|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Вычисляем главные моменты данной системы сил относительно координатных осей Л1 = -Рз* = -150 н-см, Л[у = Р,с = 160 н-см, M = P2a = 20Q и см Очевидно, главный момент системы сил относительно начала ко- Мх-\-Му-\-Mz не равен нулю Чтобы установить, к чему приводится! система сил - к равнодействующей или к динаме, определяем наименьший главный момент системы сил XM+YMy + ZM -4.150 4-10.160 - 5.200 =--==--= 0. Равенство числителя нулю есть аналитическое условие существования равнодействующей. Поэтому рассматриваемая система сил приводится к равнодействующей силе: = 11,87 и. Определяем ее линию действия по уравнениям (59 2), пользуясь найденными проекциями равнодействующей Л , К, Z и главными моментами системы сил относительно осей координат М^, My, М;. M = yZ - zY, -150 = -5у-IO2; у+ 22 = 30; (1) My = zX - xZ, 160 = 42+5л:; 5л: + 42: = 160, (2) М, = хГ - уХ; 200= 10л: -4у; 5л: -2у = 100. (3) Так как линии в пространстве соответствуют два уравнения с тремя переменными координатами, то из трех уравнений независимыми являются только два Действительно, вычитая уравнение (3) из уравнения (2) и деля полученное уравнение на два, получаем уравнение (1). Координаты точки Л пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью zOx, определяем из уравнений (3) и (1) при У1 = 0: yj = 0, Xi = 20 см, 21=15 см. Координаты точки А2, пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью хОу, определяем из уравнений (2) и (1) при 2 = 0. г'2 = 0, л:2 = 32 см, У2 = 30 см. Линия действия равнодействующей силы показана на рис. 129. Сила R направлена по этой линии соответственно найденны.ч выше косинусам углов. Пример 34. В вершинах пирамиды, ребра которой OA = 63 см, ОВ = 45 см и 0D = 60 см взаимно перпендикулярны, приложены силы Pj = 21 , Р2 = 29 и, Рз=25 и и Р4=15 и (рис. 130). Требуется привести эту систему сил к простейшему виду.   Рис. 129. Рис. 130. Решение. Предварительно находим: 63 63 21 cos а = -7-7 = DA /602 + 63* 87 w zi . r-.-5- 20 7 ==95; sina = y 1 - cos2a==sg; cos a = 45 3i p y, eos2p = l. DB /602 + 452 75 5 Определяем модуль и направление главного вектора системы сил JTO его проекциям на координатные оси: А' = Р, cos .P4Z=25.-J -15==0, 21 К = - Pi - Pg cos а = - 21 - 29 i = -42 , Z = P2slna -РзЗшЭ = 29 . - 25-j = 0, откуда /?* = yA:2+K2+-Z2 = 42 и; cos(R*, i) = 0; cos(R*, j) = -I; cos(R*, k) = 0.  Рис. 131. Прикладываем к точке О главный вектор R*, направляя его противоположно оси у (рис. 131). Определяем главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей: = Pgt/g = Pg. ОЛз1па==29 63 == 1260 н-см; My = Pd = Р3 OB sin р = 25 45 . -i = 900 и см, Л1, = 0. Так как Ж^ = 0, то главный момент заданных сил относительно начала координат лежит в плоскости хОу и не перпендикулярен главному вектору R*, лежащему на оси у. Следовательно, заданные силы приводятся к динаме. Mj. и My главного мо- Откладывая на осях хну проекции мента JAq, получаем его компоненты М* и М' по направлениям глав ного вектора и перпендикуляра к нему (§ 57). Модули этих компо нентов равны: IМ* I = I Жу 1 = 900 я-см; М' = Ж^= 1260 н-см. Находим плечо пары R*, R с моментом М': d = OC = % = 1260 42 = 30 см. Прикладываем силы пары R* и R в точках О и С плоскости yOz. Исключая уравновешивающиеся силы R* и R в точке О и перенося М* из точки О в точку С, получаем R* и М*, т. е. динаму, в точке С. Пример 35. Привести к простейшему виду систему сил, изображенных нарис. 132, если Р^ = 2 н, Р2 = 5 и, Рз=14 и, а размеры прямоугольного параллелепипеда а = 2 см, Ь = 4 см, с = 3 см.  Рис. 132. Если силы приводятся к динаме, то найти уравнения центральной оси и координаты точек пересечения ее с плоскостями zOx и хОу. Решение. Определяем модуль и направление главного вектора системы сил по его проекциям на координатные оси: Х = Р2 = 5 н; К = -Яз = -14 н; Z = P = 2 н; 15 и; R* = Y X-\-Y-\-Z-i = У 52+ 142+ 22 cos(R*, i) L-l-L. cosfR* j) = Jl- li- cos(R*, k) = -: 2 15 Так как R* Ф 0, то силы приводятся к равнодействующей или к динаме. Вычисляем главные моменты сил относительно координатных осей: My М, .