|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы § 70. Определение положения центра тяжести плоской фигуры по центрам тяжести ее частей. Способ отрицательных площадей Пусть требуется определить положение центра тяжести некоторой плоской фигуры, состоящей из трех частей, положение центров тяжести которых известно (рис. 149). Положим, что площади частей фигуры соответственно равны F, Р3. а координаты их центров тяжести С Cj и С3 будут Xj, У  P c. 149. Рис. 150. У], Xj, У2 и Х3, Уз. Статические моменты площади плоской фигуры относительно осей координат равны суммам статических моментов площадей отдельных ее частей, которые можно определить по формулам (67.2): Sy = /jXi-j- f jXj-f- P3X3, Определив статические моменты Sy и плоской фигуры, можно найти координаты ее центра тяжести С по формулам (67.3): Хг-е- и у^ = Подставив значения статических моментов, получаем: у,= ЛУ.+,/-У2 + /-зУз (701) Этот способ удобно применять и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис. 150). Зная величину Р. площади фигуры с контуром А и координаты Xj и У1 ее центра тяжести Cj, а также площадь F части, вырезанной по контуру В, и координаты х^ и Уз ее центра тяжести Cg, можно вычислить координаты центра тяжести оставшейся части фигуры по формулам, аналогичным формулам (70.1). При этом площадь оставшейся части должна быть равна разности площадей Fl и f2 статические моменты - разности статических моментов площадей фигур А и В. Тогда F,-F, (70.2) Этот способ определения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть, называется способом отрицательных площадей. Аналогичный прием, называемый способом отрицательных объемов, применяется при вычислении координат центра тяжести однородного тела, полученного вырезанием из тела объемом v с центром тяжести Cj(Xj, у\, z, части объемом v, с центром тяжести С2(Х2, 2)- Тогда - iXl-VjXi . tiyi - 2У2 . , tii - VjZj ---.-. 2 -- Vi - Vi .. (70.3) § 71. Определение положения центра тяжести плоской фигуры путем применения веревочного многоугольника Если плоскую фигуру можно разбить на несколько частей, положения центров тяжести которых известны, то положение центра  Рис. 151. тяжести этой фигуры можно найти графически, по методу веревочного многоугольника. На рис. 151, а показана плоская фигура, которую можно разбить на три прямоугольника с центрами тяжести Cj, и С^. В центрах тяжести прямоугольников приложим параллельные силы Fj, Fj и F3, модули которых пропорциональны соответствующим площадям. Определим центр этих параллельных сил. Этот центр лежит на линии действия равнодействующих заданных сил. Построим линию действия / - / равнодействующей сил F Fa и F3 при помощи веревочного многоугольника. Воспользуемся тем, что положение центра параллельных сил не изменяется при повороте всех сил на один и тот же угол. Повернем все силы на угол 90°. Многоугольник сил, соответствующий новому положению сил Fj, Fg и F3, строить не будем. Проведем стороны веревочного многоугольника О' - 1, 1--2, 2 - 3, 3 - О' не параллельно, а перпендикулярно лучам О-/, 1 - 2,2 - 3,3 - О (рис. 151, а, б) и найдем линию действия равнодействующей повернутых сил - . Точка С пересечения линий / - / и Я - II является искомым центром тяжести заданной плоской фигуры. § 72. Центры тяжести некоторых линий, плоских фигур и тел 1. Центр тяжести площади треугольника Разбивая площадь треугольника на ряд узких полосок, параллельных одной из сторон треугольника, убеждаемся, что центры тяжести всех этих полосок лежат на медиане треугольника (рис. 152). Из этого следует, что центр тя-жести С площади треугольника находится на этой медиане, а еле- довательно, и на других медиа- х;:: нах, т. е. в точке пересечения /V его медиан и СК = -j ВК Рис. 152. 2. Центр тяжести площади трапеции Обозначим параллельные стороны трапеции АЕ = а, BD = b, а высоту трапеции h (рис. 153). Центр тяжести площади трапеции должен лежать на прямой FK, соединяющей середины параллельных сторон трапеции. Эта прямая является линией центров тяжести полосок бесконечно малой ширины, параллельных основаниям трапеции, на которые можно разбить площадь трапеции. Для определения координаты центра тяжести площади трапеции разобьем трапецию на два треугольника ABE и EBD, площади и координаты центров тяжести которых соответственно равны: ah bh h 2 , Центр тяжести площади трапеции дблжен находиться на прямой CjCg. соединяющей центры тяжести рассматриваемых треугольников. Из этого следует, что центр тяжести площади трапеции находится в точке пересечения прямых FK и C-fi. Координату центра тяжести площади трапеции определяем по формуле (70.1): ah h .bh 2 о с -г -о~ о ah , bh 0 + 0 й(д + 2 ) ~ 3 (о + 6) (72.1) Центр тяжести площади трапеции можно построить и графическим способом. Для этого отложим на продолжении стороны BD  отрезок DL - a и на продолжении стороны АЕ отрезок AN = b (рис. 154). Соединим точки N п L прямой. Покажем, что точка С В F п  пересечения прямых NL и FK является центром тяжести площади трапеции. Опустим из точки С на прямую АЕ перпендикуляр CJ и определим его длину. Действительно, CJ=h Из подобия треугольников NCK и LCF имеем СК CF По свойству пропорции: СК СК + СР LA 3 , 3 , CK = iCK + CF) 3 I 3 , или -- 3(й+6) Ж -(а +йГ~-Не- полученный результат показывает, что точка С действительно является центром тяжести площади трапеции. 3. Центр тяжести дуги окружности Возьмем дугу АВ окружности радиусом R с центральным углом 2а (рис. 155). Так как ось х является осью симметрии этой дуги, то центр тяжести дуги лежит на этой оси и положение его определяется только координатой х^. хс = -г- Длина дуги L = /?2a, где 2а - центральный угол в радианах. Разбиваем всю дугу на бесконечно малые элементы длиной Mi и вычисляем координату х^: 2R sin а 2Ra Окончательно получаем x,=R, (72.2) где а - половина центрального угла в радианах. Так как sin а < а, то центр тяжести дуги лежит внутри сектора АОВ. 4. Центр тяжести площади сектора круга Разбиваем сектор круга, соответствующий центральному углу 2а, на бесчисленное множество элементарных секторов (рис. 156). Каждый элементарный сектор можно рассматривать как треугольник высотой R и основанием РДт, центр тяжести которого нахо-2 дится на расстоянии R от центра круга.   Рис. 155. Рис. 156. Очевидно, что центр тяжести площади сектора АОВ совпадает с центром тяжести дуги окружности радиусом r = -R. о По формуле (72.2), получим хс = г- или Xc = R. (72.3) 5. Центр тяжести объема четырехгранной пирамиды Разобьем пирамиду плоскостями, параллельными основанию ABD, на бесчисленное множество тонких треугольных пластинок (рис. 157). Центры тяжести этих пластинок лежат на прямой ЕК, соединяющей вершину Е пирамиды с центром тяжести К ее основания. Очевидно, что центр тяжести объема пирамиды должен лежать на этой же прямой. Аналогично, центр тяжести объема пирамиды должен лежать и на прямой AL, соединяющей вершину А пирамиды с центром тяжести L грани BED. Следовательно, центр тяжести объема пирамиды находится в точке С пересечения прямых ЕК и AL. Так как KF=AF и LF = jEF, то КЦАЕ и KLjAE.  Из этого следует, что ААСЕ со AKCL, а потому EK = EC-i-CK = 4CK, CK = i-EK. 4 Таким образом, центр тяжести объема четырехгранной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжестиЪснования, на расстоянии одной четверти длины этого отрезка от центра тяжести основания. Если из центра тяжести объема пирамиды опустить перпендикуляр на основание, то длина его составит одну четверть высоты пирамиды.   Рис. 158. Рис. 159. Полученный результат можно применить и к многогранной пирамиде (рис. 158), так как ее можно разбить на четырехгранные пирамиды, разбив многоугольник ее основания на треугольники. Так как конус представляет собой предел многогранной пирамиды, то расстояние от центра тяжести его объема до основания составляет одну четверть его высоты (рис. 159). § 73. Примеры на определение положения центра тяжести Пример 40. Навес представляет собой жесткую прямоугольную плиту ABDE, поддерживаемую шестью брусками постоянного сечения, расположенными вдоль ребер и диагоналей граней прямоугольного параллелепипеда. Вес плиты 07 = 4 кн; веса брусков: Gi=O5=0,5 кн; Оз = 0,3 кн; O2 = Og = 0,4 кн; 04 = 0,6 кн. Расстояния: а = 6 м; Ь = А м; c = i м. Определить положение центра тяжести всей конструкции (рис. 160а).  Рис. 160а. Решение. Определяе.ч координаты центра тяжести конструкции по формулам (66.1): а Ус- о Проводим оси координат и указываем на схеме (рис. 1606) заданную систему сил тяжести, прикладывая веса брусков постоянного сечения в их серединах, а вес плиты, конструкция которой предполагается симметричной, в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABDE. Выписываем значения каждой силы тяжести и координат ее точки приложения (О; выражены в кн; Хр у - в м): 4 = 1,5 4 = ..5 4=1.5 4=1.5 4=1.5 .с = 3. Zc =
Для вычисления координат центра тяжести конструкции составляем таблицу (табл. 4). Вписываем в таблицу веса элементов О; и координаты х^, у Zi точек приложения этих сил, а затем вычисляем произведения 0,Х;, 0,у; и QiZi- Таблица 4
 Рис. 1606. Суммируя числа соответствующих столбцов таблицы, находим числитель и знаменатель выражений, определяющих координаты центра тяжести системы: 20(=: 6,7 л;и, 2 19.2 20;У;= 11,6 ки л, 20,-2j= 16,05 кн м. Вычисляем координаты центра тяжести системы: 10 о Хс = - = 2,87 л; 11,6 , - 6,7 16,05 = 2,40 м. По найденным координатам строим центр тяжести конструкции на рис. 1606. Пример 41. Определить положение центра тяжести тела, состоящего из колонны и фундамента с общей осью симметрии, изго- товленн^х из одного материала. Высота колонны Н=Л м, глубина фундамента h = 2 м. Диаметр колонны D = 0,5 м, ширина квадратного в плане фундамента а=\ м (рис. 161а). Решение. Центр тяжести однородного тела, имеющего ось симметрии, лежит на этой оси. Принимаем эту ось за ось z, начало координат выбираем в точке пересечения диагоналей основания (рис. 1616). Разбиваем тело на две части: прямоугольный параллелепипед и цилиндр. Центры тяжести этих частей Cj и Cj совпадают с серединами высот этих тел. Определяем координату центра тяжести однородного тела по формуле (66.2):  Рис. 161а. Рис. 1616. 1 + Объем прямоугольного параллелепипеда г , = a?h\ координата его h центра тяжести = -g-. Объем цилиндра г>2== Н\ координата его центра тяжести Z2 = h-i--K-. 1 ... 14 15 16 17 18 19 20 ... 44 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |