Промышленное охлаждение - freezart.ru. Схемы и периодика

Главная » Мануалы

1 ... 16 17 18 19 20 21 22 ... 44

няется пропорционально времени, т. е. ср = св. Составить уравнения движения точки М, находящейся от концов линейки на расстояниях АМ = а и ВМ = Ь, и определить ее траекторию (рис. 172а).

Рис. 172а.

Рис. 1726.

Р е щ е н и е. Прямые LL и NN примем за оси координат (рис. 1726). Из точки М опустим на оси перпендикуляры MD и ME. Тогда из треугольников AMD и МВЕ получим:

x = DM = AM co&f, у = ЕМ = ВМ sin f.

Подставляя значения АМ==:а, ВМ = Ь, vf = mt, получаем уравнения движения точки М:

X = ac&s mt, у = й sin lot.

Для определения траектории точки М исключаем из этих уравнений время t:

- = cos (i>t; -~ = sin(i>t;

-5-= cos cof; - - ъшЫ; a - b

Полученное уравнение траектории точки М является уравнением эллипса с полуосями а и * и с центром в начале координат <рис. 1726).

При изменении положения точки М на линейке изменится форма эллипса. На этом принципе основано устройство эллипсографа - прибора для вычерчивания эллипсов.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чем состоит каждый из этих способов?

2. При каких условиях значение дуговой координаты точки в некоторый момент времени равно пути, пройденному точкой за промежуток времени ют начального до данного момента времени?

3. Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки?

4. Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить ее траекторию?

ГЛАВА XII СКОРОСТЬ ТОЧКИ

§ 78. Определение скорости точки при задании ее движения векторным способом. Вектор скорости точки

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту а направление движения точки в данной системе отсчета.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором г, который является функцией времени г = г {t). Пусть в момент времени t точка занимает положение М, определяемое радиусом-вектором г, а в момент i = -f-A - положение М определяемое радиусом вектором fj (рис. 173).

Из треугольника OAIM, имеем:

OM, = OMMMi.

При перемещении точки ее радиус-вектор получает приращение, т. е.

Г1 = г-4-Дг.

Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения точки MMi является приращением радиуса-вектора точки Дг за промежуток времени Д^.

Отношение вектора перемещения Дг к промежутку времени Д^, в течение которого произошло это перемещение, представляет собой

Рис. 173.

вектор средней скорости vp воображаемого движения точки по хорде M/Wi

Vcp = . (78.1)

Направление вектора V(.p совпадает с направлением Дг. При уменьшении промежутка времени Д^ и приближении его к нулю

вектор Дг также стремится к нулю, а вектор v ~ - некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t:

v=lim- (78.2)

Так как Д^ - приращение скалярного аргумента t, а Дг - приращение вектора-функции г, то предел отношения при Д^->-0 является векторной производной от г по t:

\lm = . (78.3

Из равенств (78.2) и (78.3) получаем

v=4. (78.4)

Таким образом, вектор скорости точка в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времена.

Вектор Vcp направлен по хорде ММ, в сторону движения точки. Когда стремится к нулю, точка М, стремится к точке М, т. е. предельным положением секущей ММ, является касательная.

Из этого следует, что вектор скорости точки v направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Рис. 174.

При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 174)-

Установив, что скорость точки является вектором, условимся вместо термина вектор скорости употреблять термин скорость .

Примечание. Из векторного исчисления известно, что векторная производная от некоторого вектора по любому скалярному аргументу представляет собой вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора. Так, вектор скорости v = - направлен по касательной к траектории, т. е. по касательной к годографу радиуса-вектора г.

Модуль векторной производной определяется обычно способами, изложенными в § 79 и 80.

§ 79. Определение скорости точки при задании ее движения естественным способом. Проекция скорости на касательную к траектории

Определим скорость точки в случае, когда ее движение задано естественным способом, т. е. известны: ее траектория АВ, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения точки s-f{f) (рис. 175).

Пусть в момент времени t точка занимает положение Ж, а в момент t, - t-\-Lt - положение М,. Дуговые координаты этих точек имеют следующие значения:

s = OM; s, = OM, = OM-\-MM, = s-\-As.

Приращение дуговой координаты

Д5= с-Ж/Ир

Проведем из произвольного центра О' в точку Ж радиус-вектор г и определим скорость точки в момент t по формуле (78.4):

Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату 5, от которой зависит радиус-вектор г движущейся точки. Действительно, каждому значению s соответствует определенное значение г, т. е. г можно рассматривать не только как функцию t, но и как функцию S, полагая г = г (s) (рис. 176); тогда получим

dr ds

ds dt

Здесь

dt ,. Дг

= lim

Д5

Вектор направлен так

же, как вектор Дг (рис. 176). При As->0 его направление стремится к направлению касательной, проведенной в точке М в сторону увеличения дуговой координаты S. Модуль этого вектора стремится к единице:

Рис. 175.

= lim

Таким образом, вектор имеет модуль, равный единице и направлен по касательной к кривой в сторону увеличения дуговой

Рис. 176.

координаты (см. примечание § 78). Вектор -jj является ортом этого направления. Обозначим этот орт х:

Пользуясь (79.1), получаем вектор скорости в виде

V== X

(79.1)

(79.2) 191

Производная в выражгнии (79.2) представляет собой проекцию скорости V на касательную, т. е. определяет алгебраическую величину скорости.

Условимся алгебраическую величину скорости обозначать символом V, а модуль скорости буквой v.

(79.3)

(79.4)

т. е. модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.

Орт касательной х всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты.

Если в некоторый момент времени ds , п

> О, то в этот

момент функция s возрастает, т. е. точка движения в сторону

увеличения s и направление скорости v совпадает с направлением орта X (рис. 177, а).

Рис. 177.

< О, то в этот момент функция s убывает и направле-

ние скорости v противоположно направлению орта х (рис. 177, б).

Если в некоторый момент времени = О и изменяет знак, то

дуговая координата s в этот момент достигает максимального или минимального значения, а точка изменяет направление движения.

Таким образом, знак v =: указывает направление движения

точки по траектории.

При движении точки только в сторону возрастания дуговой

ds dt

координаты во все моменты времени > О, т. е.

В этом случае формуле (79.4), определяющей модуль скорости, можно придать вид

(79.5)

пример 47. Точка движется по окружности радиусом R = 150 см согласно уравнению .

5 = 50 + 6 + 3,

где t выражено в сек, s - в см. Определить:

1) среднюю скорость точки за первые шесть секунд и вторые шесть секунд, отсчитанные от начального момента;

2) скорость точки в конце шестой и в конце двенадцатой секунды;

3) дуговую координату точки, при которой скорость точки равна 10 cmjcck.

Решение 1. Определяем среднюю скорость точки. Для определения средней скорости точки за промежутки времени (О-6) и (6-12) сек требуется найти пути, пройденные точкой за эти промежутки времени.

Из уравнения движения видно, что при увеличении t дуговая координата s монотонно возрастает, т. е.

точка движется, удаляясь от начала отсчета в положительном направлении. В этом случае пройденные точкой пути можно найти как приращения дуговой координаты. По уравнению движения находим значения дуговой координаты, соответствующие моментам времени = О, 6, 12 сек. При / = 0 So = 50 см;

при t = 6 сек 6 = 50 + 6 6+- 63= 104 сл;

Рис. 178.

12 1

123=266 см.

при^=12сел: Si2 = 50 + 6 12 + -2

Пройденные пути определяются (рис. 178);

ogg =MoMg =Sg -So = 104 - 50 =54 см, Og j2 = AlgAIi2 = Si2 -S6 = 266 - 104= 162 см.

Средние скорости за эти промежутки времени по шесты секунд находим делением пути на величину промежутка времени:

М 9 см/сек.

о, в

Vcv.

6, 12 .

б. 12

= 27 cmjcck:

2. Определяем скорость точки в данный момент. Прежде всего по формуле (79.5) определим модуль скорости точки в любой момент времени:

=$ = 6-Ьт- (79.6)

По формуле (79.6) вычислим модули скорости точки в моменты времени 6 и 12 сек:

а) при = 6 сек

б) при = 12 сек

г'12 = 6 + J . 144 = 42 CMfceK.

Как указано выше, точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты, поэтому скорости точки Vg и Vjj направлены так же, как орты х.

Примечание. Средняя скорость точки v = 27 см\сек за промежуток времени от 6 до 12 сек не совпадает с полусуммой модулей начальной и конечной скоростей этого промежутка = =

= 28,5 см1сек, так как движение точки не является равнопеременным.

3. Определяем дуговую координату точки, соответствующую за-даннвй скорости. По формуле (79.6) можно определить момент времени, когда точка обладает скоростью 10 см/сек:

t; = 64-i=:

10=64-i-2; 2 = 16; t = 4 сек.

По уравнению движения определится значение дуговой координаты в этот момент времени:

при t = 4 сек 5 = 50 + 6 4 + - 4 = 79,3 см.

§ 80. Определение скорости точки при задании ее движения координатным способом. Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат

Определим модуль и направление скорости точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 179):

x = f,(t),

3=/2(0.

г=/з(0-

Обозначим орты осей координат i, j, к. Проведем из начала координат О в движущуюся точку М радиус-вектор г. Согласно рис. 179 имеем:

или

ОМ = ОА-\-АВ~{-ВМ г =:ix-f-jy+kz.

Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени (78.4). Найдем эту производную, учитывая, что орты i, j, к имеют неизменные модули и направления, т. е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:

dt dt dt

+ к

Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат, а диагональ совпадает со скоростью V, получим проекции скорости V на оси координат V , v, равные алгеб-




	М		ъ
			ъ
а		г
		А

Рис. 179.

раическим величинам отрезков Жа, Mb, Мс.

Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид

Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость, находим

dx dy . dz gQ

Следовательно, проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответ-ствуюш,их координат точки по времени.

Пользуясь принятым обозначением производных по времени, можно написать

Vx = х; Vy = у, z.

Вычислив проекции скорости на оси декартовых координат, можно определить модуль и направление скорости точки по следующим формулам:

cos(v, 0 = ; cos(v. j) = ; cos(v. к) = -- (80 2)

Движение точки в плоскости хОу (рис. 180) задается дйумя уравнениями движения:

x = Mt), У =/2 СО-Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются

cos(v, i)=-; cos(v, j)=-

(80.3)

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением:

x = f{t).

В этом случае модуль скорости

Точки равен абсолютной величине проекции скорости на ось х:

(80.4)

Рис. 180.

Рис. 181.

При VjyO точка движется по направлению оси х (рис. 181), при г < О - противоположно направлению оси.

§ 81. Годограф скорости точки и его уравнения

Скорость точки при неравномерном криволинейном движении изменяется как по модулю, так и по направлению.

Отметим ряд положений движущейся точки на траектории М М2, М^, Ж4 и покажем скорости точки в этих положениях Vj, V2, V3, V4 (рис. 182,с).

Выбрав в пространстве некоторую неподвижную точку О отложим от этой точки векторы, геометрически равные скоростям Vp Vj, V3, V4 (рис. 182,).

Если от точки О, отложить скорости, соответствующие всем положениям точки М на кривой АВ и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, являющаяся годографом скорости.

Таким образом, годограф скорости представляет собой геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.

1 ... 16 17 18 19 20 21 22 ... 44