|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы На ocHoeaFiHH (106.2) получим (Tip -71о)<й =0, откуда найдем dt dt (106 3) Уравнения (106.3) являются уравнениями непод8ижно11 центроиды в параметрической форме в неподвижной системе осей координат. Для получения уравнений подвижной центроиды в подвижной системе осей хОу следует найти выражение проекций скорости точки П.10СК0Й фигуры на оси х и у и приравнять их нулю. Разложив вектор скорости полюса \д по направлениям неподвижных осей на две составляющие vc и Vg, представим вектор скорости точки М в следующем виде: v = voe+vo+w X г. (106.4) Так как проекции радиуса-вектора г на оси л; и у соответственно равны л; и у, а вектор угловой скорости вращения плоской фигуры перпендикулярен плоскости этой фигуры, то определитель векторного произведения w X г, выраженный через проекции векторов сомножителей на неподвижные оси, имеет вид W X г-= i j к о о ш X у о = i(-(By)-f jux, (106.5) где i, j, к - орты подвижной системы осей х, у, z. Тогда проекции скорости точки М на подвижные оси на основании (106.4) и (106.5) определятся так: где лг = os COS ср + г^о^ Sin ср - йу, Уу = - sin ср -f cos ср + их. (106.6) d ~ dt Обозначив координаты мгновенного центра скоростей в подвижной системе осей Хр и ур, определим проекции скорости мгновенного центра скоростей на оси х и у и приравняем их нулю: Vpx = 0 и Vpy = 0. На оснований (106.6) получим: f coscp-f-- ° откуда найдем: 5>Ур = 0; со8<р + (од:;, = 0. sin ср--# cos cos ср ncp). (106.7) Уравнения (106.7) являются уравнениями подвижной центроиды в параметрической форме в подвижной системе осей, неизменно связанной с движущейся плоской фигурой. § 107. Примеры нахождения центроид Пример 73. Рассмотрим центроиды линейки эллипсографа (рис. 279). Линейка АВ скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым EF и KN. Мгновенный центр скоростей этой линейки находится в точке Р пересечения перпендикуляров, восставленных в точках Л и В к направлениям скоростей этих точек, т. е. к направлениям прямых EF и KN. Так как ОР = АВ при всех положениях линейки, т. е. расстояние от мгновенного центра скоростей до точки О постоянно, то неподвижной центроидой является окружность, описанная из точки О, радиусом, равным длине линейки. По отношению к подвижной плоскости точка Р всегда будет в вершине прямого угла АРВу опирающегося на линейку АВ. Так как геометрическим местом вершин прямых углов, опирающихся на отрезок, является окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре, то подвижной центроидой линейки АВ является окружность, диаметром которой является отрезок АВ. Таким образом, радиус окружности, представляющей подвижную центроиду, вдвое меньше радиуса окружности, представляющей неподвижную центроиду.  Центроиды линейки эллипсографа были установлены итальянским математиком Карданом, по имени которого они называются карда-новыми окружностями. Следовательно, движение линейки эллипсографа можно получить как движение диаметра круга, катящегося без скольжения внутри другого .круга, радиус которого в два раза больше (рис. 280). При этом точки А ш В малой кардановой окружности движутся по диаметрам большой кардановой окружности, т. е. так же, как двигались точки линейки АВ. Любая другая точка, лежащая на малой кардановой окружности, например точка D, также движется по соответствующему диаметру большой кардановой окружности. Любая точка М катящегося круга описывает эллипс с полуосями ОТ/ а = ВМ и Ь = АМ, а точка С описывает окружность радиусом ОС.   Рис. 280. Рис. 281. Это движение можно осуществить при помощи рукоятки ОС, соединенной шарнирно с центром катящегося колеса. Найдем уравнения неподвижной и подвижной центроид эллипсографа. За неподвижные оси примем оси £ и т), по которым скользят концы отрезка OA = 21. Приняв точку О за начало координат подвижной системы, направим ось х перпендикулярно отрезку АО, а ось у - вдоль него (рис. 281). Уравнения неподвижной центроиды в неподвижной системе осей имеют вид (106.3): <р - ю--~ о . 1 rfe В рассматриваемом примере имеем: 0 = 0; т|о - О Л cos ср = 2/cos ср. = 0; = - 2/ sin ср = - 2; sm ср . ш. Подставляя эти значения в уравнения (106.3), находим: 5p=2Zsin(p, 7;р=г 2Zcoscp. Исключая ср, получаем выражение + = 4/2, которое является уравнением окружности радиусом/?