|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Вычисляем координату z Zr = p.2.1 + :ii4(2 + 2) 3,14 0,5 = 1,85 м. 4 По найденной координате строим центр тяжести тела С, находящийся внутри объема параллелепипеда. Пример 42. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рис. 162, если известны размеры: АВ== = 20 см; BD = 24 см; ED=\0 см; AN = 2 см; N1= 18 см; LK= 20 см; РК = 8 см.  Рис. 162. Решение. Для нахождения центра тяжести площади пластинки разбиваем ее на три прямоугольника и отмечаем центры тяжести каждого из них С и С^. Все результаты вычисления помещаем в таблицу (табл. 5), пользуясь формулами (70.1). Таблица 5
Каждому прямоугольнику соответствует одна строка таблицы. В эту строку помещаем значения его площади f, и координат его центра тяжести Xi и у,. Умножая Fi на х; и на у^, находим его статические моменты относительно осей координат и Sij.. Суммированием определяем площадь и статические моменты всей заданной фигуры. Площадь заданной фигуры: F= 100 см. Ее статические моменты: 5у = 980 см; 5 = 540 см Координаты центра тяжести пластинки: Sy 980 *с=-р-=Тоо :9,8 см; По вычисленным координатам центра тяжести пластинки строим центр ее тяжести С (рис. 162). Пример 43. Определить положение центра тяжести однородного диска радиусом г, с круглым отверстием радиусом Г2 = -(рис. 163). Решение. Решаем задачу по способу отрицательных площадей (§ 70). Принимаем за ось х ось симметрии рассматриваемой плоской фигуры. Центр тяжести фигуры находится на этой оси^ т. е. = 0. Координату х^ определяем по формуле (70.2):  . F- F2x2 Здесь Fj= 1г/-2=41гг2. Furl х, = 0, Х2 = Г2. Тогда 6 Рис. 163. Строим центр тяжести С -0 (рис. 163). Пример 44. Определить положение центра тяжести С площади сегмента круга ADB радиусом АО - ЪО см, если угол ЛОБ = 90° (рис. 164). Решение. Воспользуемся способом отрицательных площадей. Площадь сегмента круга представляет собой разность площадей сектора круга АОВ и треугольника АОВ. Примем за ось х биссектрису угла АОВ, т. е. ось симметрии сегмента. Положение центра тяжести площади сегмента круга на этой оси определится формулой (70.2): f- FjX Площадь сектора круга АОВ: Fi = площадь треугольника АОВ: F2 = Psina cosa. Координаты центров тяжести сектора и треугольника: 2 sina Xj = з/? cos а. Подставив эти значения в формулу (70.2), получим: Rsma - -ijsincecosce о о R4-3 а При /? = 50 см найдем sin а cos а Sin3 а - sin а COS а и а = 45° . = 1-50- = 41,3 сл.  Рис. 164. 4 (0,785-0,5) Пример 45. Определить положение центров тяжести полукруга и полуокружности. Решение. Положение центра тяжести полукруга определим по теореме Паппа - Гюльдена об объеме тела вращения, пользуясь формулой (69.1): V = 2t:XcF. Совместим ось у с диаметром полукруга, а ось х - с его осью симметрии (рис. 165). При вращении полукруга вокруг оси у получится шар, объем которого известен: 1/ = А.гЗ. Зная площадь полукруга F = z. можно определить координату Х(. его центра тяжести, лежащего на оси х: V 0,4244г. Положение центра тяжести полуокружности определим по теореме Паппа - Гюльдена о поверхности вращения, пользуясь формулой (69.2): F=2KXcL. Совместим ось у с диаметром, соединяющим концы полуокружности, а ось X - с ее осью симметрии (рис. 166). Центр тяжести С полуокружности лежит на оси х. При вращении полуокружности вокруг оси у получится поверхность шара, площадь которой известна: F = А'кг. 
Рис. 165. Рис. 166. Зная длину полуокружности L = r:R, можно определить координату Хс ее центра тяжести: Хг =T5 = -J=-r 0,6366г. Вопросы для самоконтроля 1. Каким свойством обладает центр параллельных сил? 2. По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных 3. По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий? 4. Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет? 5. Какими способами можно определить положение центра тяжести площади в случае, если известны положения центров тяжести отдельных ее частей? 6. Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести? РАЗДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ГЛАВА XI КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ § 74. Введение в кинематику Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение. Слово^кинематика происходит от греческого слова кинема , что значит движение. Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. с понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением 1. Материя без движения так же немыслима, как движение без материи . В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени 3. Таким образом, всякое движение происходит в пространстве w во времени, т. е. пространство и время представляют собой формы существования материи. Они так же объективно реальны, как ш материя. Движение и материя существуют вечно и не могут быть ни созданы, ни уничтожены. В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи - механическое движение, т. е. происходящее во Энгельс. Диалектика природы, 1952, стр. 44. Энгельс. Анти-Дюринг, 1951, стр. 57. В. И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм, 1948, стр. 158. времени изменение положения одного тела относительно другого тела, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной. При изучении движений на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Землей. Тело, положение которого по отношению к выбранной системе отсчета не изменяется, находится в состоянии относительного покоя (по отношению к этой системе). Время в классической механике предполагается во всех системах отсчета одинаковым и не зависящим от движения одной системы по отношению к другой. Оно рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина и обозначается буквой i. За единицу времени принимается 1 сек, равная 24 3600 средних солнечных суток*. Представления древнего мира о движении ограничивались равномерным движением и его скоростью как отношением пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого пройден этот путь. Понятие ускорения введено Галилеем (1564-1642) и обобщено для случая криволинейного движения голландским физиком Гюйгенсом (1629-1695). Гюйгенс первый применил разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие. Развитие кинематики в XVIII в. связано с работами Леонарда Эйлера (1707-1783). Эйлер заложил основы кинематики твердого тела, создал аналитические методы решения задач механики. Быстрое развитие техники в начале XIX в., в частности машиностроения, потребовало исследования геометрических свойств движения тел. Кинематика выделилась в самостоятельный раздел, причем особое значение приобрела кинематика механизмов. Крупные исследования в области кинематики механизмов и машин принадлежат французским ученым Понселе (1788-1876), Шалю (1793-1880), Кориолису (1792-1843) и русским ученым: основоположнику русской школы теории механизмов и машин акад. П. Л. Че-бышеву (1821 - 1894), проф. Л. В. Ассуру (1878-1920), Н. И. Мер-цалову (1866-1948), А. П. Котельникову (1865-1944) и др. В разделе Кинематика изучается движение материальных иди геометрических точек какого-либо тела. Описание движения тех и других точек одинаково, поэтому будем употреблять термин точка , без пояснения материальная или геометрическая . § 75. Естественный способ задания движения точки Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию. Зта линия, представляющая собой геометрическое место последова- * Точнее, согласно ГОСТу, 1 сгк = 1/31556925,9747 части тропического года, т. е. времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через одну и ту же точку на небесной сфере. тельнь1Х положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета, называется траекторией точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Изучение движения точки заключается в определении основных характеристик этого движения: положения точки в выбранной системе отсчета, а также ее скорости и ускорения в любой момент времени. Эта задача решается различными способами. Существуют три способа задания движения точки: естественный, векторный и координатный. Рассмотрим естественный способ задания движения точки, применяемый в случае, когда траектория точки заранее известна. Траекторией может быть как прямая, так и кривая линия 0+ % (рис. 167). Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета дуговой \f[ координаты. Положение движу- щейся точки М на траектории бу- Jo дем определять дуговой координатой, т. е. расстоянием OM = s, отложенным по траектории от Рис. 167. начала отсчета О. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, будем считать положительными, а в противоположную - отрицательными, т. е. установим направление отсчета дуговой координаты. При движении точки М расстояние s от этой точки до неподвижной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата S является функцией времени: s = f(t). (75.1). Эта зависимость называется уравнением движения точки. Если вид функции f(t) известен, то для каждого значения t можно найти значение s, отложить соответствующее расстояние по траектории и указать, где находится движущаяся точка М в этот момент времени. Таким образом, движение точки определено, если известны следующие элементы: траектория точки, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения s = f{t). Дуговую координату точки не следует смешивать с длиной пути о, пройденного движущейся точкой. Дуговая координата s точки М в некоторый момент времени t может равняться пути о, пройденному точкой за промежуток времени [О, ] только в том случае, если движение точки начинается из точки О и совершается в положительном направлении. Если в начальный момент времени fg точка занимала положение Mq, а в момент времени i занимает положение М (рис. 167), то пройденный ею путь за промежуток [О, i] при движении точки в одном направлении определяется по формуле a = MoM = OM - OMo = s - sq. (75.2) Изменение дуговой координаты s за элементарный промежуток времени dt равно дифференциалу дуги ds = f(t)dt; при движении точки в сторону возрастания дуг ds > 0; при движении точки в противоположную сторону ds < 0. Приращение пути da (элементарное перемещение точки) всегда положительно, т. е. da - \ds\=\f{t)\dt. Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени J0, i], определяется как предел суммы элементарных перемещений точки за этот промежуток времени: °o,tf \f{t)\dt. (75.3) о Расстояние s и путь о выражаются в метрах. § 76. Векторный способ задания движения точки Положение точки в пространстве однозначно определяется зада-иием радиуса вектора г, проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М (рис. 168). Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени радиус-вектор г, т. е. должна быть задана вектор-функция г аргумента t:  г = г (t). (76.1) точки является местом концов Г движущейся Траектория геометрическим радиуса-вектора точки. Pjjg jgg Линия, образованная концами переменного вектора, начало которого находится в определенной точке пространства, называется годографом этого вектора. Следовательно, траектория точки М является годографом ее радиуса-вектора г. Векторный способ определения движения материальной точки или -системы материальных точек щироко используется и в кинематике. и в динамике, так как он значительно упрощает многие выводы w иногда подчеркивает физическую сущность явлений. От векторных формул легко перейти к аналитическим выражениям, обычно более удобным для вычислений. § 77. Координатный способ задания движения точки. Уравнения движения точки в декартовых координатах Положение точки М в системе отсчета Oxyz определяется тремя. декартовыми координатами точки х, у, z (рис. 169). При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты X, у, z движущейся точки Ж являются функциями времени t: x = f, it), z = f,{t). (77.1) Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Уравнениями (77.1) определяется движение точки. Действительно, имея эти уравнения, можно для каждого момента времени t найти соответствующие координаты х, у, z я по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени. Рис. 169.  Рис. 170. Движение точки Ж в одной плоскости определяется двумя уравнениями движения (рис. 170): (77.2) Прямолинейное движение точки Ж (рис. 171) определяется одним уравнением движения: x = f(t). {Л.З) в этом случае координатный способ задания движения точки сводится к естественному. Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения О X М Рис. 171. лолучаются уравнения траектории точки в координатной форме. Пусть уравнения движения точки М имеют вид x = f, (ty, y = f2Cty. Решив первое уравнение относительно t, получим / = ф(х). Подставив полученное для t выражение в два других уравнения, найдем уравнения траектории точки в координатной форме у = /2[ф()1; 1 2 = /з(ф(х)]. 1 (- Как известно из аналитической геометрии, линии в пространстве соответствуют два уравнения с тремя координатами. Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями Исключив параметр t, получим уравнение траектории точки в координатной форме: у = /2[ф(л;)]. (77.5) Помимо декартовых координат для определения положения точки на плоскости и в пространстве, применяют и другие системы координат (полярные, цилиндрические, сферические и др.). Пример 46. Концы линейки АВ движутся по двум взаимно перпендикулярным прямым LL и NN, причем угол ОВЛ = ф изме- 1 ... 15 16 17 18 19 20 21 ... 44 |
 |
 |