|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы моментов следует учитывать, что если линия действия силы параллельна оси или пересекает ось, то момент этой силы относительно оси равен нулю. Если же момент не равен нулю, то силу следует спроектировать на плоскость, перпендикулярную к оси, и вычислить момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью. Чтобы облегчить вычисление моментов сил относительно осей координат, проектируем систему сил на три плоскости, каждая из которых перпендикулярна одной из координатных осей (рис. 13бв, г, д). Рис. 136в.
Рис. 136г. По рис. 136в, г, д вычисляем моменты полученных проекций сил относительно точки А, в которой оси координат пересекают плоскости проекций.  Сначала составляем уравнение 2 = О, так как ось z проходит через точки Л и S и моменты неизвестных реакций в этих точках относительно оси z равны нулю. 1. 21, = 0 (рис. 136d); r,asin30° -ГаагО, откуда имеем: Га = ?! sin 30° = 60 0,5 = 30 и. 2. 1 = 0 (рис. 136в); -КдЛ-Г,со8 30Л + О-2~ = 0. откуда находим У^: У, = -~Т,cos 30 + G 5 = бО . 0.866 + 240 = 28 . 3. Ж,.у=0(рис. 136г); Л'дЛ-Г,со8б0°Л + О- = 0. откуда определяем Xд-. Хд = Т, cos 60° - G = 60 . 0.5-240 = -11.6 . Для определения проекций сил Х^, Кд, Z, не вошедших в уравнения моментов, составляем три уравнения проекций, пользуясь рис. 1366. 4. 1 = 0; ХдН-Хд -Г,со8б0°~Г2СО8б0° = 0, откуда Л-д = - Хд-+-(Г,-hГ2)со560° = 11,6-h(60-h30) 0,5 = 56,6 . 5. Y, = 0; Уд + Kg + 7i cos 30°-2 cos 30== = О, откуда: Уд = - - (Т, - Гг) cos 30° = 28 - (60 - 30) 0,866 = 2 и, 6. 2( = 0; д -0 = 0, откуда Z = G = 240 . Знаки ответов показывают, что силы Хд, Уд, 2д направлены так, как показано на схемах, т. е. в сторону осей координат, а направления сил Хд, Yg противоположны указанным, т. е. противоположны направлениям осей х и у. Принятая последовательность составления уравнений равновесия сил позволила определить из каждого уравнения одну неизвестнук> величину, не решая системы уравнений. Пример 37. На рис. 137а и 6 изображен коленчатый вал двигателя. При вертикальном положении средней плоскости колена давление шатуна на середину шейки вала составляет Р = \2кн я направлено в плоскости, перпендикулярной оси вала, под углом 15 к горизонтали. На оси вала в точке С закреплен маховик весом 0=12 кн. В точке Е укреплен шкив диаметром D = 80 см с ремнем, передающим момент на вал рабочей машины. Ветви ремня лежат в плоскости шкива и составляют с горизонталью угол, равный 30°. Отношение натяжений ведущей и ведомой ветвей Расстояние от оси шейки колена до оси вала г = 15 им. Расстояния по оси вала указаны на рис. 137а в сантиметрах. Определить величины натяжения ветвей ремня Г и Mi реакции подшипников А п В при равномерном вращении вала и при заданном его положении. (Весом шкива и вала по сравнению с весом маховика? можно пренебречь.) Решение. При равномерном вращении правильно сконструированного вала приложенные к нему силы должны удовлетворять условиям их равновесия. Прикладываем к валу задаваемые силы: вес махрвика G, давление шатуна на шейку вала Р и реакции ветвей ремня Т и t, направленные по касательной к окружности обода шкива. Отбрасывая связи (подшипники), прикладываем к валу их реакции, разложенные на составляющие Уд, 2д, Уд. Zs (рис. 137в). Выбрав оси координат, как показано на рис. 137в, составляем уравнения равновесие  Рис. 137а. Рис. 1376. сил, произвольно расположенных в пространстве. Вал имеет две-точки опоры А и В; первым составляем уравнение моментов относительно оси X, проходящей через эти точки. Пользуемся, рис. 137г, так как на нем изображены только силы, моменты которых относительно оси X не равны нулю. 1. 5]M; = 0; -r-5-+P/-cos 15° = 0. Так как T = 2t, то модули сил t ш Т можно^ определить: -5- - 2 + Р/- cos 15° = О, 2Рг cos 15° 2 12 15 0,966 80 = 4,347 кн, T = 2t = 8,694 кн. Затем составляем следующие уравнения моментов по рис. 137в. При вычислении моментов сил Т, t и Р относительно оси у проектируем  Рис. 137в.  Рис. 137г. каждую из этих сил на плоскость, проходящую через точку приложения силы перпендикулярно оси у. Полученные проекции Т sin 30°, sin 30°, Я sin 15° параллельны-оси Z. 2. 2;у = 0; Psin 15° 50 + 2в-85 -G 115 +Г sin 30°. 155+-+ sin 30°- 155 = 0, откуда находим Zg. 7 - Я sin 15°- 50+G-115 -(Г +1) sin 30° 155 - 12 - 0,259 - 50+ 12-115 -13,04 0,5-155 214 - 85-=-§5 - 2 Аналогично при составлении уравнения 2-/г = 0 находим проекции сил Т, t и Р на плоскости, перпендикулярные оси z. Эти проекции параллельны оси у и соответственно имеют абсолютные величины: Г cos 30°, cos 30°, Р cos 15°. 3- 2/ = 0. Pcosl5°-50 -Кв-85 + Гсо8 30°- 155 + + cos 30° 155 = 0. Определяем К^: V Р cos 15° 50 -f (Г + О cos 30° 155 12-0,966-50+13)4 . 0,866-155 2330 7 - gg -gg- -/,41 кн. Составляем уравнения проекций на оси у и 2 (все действующие силы перпендикулярны оси х и уравнение Х~0 обращается в тождество 0 = 0). 4. 2Кг = 0; Кд -Pcos 15°+Кв -rcos30° -cos30° = 0. Находим Кд: Кд = Р cos 15° - Кд + (Г + О cos 30° = = 12 . 0,966 - 27,41 + 13, 04 - 0.866 =-4,53 кн. 5. S2, = 0; Zд + Psin 15° + Zb -O + Tsin 30°+ sin 30° = 0. Определяем Zд: Zд = -Psinl5°-Zb + 0 -(r + 0sin30° = = -12 - 0,259 - 2,52+ 12- 13.04 - 0,5 = -0,15 кн. Пример 38, Тонкая горизонтальная плита ABDE весом 0 = 2,4 кн поддерживается шестью стержнями, расположенными вдоль диагоналей граней или вдоль ребер прямоугольного параллелепипеда. Определить усилия в стержнях, если а=\ м, = 1,8 л, с = 2,4 л* (рис. 138а). Решение. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к плите. Прикладываем к плите в центре симметрии прямоугольника ABDE задаваемую силу -вес плиты G. Заменяем действие связей, т. е. шести стержней, их реакциями. Считаем стержни, как это принято, растянутыми и направляем их реакции от узлов (рис. 1386). Для сил, действующих на плиту, составляем шесть уравнений равновесия сил, расположенных как угодно в пространстве. Начало координат  Рис. 138а.  помещаем в точку О пересечения линий действия трех неизвестных реакций Sp 82, 83, чтобы исключить эти реакции из уравнений моментов:
- SaSinP -S6Sina = 0. (6) По заданным размерам вычисляем синусы и косинусы углов а и р; с 2,4 4 sina = sin р = , - , = -; COS а = 1/ 1 - sin2 а = -; Vb + c /1,82 + 2,42 5 5 = = - cosB = /1 sin2e = -. Р 13 13 Yc + a Y 2,4 + Из уравнения (2) находим с G 2,4 , р Oft = - -7-- =--J- - -1,5 кн. 2 sin а 4 Из уравнения (3) >4 а cos а , о , 5 = 5й-Г-7ГП5-= -1.5-g- = -1,3 кн. 5 6 cos р Из уравнения (1) 2 1,8. 54=--55sinp = -+l,3.-}- = 0. Из уравнения (4) Из уравнения (5) 5i= -1,3 K . S3 = - 5g = 1,5 кк. Из уравнения (6) 2 = - G - 5i sin р - 5з sin а - 54 - sin р - 5g sin а = = -2,4 - 1,3 - 4-1,5 -4 - 0+1,3 iJ+l,5-4 = -2.4K . 13 5 Величины сил. приложенных к плите, помещаем в табл. 3. Таблица 3