= 2/ с центром в начале координат, т. е. в точке О,. Уравнения подвижной центроиды (106.7) имеют вид 0 lo sin ср--- COS ср ш \ rfi dt dl di) Подставляя в эти уравнения значения и , получаем: Хр = 11 sin ср cos ср = / sin 2(р, Ур = - 11 sin ср = - / (1 - cos 2ср) или Xp = fsin2cp, yp-(-/ = Zcos 2ср. Исключая из этих уравнений ср, получаем Это выражение есть уравнение окружности радиусом г = 1 с центром в точке С, координаты которой у, = -/. Пример 74. Найти неподвижную и подвижную центроиды звена ВС антипараллелограмма, поставленного на менъшее звено AD, полагая AB = DC = 2a, BC = AD = 2c и а>с (рис. 282, с). Решение. Звено АВ вращается вокруг точки А, ско-fo:Tb Vg точки В перпендикулярна АВ. Звено DC вращается вокруг точки D, скорость Vc точки С перпендикулярна к DC (рис. 282, б). Мгновенный центр скоростей звена ВС лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям точек iS и С т. е. в точке Р. Соединяя точки А и С, устанавливаем, что Д ABC = Д ADC. а следовательно, j/ ABC = / ADC. Кроме того, имеем: / APD = / ВРС (вертикальные углы) и AD = BC (по условию). Поэтому AAPD=lBPC, откуда следует, что следовательно. АР = РС и PD = РВ, AP-+-PD = AP-\-PB=2a, СР-\-РВ = СР -\-PD = 2a. (1) (2) Равенство (1) показывает, что сумма расстояний до мгновенного центра Р от двух неподвижных точек Л и D есть постоянная величина.  Рис. 282. Это означает, что неподвижной центроидой звена ВС антипараллелограмма является эллипс с фокусами в точках Л и D, с большой полуосью а и малой b = У- с^. Сумма расстояний до мгновенного центра скоростей от двух точек плоской фигуры (звена ВС), как видно из равенства (2) есть тоже постоянная величина. Поэтому подвижной центроидой является также эллипс с полуосями той же величины и фокусами в точках В и С. § 108. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия В § 98 показано, что движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения фигуры вместе с полюсом и ее вращения вокруг полюса. Ускорения точек плоской фигуры определяются следующей теоремой: Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса. Для установления этой зависимости допустим, что известно ускорение Wo некоторой точки О плоской фигуры и алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры ) и е, т. е. кроме модулей не известны направление вращения плоской фигуры в данный момент времени и характер ее вращения (ускоренное вращение или замедленное).  Рис. 283. Положим, что в данный момент времени фигура вращается ускоренно в сторону, противоположную движению часовой стрелки (рис. 283). Так как вращение фигуры ускоренное, то направим s в сторону (О (рис. 245). Определим ускорение любой точки А фигуры, приняв точку О за полюс. Воспользуемся теоремой о скоростях точек плоской фигуры; на основании (99.2) имеем Va = Vo + X Гол- Ускорение точки А найдем как векторную производную по времени от скорости этой точки: Так как dt dt d(o dr.. имеем dr.. *л = Wo+ s X Гол + w X VoA- Здесь е X г^д = - вращательное ускорение точки А во вращении вокруг полюса О, wXVq = w - центростремительное ускорение точки А во вращении вокруг полюса О. Поэтому w = Wo + w -bw a. (108.1) Но геометрическая сумма вращательного и центростремительного ускорений \кгд и w является полным ускорением точки А во вращении вокруг полюса О Окончательно получаем *л = *о + *ол- (108-2) По формулам § 92 имеем wlj = OA-e, д = (1)2; ОА = V<A + <А = OA Y-\- >4- <л При ускоренном вращении вращательное ускорение чуд направлено по отношению к полюсу в сторону вращения плоской фигуры, а при замедленном вращении - противоположно, т. е. направление по отношению к полюсу всегда соответствует направлению углового ускорения Е. Ускорение точки А плоской фигуры определяется путем построения многоугольника ускорений. На рис. 283 построен прямоугольник, определяющий ускорение точки Л в ее вращательном движении вокруг полюса О: *0Л ~ *0Л + *0Л' а затем находится ускорение точки Шд как диагональ параллелограмма ускорений, сторонами которого служат ускорение полюса vIq и ускорение точки во вращательном движении вокруг полюса Шдд. Следствие 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось. Если известно ускорение полюса О, ускорение точки Л плоской фигуры определяется по формуле (108.1): *л = *о + *ол + *л- Сложим Wq, w и wg по правилу многоугольника, тогда будет замыкающей стороной многоугольника ускорений (рис. 284).  Рис. 284. Проведем из полюса О через точку А ось х и спроектируем все эти векторы на эту ось: Проекция центростремительного ускорения на ось х всегда отрицательна, так как это ускорение направлено от точки А к полюсу О, т. е. противоположно направлению оси х\ Проекция вращательного ускорения на ось х равна нулю, так как это ускорение всегда перпендикулярно оси х\ На этом основании находим л < о в этом заключается первое следствие теоремы об ускорениях точек плоской фигуры. Примечание. Проекции ускорений на ось, направленную из полюса, могут иметь знаки плюс и минус. Из следствия вытекает, что алгебраическая величина проекции Wa меньше iOj. а абсолютное значение Ia может и превышать о^ при большой величине центростремительного ускорения ;д. Проекции ускорений точки А и полюса О на ось х равны в том случае, если да д = ОЛ == О, т. е. при (fl = 0. Проведем через конец ускорения полюса Wq, отложенного в точке Л, прямую, перпендикулярную оси х. Эта прямая представляет собой годограф возможных ускорений точек плоской фигуры при дад = 0, т. е. при ш=:0 и является границей, за которую не могут выходить концы возможных ускорений точки Л. Действительно, если iwg = 0, то конец ускорения Wa обязательно находится на этой прямой, а если twj Ф О, то конец ускорения Шд находится с той стороны этой прямой, где расположен полюс. Следствие 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками. Зная ускорение Шд точки Л отрезка АВ, алгебраические величины угловой скорости ш и углового уско- А, рения S, определим ускоре- щ / цг ние точки В отрезка, приняв точку Л за полюс:
Wb = Wa4-w в Рис. 285. Построим в точке В ускорение полюса Шд (рис. 285). Положим, что отрезок вращается ускоренно в направлении обратном направлению движения часовой стрелки. Из конца ускорения Шд отложим ускорение Wjg под углом р = arctgк отрезку А^Ь, равно.му и параллельному отрезку АВ. Соединив точку В с концом wg, получаем ускорение точки В. Для определения ускорения какой-либо другой точки отрезка, например точки D, выполним аналогичное построение. Очевидно, что ускорение Шдд составляет с отрезком Л16 тот же угол р. Ускорения точек В н D отрезка в их вращательном движении вокруг полюса Л пропорциональны расстояниям этих точек от полюса: rfDj = дадо = AD /62+0)4. ЬВу = Оддд = АВ Y~+-  Поэтому ~ = О AD==A,d и АВ = А,Ь как противоположные стороны параллелограммов. Тогда dP, Aid bBi ~ Alb Таким образом, /S ADid оо/\ Аф,Ь. Из подобия треугольников следует, что: 1) концы ускорений - точки А и В, лежат на одной прямой; )-\As£l-Al£ i4Di AD AiDi AD > Л,В, - Alb ТТеГ AB D,B, ~ DB Последнее соотношение показывает, что концы ускорений точек неизменяемого отрезка делят прамую, соединяющую эти концы, на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками. Поэтому, зная ускорения и концов отрезка АВ, можно определить графически ускорение любой точки этого отрезка. Допустим, что требуется определить ускорения точек D, С п Е, делящих отрезок на четыре равные части (рис. 286). Соединяем концы ускоре-Рис. 286. нии точек А и В, отложенных в мас- штабе, отрезком прямой Аф, и делим этот отрезок точками Dj, Cj и Е, на четыре равные части. Соединяя точки D и Dp С и С £ и Е получаем ускорения этих точек Wfl, Wc и W£. Пользуясь масштабом, находим их модули и по чертежу рпределяем их направления. Пример 76. Концы бруска АВ длиной 1=1 м, движущегося в вертикальной плоскости, скользят по горизонтальной и наклонной плоскостям, образующим угол, равный 120°. В момент, когда ось бруска образует с горизонталью угол <р=30°, конец В имеет скорость Vg = 50 CMJceK и ускорение Wg = 20 CMJceK, направленные по наклонной плоскости вверх. Определить в этот момент скорость и ускорение конца А,. а также угловое ускорение е бруска АВ (рис. 287, а). Решение. Конец А бруска движется по прямой, следовательно, его ускорение направлено по этой прямой. Таким образом, в задаче известны: 1) модуль и направление ускорения одной точки отрезка В; 2) прямая, по которой направлено ускорение другой его точки А. Кроме того, по заданной скорости точки В можно определить угловую скорость (1) отрезка, найдя его мгновенный центр скоростей. Находим мгновенный центр скоростей Р отрезка, восставляя в точках А п В перпендикуляры к направлениям скоростей этих. 1 ... 27 28 29 30 31 32 33 ... 44 |
 |
 |