р„с = Ъ- 3= 15 я-см; : -Рг -/зй = -5 4 -14 . 2 = -48 н-см. Чтобы узнать, к чему приводятся силы, находим наименьший главный момент: -14.15 - 2-48 306 -15-= --15-= -20,4 ..Д..  iir .. -Хиенграпшй ось Й2(2А2,зм,0} У системы сип Рис. 133. Так как М* Ф О, то силы приводятся к динаме. Определяем положение центральной оси в пространстве двумя уравнениями (59.1): Mx - (yZ - zY) jVf. - 2у - 14г 20,4 5 ~ 1) откуда 2) откуда My - {zX - xZ) 2y+142=-6,8. М* 15 -52-f2jt: -20,4 - 14 2х -52 = 4.04. Координаты точки А.- пересечения центральной осью плоскости zOx находим при У1 = 0 из этих уравнений: yj = 0; Xi = 3.23 см; = 0,486 см. Координаты точки А^ пересечения центральной осью плоскости хОу находим из этих уравнений при 22 = 0: 22 = 0; 2 = 2,02 см; У2 = 3.4 см. Так как М* < 0. то наименьший главный момент рассматриваемой системы сил М* направлен по центральной оси противоположно главному вектору R* (рис. 133), направление которого установлено найденными выше косинусами углов. § 62. Условия равновесия сил, приложенных к несвободному твердому телу. Определение реакций опор Согласно принципу освобождаемости от связей, несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций связей. Для системы взаимно уравновешивающихся задаваемых сил и реакций связей, приложенных к твердому телу и произвольно расположенных в пространстве, можно составить шесть уравнений равновесия. Из этих уравнений определяются реакции опор и устанавливаются условия равновесия задаваемых сил, приложенных к несвободному твердому телу. Так как оси координат могут иметь любые направления, то следует проводить их так, чтобы они пересекали возможно большее числе неизвестных сил или были перпендикулярны к ним, т. е. чтобы каждое из уравнений равновесия содержало возможно меньшее число неизвестных величин. 1. Твердое тело с одной закрепленной точкой Допустим, что на твердое тело с неподвижно закрепленной точкой А действует система задаваемых сил Pj, Pj.....Р„ (рис. 134). Заменим действие связи в точке А (сферического шарнира) реакцией Кд, направление которой неизвестно. Проведем оси координат X, у, Z из точки А и разложим эту реакцию на три составляющие Хд, Уд, 2д, направленные по осям координат. Если силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются, то для этих сил можно составить шесть уравнений равновесия. Составляющие реакции связи не имеют моментов относительно осей координат и не входят в уравнения моментов. Уравнения равновесия имеют вид i: К, +Кд =0; iz, +Zд =0. Здесь Xi, YI, Zi - проекции задаваемой силы Р,- на оси л:, у, z. Mjy, - моменты силы Р^ относительно тех же осей. Три уравнения моментов, не содержащие реакций опор, и выражают те условия, которым удовлетворяют задаваемые силы, действующие на это тело, при равновесии приложенных к нему сил. Таким образом, если силы, приложенные к твердому телу с одной закрепленной точкой, уравновешиваются, то суммы моментов всех действующих на тело задаваемых сил относительно трех координатных осей, проведенных через закрепленную точку, равны нулю. Из этих трех условий следует, что главный момент Мд системы задаваемых сил относительно закрепленной точки равен нулю, т. е. система задаваемых сил приводится к равнодействующей R, линия действия которой проходит через точку А. Из трех уравнений проекций определяются величины составляющих реакций связи:  Рис. 134. п п п А - - -Д А= - ( = 1 Rj,= Vx\ + Y\-{-Z\. со5(Кд, 1) = -; COS (Кд, D = ; cos (Кд, к) = 4 А А Реакция связи Кд уравновешивает равнодействующую задаваемых сил R, т. е. эти силы равны по модулю и противоположно направлены; Кд = - R. 2. Твердое тело с двумя закрепленными точками Рассмотрим твердое тело с двумя неподвижно закрепленными точками А В. Допустим, что на это тело действует система задаваемых сил Рр Pj.....Р„ (рис. 135). Расстояние между точками А и В обозначим I. Заменим действие связей в точках А В реакциями и R, направления которых не известны. Начало координат поместим в одну из закрепленных точек, например А, и одну из осей проведем через вторую закрепленную точку В.  Рис. 135. Разложим каждую из реакций R и Rg на три составляющие по осям координат: Хд, Уд, 2д, Хд, Yg, Zg. Составим шесть уравнений равновесия для сил, действующих на тело: = 1 1 = 1 2 2, + 2д + 25 = 0. Здесь Х^, ¥(, Zi - проекции задаваемой силы Р,- на оси х, у, z, а Mij, Mfy, - моменты силы Р, относительно тех же осей. Из шести составленных уравнений равновесия только одно урав- п нение Ml =Q не содержит реакций опор. Это уравнение н выражает то условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, действующие на это тело при равновесии приложенных к нему сил. Таким образом, если силы, приложенные к твердому телу с двумя закрепленными точками, уравновешиваются, то сумма моментов всех действующих на тело задаваемых сил относительно оси, проходящей через точки закрепления, равна нулю. Остальные пять уравнений равновесия используются для определения составляющих реакций связей: п i = l п b = - tZj Чх л л j=I i=\ п п 1=1 1=1 Последнее уравнение показывает, что величины составляющих реакций Уд и Уд вдоль оси, проходящей через точки закрепления, определить невозможно. Поэтому для Уд и Уд рассматриваемая задача статически неопределенна. Если предположить, что точка А закреплена неподвижно, а в точке В имеется подщипник, тогда продольная реакция Кд = 0, л а Кд = - 2 К/ (см. пример 36). При этом условии задача становится статически определенной. § 63. Примеры на равновесие сил, произвольно расположенных в пространстве Пример 36. Дверь ABDE весом G = 240 н удерживается открытой на угол FBD=\2Qf двумя веревками. К веревке DFK, перекинутой через блок F, подвешен груз весом Q = 60 w; веревка EL, протянутая перпендикулярно двери, закреплена в точке L пола. Размеры двери: АВ = 2 м, АЕ = 0,Ъ м. Определить реакции подпятника А и подшипника В и натяжение веревки EL (рис. 13ба). Реш-ение. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к двери. Для этой системы составляем шесть уравнений равновесия сил, расположенных как угодно в пространстве. Проводим оси координат, как показано на рис. 1366. Дверь имеет одну закрепленную точку - подпятник А и  Рис. 136а. другую точку - подшипник в. Для упрощения уравнений равновесия, начало координат помещаем в одну из этих точек {А) и одну из осей координат {z) проводим через обе точки. Прикладываем к двери задаваемые силы: ее вес G, действующий по вертикальной оси симметрии, и реакцию Т, веревки DF, равную по модулю весу груза Q. Освобождая дверь от связей, прикладываем их реакции. Реакция ве- ревки EL направлена вдоль веревки. Подшипник В схематически представляет собой кольцо, сквозь которое проходит ось, скрепленная с дверью. Подшипник не препятствует перемещению двери вдоль его оси, т. е. вдоль оси z, а препятствует перемещению в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Согласно § 3, реакция  г Е Рис. 1366. подшипника не имеет составляющей по оси Z. Разложим эту реакцию на составляющие и Yj5, направив их по осям л; и у. Подпятник А схематически представляет собой совокупность такого же кольца и опорной плоскости. Благодаря наличию кольца, реакция подпятника имеет составляющие Хд и Уд, а ~~ благодаря опорной плоскости - составляющую 2д. Направим и эти силы по осям координат. Шесть неизвестных сил Хд, Уд, из шести уравнений равновесия сил. Обозначим размеры двери: AB = h, АЕ - а. При определении реакций опор тела, имеющего две опорные точки, в первую очередь составляются уравнения моментов, так как они содержат меньше неизвестных сил. При составлении уравнений 2д, Хд, Уд, Тз, определятся 1 ... 11 12 13 14 15 16 17 ... 44 |
 |
 |