорость этой точки можно найти при помощи определителя векторного произведения: I j к v = wX г =  X у z = I (Шу2 - ш^у)+j (ш^д: o) ,z)-Ь к (ш у - ШуХ). Отсюда определяются проекции вращательной скорости точки на оси координат: (94.3) Эти формулы получены Эйлером в 1765 г. и называются формулами Эйлера. В случае, если ось вращения тела совпадает с одной из осей координат, например, с осью z, имеем: u) = 0, = 0, = откуда 0. = - &у, г1у = йлг, v - Q. Для получения векторных формул вращательного и центростремительного ускорений продифференцируем по времени выражение  = wX г. Подставляя эти значения, получим Рис. 232. или w = s X г + ю X V w = e X г + о) X (w X г). Покажем, что первое слагаемое s X г есть вращательное ускорение, а второе слагаемое ю X v - центростремительное ускорение. На рис. 232, а показаны направления вращательного ускорения w и центростремительного ускорения w для случая ускоренного вращения, а на рис. 262, б - направления тех же ускорений для с;учая замедленного вращения. Модуль вращательного ускорения (рис. 232, а) w° = bR = гг sin а, где а - угол между радиусом-вектором г и вектором углового ускорения S. Модуль векторного произведения s X е X r =:£rsina. Сопоставляя значения модулей да и sXr. устанавливаем: TO-lsXrl. Вращательное ускорение w направлено перпендикулярно плоскости треугольника СОМ, г. е. плоскости векторов сомножителей S и г; если смотреть навстречу w , то можно видеть поворот вектора s к вектору г на угол а (рис. 232, а) или на угол 180 - а (рис. 232,). совершающимся против движения часовой стрелки, т. е. направление вращательного ускорения совпадает с направланием векторного произведения s X г. Следовательно, w-sXr. (94.4) Таким образом, вращательное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точка оси вращения. Модуль центростремительного ускорения Модуль векторного произведения w X vi j ft) X VI = coti sin (ю, v) = av, так как sin(( ), v)=l при (v + w). Сопоставляя значения модулей w - и ft) X v , устанавливаем: да = I (J) X V . Если мысленно перенести вектор угловой скорости в точку М (рис. 232), то, смотря навстречу центростремительному ускорению w , перпендикулярному плоскости векторов сомножителей w и V, можно видеть поворот вектора ft) к вектору v на угол 90°, совершающимся против движения часовой стрелки, т. е. направление центростремительного ускорения w совпадает с направлением векторного произведения w X v. Следовательно, w =ft)Xv. (94 5) Таким образом, центростремительное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижнойуоси, равно векторному произведению вектора угловой скорости тела на вращательную скорость этой точки. § 95. Передаточные механизмы Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от одного вала, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекаются, то вращение можно передать при помощи фрикционной или зубчатой передач (рис. 233а, б, в). Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы сцепления на поверхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче - от зацепления зубьев.  Вращательная скорость v в точке соприкасания колес относится к точкам обоих колес, т. е. ее модуль определяется V ~ Г1Ю1 = Г2Ю2, Ml Г2 2 г, (95.1) Таким образом, угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес. Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого колеса называется передаточным числом. 1 а>2 (95.2) Передаточное число можно вьг^иcлить как обратное отношение радиусов колес (95.3) Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев: (95.4) При внешнем зацеплении (рис. 233а) направление вращения ведущего и ведомого колес противоположное, а при внутреннем (рис. 2336) - одинаковое. Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача на расстоянии при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 234). Так как скорости всех- точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхности шкива, то к ременной передаче относятся те же соотношения:  (1)2 Применяются также серии колес с неподвижными осями вращения в виде последовательного ряда с паразитными колесами <рис. 235а) и последовательного <рис. 2356), называемые рядовыми соединениями колес. Рис 2336 ряда с кратным зацеплением   Рис. 233в. Определим передаточное число фрикционной передачи в виде рядового соединения с паразитными колесами. Для колес /-2 2 ri Для колес 2-3 3 г, Перемножая левые и правые части, получаем Для зубчатых колес ©3 Передаточное число рядового соединения с паразитными колесами равно отношению радиусов {чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит , от радиусов {чисел зубьев) паразитных колес.   Рис 234. Рис. 235а. Определим передаточное число рядового соединения с кратным зацеплением. Частное передаточное число для колес 1-2 1-2 - - 2 Г, Частное передаточное число для колес 3-4 i --£i 4 Г, Так как колеса 2-3 соединены жестко, т. е. а) = а^, то общее передаточное число равно произведению передаточных чисел: или Для зубчатых колес ri-з (95.5) Таким образом, общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел 1 ... 22 23 24 25 26 27 28 ... 44 |
||||||||||||
 |
 |