Из табл. 3 следует, что стержни /, 3 растянуты, стержни 2, 5, & сжаты, а стержень 4 не работает. Силы, приложенные к плите, образуют три взаимно уравновешивающиеся пары сил, лежащие в различных плоскостях: 1) О, S2; 2) Sp S5; 3) S3, Sg. Пример 39. При повреждении одной из двух петель прямоугольной парниковой рамы ABDE ее удерживают в горизонтальном положении двумя вертикальными стержнями FJ и KL. Вес рамы 0= 180 и. Расстояния: BF = BD; ND = BD; KN = ED. 4 5 2 Определить реакцию шарового шарнира (петли) А и усилия в стержнях FJ и KL (рис. 139а), Решение. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к раме. Прикладываем к раме в центре тяжести С задаваемую силу - вес рамы G (рис. 1396). Отбрасывая связи, прикладываем к раме их  Рис. 139а. реакции. Реакции сжатых стержней RJ и Rf, равные усилиям в стержнях, направляем вертикально вверх. Реакция шарового шарнира R может иметь любое направление, но при условии, что  Рис. 1396. остальные силы G, Rp и Rf, приложенные к раме, вертикальны, реакция R тоже имеет вертикальное направление. Для полученной системы вертикальных сил, из которых три силы не известны, составляем три уравнения равновесия параллельных сил в пространстве. Начало координат помещаем в одну из опорных точек А, ось z направляем параллельно силам, оси хну проводим по краям рамы. Уравнения равновесия сил имеют вид: S2i = o о -н- + и к -о- /? £D = 0; (1> (2> (3> В уравнение (2) подставляем BN = -g- BD, BF = BD и, сокра- G - /?fSV - Р^.БР = 0; щая, получаем: -G-R + R: = 0; -G + RRj.-{-Rj, = 0. (1> (2> (3) Подставив значение 0=180 и. решаем систему двух первых уравнений и находим R и Rp-. Н^ + Нр = Ж -g- -\- Rp = 90 , -R+Rp = m, или ?f + /?, = 360. Вычитая из одного уравнения другое, находим: R = 21Q; R=\OQh; RpAOn. Из уравнения (3) определяем Rj. Rj=0 - Rk - Rp=\%0-\OQ - AQ=AQh. Вопросы для самоконтроля 1. Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве? 2. К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства; а) имеет одно и то же значение, не равное нулю; б) равен нулю; в) имеет различные значения и перпендикулярен к главному вектору; г) имеет различные значения и не перпендикулярен к главному вектору? 3. Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости? 4. Каковы геометрическое и аналитическое условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей? 5. Сформулируйте теорему о моменте равнодействудавдей пространственной системы сил относительно точки и оси. 6. Составьте уравнения линии действия равнодействующей. 7. Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы 8. Выведите уравнения центральной оси с стемы сил. 9. Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту. 10. По какой формуле вычисляют наи.меньший главный момент заданной системы сил? 11. Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до Центральной оси этой системы сил? 12. Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол? 13. Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил гесиетрически равны между собой? 14. Каковы инварианты системы сил? 15. В чем состоит особенность условий равновесия сил, приложенных к твердому телу, имеющему одну или две закрепленные точки? ГЛАВА X ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ § 64. Последовательное сложение параллельных сил. Центр параллельных сил Допустим, что к твердому телу в точках-Лр Лз, .... Лд приложены параллельные силы Pj, Pj.....Р5, из которых силы Pj, Pj, Р3 направлены в одну сторону, а силы Р4, Р5 - в противоположную сторону (рис. 140). Складывая силы Pj и Pj по правилу сложения двух параллельных сил, направленных в одну сторону, получаем = + Определив модуль равнодействующей силы Rj и точку приложения ее Sj, складываем Rj с силой Р3 и получаем: /?2= 1 + 3 АгВ^ R, в,в, - Р, Аналогично определяем равнодействующую сил Р4 и Р5: 3 = 4 + Я, и В результате последовательного сложения заданных параллельных сил получены две противоположно направленные параллельные силы R2 и R3 в точках и В^. 1 ... 12 13 14 15 16 17 18 ... 44 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |