|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Угловая скорость шатуна -Ав==-А Скорость точки в При ср = 90° скорости пальца кривошипа Л и ползунка В параллельны, поэтому мгновенный центр скоростей шатуна АВ находится в бесконечности (рис. 268г). В этот у момент все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные Уд, л СОдд=0. Пример 72. Кривошип OA вращается вокруг оси О равномерно с угловой скоростью = 60 об/мин и приводит в движение шатун АВ, соединенный жестко с колесом . Колесо приводит во вращение колесо /, не соединенное с кривошипом, но вращающееся вокруг той же оси О. Радиусы колес: г, = 50 см, г = 20 см. Длина шатуна: АВ=1Ъ0 см. Определить скорость ползунка В, угловую скорость шатуна АВ и угловую скорость колеса / в моменты времени, когда кривошип параллелен и перпендикулярен траектории ползунка В (рис. 269а).  Рис. 268г.  Рис. 269а. Решение. Механизм имеет четыре звена, совершающих различные движения. Кривошип OA и колесо / вращаются вокруг центра О с различными угловыми скоростями; ползунок В движется поступательно, а шатун АВ вместе с колесом совершают плоское движение. а) Кривошип OA параллелен траектории ползунка В <рис. 269, б). Вычисляем вращательную скорость пальца кривошипа Од по угловой скорости кривошипа и направляем ее перпендикулярно к кривошипу оа в сторону его вращения: а = *оА О Л = 2u . 30 = бОп сл/се/с = 188,5 CMJcetc. Находим мгновенный центр скоростей шатуна ав как точку пересечения перпендикуляра к скорости ползунка в и перпендикуляра к скорости точки а, являющегося продолжением отрезка оа.  Рис. 269(J. Определяем расстояния от точек Л, В и С до мгновенного центра скоростей PJв^. PjgB = r, = 50 см; р^а УаВ-- PjgB- = 11302 - 502 = 120 см; Я^дС = РдвЛ - ЛС= 120 -20= 100 см. Скорости всех точек шатуна являются вращательными вокруг мгновенного центра скоростей. Скорость каждой точки равна произведению угловой скорости шатуна на ее расстояние от мгновенного центра скоростей: л лв Рав^ = >Ав Рав^- Vc == oab Рав(- Определяем угловую скорость шатуна ав по известной скорости точки Л: ав - - 120 - * Тсгда скорости точек В и С определяются: Од = --50 =25т^ см/сек = 78,55 см/сек; ©с = 100 = 50ir см1сек= 157,1 см(сек. Скорость Vq является не только скоростою точки С шатуна, по и вращательной скоростью точки обода колеса /, т. е. 50л б) Кривошип OA перпендикулярен траектории ползунка В (рис. 269в).   г7777 Рис. 269в. Перпендикуляры в точках Л и В к скоростям этих точек параллельны. Следовательно, мгновенный центр скоростей шатуна находится в бесконечности, угловая скорость шатуна равна нулю, а скорости всех точек геометрически равны: = 0, с - в - а - CMJceK =188,5 см/сек. Угловая скорость колеса / бОл 5СГ -g- тг сек § 104. Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры (теорема Шаля). Мгновенный центр вращения фигуры Л^гновенный центр скоростей характеризует распределение скоростей точек плоской фигуры в данный момент времени. Докажем теорему, предложенную французским геометром Шалем (1793-1880), о конечном перемещении плоской фигуры: Плоскую фагуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Положим, что отрезок, соединяющий точки Л и В плоской фигуры, занимает на плоскости в два различных момента времени положения АВ и A-Bi (рис. 270). Соединим точки л и Aj, В и jSj и разделим отрезки ЛЛ1 и BBj пополам. Из середин этих отрезков D и Е восставим перпендикуляры к отрезкам и продолжим их до пересечения в точке С. Покажем, что эта точка неподвижной плоскости является центром поворота для данного конечного перемещения плоской фигуры. Соединяя точку С с концами отрезков АВ и Л1В1, получаем два треугольника АСВ и А,СВ,. Эти треугольники равны согласно равенству трех сторон: Л1В1 = ЛВ как отрезки, соединяющие две точки неизменяемой фигуры; AiC = AC и Bfi = BC как расстояния от точек перпендикуляров, восставленных в серединах отрезков до концов этих отрезков. Из равенства треугольников следует, что 1 ACB==/ AfiB,. Отняв от обеих частей этого равенства / AfiB, получим / АСВ -1 AfB = Л1СВ1 - Af.B 1 АСА, = 1 ВСВ, = .  или где ср - абсолютная величина рассматриваемого угла. Таким образом, перемещения двух точек фигуры, а следовательно, и всей плоской фигуры из первого положения во второе, можно осуществить поворотом на угол <р вокруг центра поворота С. Очевидно, что поворот плоской фигуры вокруг найденного центра не отображает действительного движения плоской фигуры, а лишь позволяет переместить эту фигуру из первого положения во второе. Если перпендикуляры, восставленные в серединах отрезков АА и ВВу сливаются (рис. 271), то центр поворота лежит на пересечении продолжений отрезков АВ и Аф   Рис. 271. Рис. 272. На рис. 272 изображено поступательное перемещение плоской фигуры. В этом случае перпендикуляры к отрезкам АА и SBj параллельны и центр поворота находится в бесконечности. Каждым двум положениям плоской фигуры на плоскости соответствует свой центр поворота. Покажем, что предельным положением центра поворота при стремлении времена перемещения плоской фигуры М к нулю является точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент времени совпадает мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Для этого рассмотрим какое-либо перемещение точки А плоской фигуры (рис. 273). Отметим на траектории этой точки положения А и Лр занимаемые точкой в моменты времени t н Соединив точки А и Л1 с центром поворота С, получим равнобедренный треугольник ЛСЛ] с углом при вершине С, равным Дер. Длина хорды ЛЛ, = 2 ЛС sin . Найдем модуль скорости воображаемого равномерного движения точки Л по хорде ЛЛ,:  Рис. 273. V = 2СА sin = СА Д<р Д<р ДГ Для определения истинной скорости точки находим предел v при Д^->0: / д=р V = iim V = urn д^ Обозначим С* предельное положение центра поворота С при Д/->0. Имеем lim -т-= 1 Iim --ш. Модуль скорости точки А в момент t о = СМ - со. Определим также угол, составленный скоростью с отрезком СА, и его предельное значение При Дср->0 и С->С* получим limp = . Этот результат показывает, что скорость v точки А, направленная по касательной к траектории, образует с направлением С*А прямой угол. Кроме того, модуль скорости v точки А равен: V = С*Л - U), т. е. она является вращательной скоростью этой точки вокруг точки С*. Из этого следует, что точка С* есть точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент времени совпадает мгновенный центр скоростей Р. Эту точку называют мгновенным центром вращения фигуры. § 105. Неподвижная и подвижная центроиды. Теорема о качении подвижной центроиды по неподвижной Отметим на неподвижной плоскости положения А^В Аф у^з^з, ... отрезка АВ, определяющего положение плоско( фигуры в моменты времени t, t-\-lt, t-\-2ht, tht, . .. и т. д. (рис. 274). Определим путем построения, указанного в § 104, точки неподвижной плоскости Су С2, Сз и т. д., поворотом вокруг которых можно переместить отрезок АВ из одного положения в другое. Так, из первого положения во второе отрезок АВ можно переместить поворотом на угол Дф, вокруг точки С^, из второго положения в третье - поворотом на угол Афз вокруг точки Cj. из третьего положения в четвертое - поворотом на угол Афз вокруг точки С^ и т. д. Соединив последовательно точки Cj, Cj, С3, С^ и т. д. отрезками, получим ломаную линию С1С2С3С4 . ..-линию центров поворота на неподвижной плоскости. Определим путем построения точки движущейся плоской фигуры, которые при последовательных ее поворотах совпадают с точками Cj, Cj, С3, ... неподвижной плоскости (на рис, 274 рассматриваемая плоская фигура с принадлежащим ей отрезком jBj заштрихована).  Рис. 274 Для определения точки плоской фигуры С^, которая после первого поворота вокруг Cj совпадает с центром следующего поворота С^ неподвижной плоскости, построим отрезок С\С'2=С\С% под углом Дф, к отрезку Cfii отложенным от отрезка Cfii направлении, обратном направлению поворота фигуры вокруг центра Су Для определения точки плоской фигуры Сз, которая после второго поворота вокруг центра С^, совпадает с центром следующего поворота Сз на неподвижной плоскости, отложим 1 C-cid = 1 CiCiCs и построим отрезок С-ъ - С^Сз под углом Д<р2 к прямой Cd, отложенным от прямой в направлении, обратном направленик> поворота фигуры вокруг центра Cj. Путем*аналогичного построения найдем точки С4, С5, ... на движущейся плоской фигуре, которые после третьего, четвертого и т. д. поворотов совпадут с точками C, Cj, ... неподвижной плоскости. Ломаная линия С^С^С^ . ., является линией центров поворота на движущейся плоской фигуре. Эта линия, как показано на рис. 274, неизменно связана с отрезком АВ и движется вместе с ним. Ее верщины последовательно являются центрами поворота при перемещениях отрезка из одного положения в другое. Движение плоской фигуры в виде ряда последовательных поворотов этой фигуры вокруг соответствующих центров поворота Cj, С^, С3, С4 . .. сопровождается качением линии С1С2С3С4 по неподвижной линии С1С2С3С4. Так как длины линий С1С2С3С4 и С1С2С3С4 равны, то это качение происходит без скольжения. Предельными положениями центров поворота С С^, С^, ...   Рис. 275. являются мгновенные центры вращения плоской фигуры. Поэтому в пределе ломаная линия CiCCC ... обращается в кривую. Эта кривая представляет собой геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости и называется неподвижной центроидой. Линия С1С2С3С4 также обращается в кривую, представляющую собой геометрическое место мгновенных центров скоростей на движущейся фигуре. Эта кривая неизменно связана с плоской фигурой (с отрезком АВ) и движется вместе С ней. Она называется подвижной центроидой. Таким образом, при движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центроида MN катится без скольжения по неподвижной центроиде KL (рис, 275). Точка соприкасания подвижной центроиды с неподвижной центроидой является в данный момент времени мгновенным центром скоростей. Это положение представляет собой теорему Пуансо о качении подвижной центроиды по неподвижной, которая имеет следующую формулировку: При действительном движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде. Теорема Пуансо иллюстрируется качением колеса по рельсу без скольжения (рис. 276). В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке соприкасания колеса и рельса; неподвижной цен-троидой является прямая KL, а подвижной - окружность. Рассмотрим диск радиусом R, катящийся без скольжения между двумя параллельными рейками, которые движутся в противоположные стороны со скоростями ViHV2(pHC. 277, а). Неподвижной цен-троидой диска является прямая KL, параллельная рейкам и отстоящая от центра диска на расстоянии ОР = ~ /? (пример 70), а подвижной центроидой является окружность такого же радиуса.  Рис. 277. Заданное движение диска можно осуществить качением без скольжения валика радиусом ОР по неподвижной горизонтальной линейке KL (рис. 277, б). Теорию центроид можно использовать для получения эквивалентного движения плоской фигуры при другом устройстве механизма, практически более удобном. § 106. Уравнения неподвижной и подвижной центроид Неподвижная центроида является геометрическим местом мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости. Поэтому для получения уравнений неподвижной центроиды в неподвижной системе осей ?(?,7] следует найти выражения проекций скорости точки плоской фигуры на оси ? и т] и приравнять их нулю (рис. 278). Скорость любой точки М плоской фигуры определяется выражением (99.2) , v==Vo-f О) X г. где Vq - скорость полюса О; ш - угловая скорость плоской фигуры; г - радиус-вектор точки М относительно полюса О. Проведем через полюс О систему подвижных осей д: и у, неизменно связанных с движущейся плоской фигурой. Обозначим координаты точки М плоской фигуры в неподвижной системе осей и , а в подвижной системе-х и у. Угол, характеризующий вращательную часть движения плоской фигуры, обозначим ср, а координаты полюса О в неподвижной системе осей lo- Проекции радиуса-вектора г на оси Е и т| соответственно равны Е - q и 7) - TJQ. Вектор угловой скорости вращения плоской фигуры ш перпендикулярен плоскости этой фигуры; поэтому определитель векторного произведения ft) X г, выраженный через проек-  Рис. 278. неподвижные оси, имеет вид W X г = = ij-a(7-.)o)]+jj[ue-y]. ции векторов сомножителей на - - (103.1) где 1], jj, к]-орты неподвижной системы осей I, т;, С. а й-ал1е-браическая величина угловой скорости плоской фигуры. Проекции скорости любой точки М плоской фигуры на неподвижные оси на основании (99.2) и (106.1) определятся так: (7 - 7о) О) = - (7 - 7о) <й. -(Н -У Й- (106.2) Обозначив Ер и Tjp, координаты мгновенного центра скоростей в неподвижной системе осей, являющиеся в то же время координатами мгновенного центра вращения плоской фигуры, определим проекции его скорости на оси ? и tj и приравняем их нулю; Vp = 0 и Vp =0. 1 ... 26 27 28 29 30 31 32 ... 44 |
 |
 |