|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы 5. Какое движение точки называется гармоническим колебательным движением и какие величины характеризуют это движение?  Рис. 219. 6. Как направлено ускорение гармонического колебательного движения? В какие промежутки времени это движение происходит ускоренно и в какие замедленно? ГЛАВА XIV ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 90. Поступательное движение твердого тела Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное движение; 2) вращательное движение; 3) плоское или плоскопараллельное движение; 4) сферическое движение; 5) общий случай движения твердого тела.- Приступая к изучению движения твердого тела, нужно прежде всего установить, к какому из указанных выше видов движения оно относится. Поступательное и вращательное движения являются простейшими движениями твердого тела. Рассмотрим в первую очередь поступательное движение твердого тела. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе. Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически рс(вные скорости и ускорения. Для доказательства теоремы выберем две произвольные точки твердого тела А я В п проведем из точки А в точку В радиус-вектор г^д (рис. 220). Так как тело движется поступательно, то во время его движения отрезок АВ остается параллельным своему начальному положению, а потому значения радиуса-вектора г^д в любые моменты времени f и геометрически равны, т. е. ав=Га1В1 = const. Проведем из произвольного неподвижного полюса О в точки А, В. А В, радиусы-векторы г^, Гд, г^, Гд. Из Д ОАВ устанавливаем равенство которое будет справедливым во все время движения. Это равенство показывает, что любому положению точки А соответствует определенное положение точки В, отстоящее от А по направлению Гдд на расстоянии АВ.  Рис. 220. Поэтому, если траекторию точки А переместить по направлению Гдв на расстояние АВ, то она совпадет с траекторией точки В, т. е. траектории точек А и В тождественны и параллельны. Определим вектор скорости точки В как производную от радиуса-вектОра этой точки по времени по формуле (78.4): Поэтому Vb = v, t. e. скорости точек A n В геометрически равны. Определив ускорения точек А и. В тела согласно (82.1), получим т. е. ускорения точек А п В геометрически равны. Так как точки А \i В произвольны, то полученные соотношения относятся ко всем точкам тела. Установленные свойства поступательного движения позволяют свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т. е. к задаче кинематики точки. Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступательно, скорость V и ускорение w называют скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела. При любом другом движении твердого тела точки тела двужутся с различными скоростями и ускорениями. Уравнениями поступательного движения твердого тела являются уравнения движения любой точки этого тела - обычно уравнения движения его центра тяжести С: 3-0 =/2(0. 2с = /з(0. (90.1) Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые траектории, в том числе и прямые. Примером поступательного движения твердого тела является движение спарника АВ, соединяющего пальцы равных кривощипов О^А  Рис. 221 и OjS (рис. 221). Все точки спарника описывают окружности радиусом, равным длине кривошипа, и имеют геометрически равные скорости и ускорения. § 91. Вращательное движение твердого тела. Уравнение вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение тела Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения. При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Для осуществления этого движения следует неподвижно закрепить две некоторые точки твердого тела А и В. Тогда прямая АВ будет осью вращения тела и все точки, лежащие на этой прямой во все время движения будут оставаться неподвижными (рис. 222). Определим положение вращающегося тела следующим образом. Зададимся направлением оси вращения z. Проведем через эту ось две полуплоскости: неподвижную полуплоскость Р и подвижную полуплоскость Q, связанную с твердым телом и вращающуюся вместе с ним. Двугранный угол ф между этими полуплоскостями, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости Р к подвижной полуплоскости Q, называется углом поворота тела. Условимся считать угол поворота положительным, если, смотря навстречу UI [ \ оси вращения, можно увидеть его от- I I ложенным против движения часовой г'Ллтл! I стрелки. Числовые значения угла по- ворота выражаются в радианах. Радианом, как известно из геометрии, называется центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Числовое значение угла в радианах равно отношению длины дуги к радиусу, т. е. оно - отвлеченное число. Угол, равный 360°, содержит 2я радиан. Один радиан составляет  Рис^222 360° 2и = 57° 1744,8 Угол поворота часто выражают числом оборотов N. Тогда угол ф в радианах, соответствующий N оборотам, определяется: ф=2яЛ'. (91.1) Угол ф, определяя положение подвижной полуплоскости, определяет также положение всего вращающегося тела. Поэтому его можно рассматривать ка угловую координату тела. При вращении тела угол поворота ф изменяется в зависимости от времени, т. е. является функцией времени t: Ф =/(/). (91.2) Уравнение (91.2) называется уравнением вращательного движения тела. Оно полностью определяет положение тела в любой момент времени, Угловая скорость и угловое ускорение тела Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота ср с течением времени, называется угловой скоростью тела. Условимся абсолютное значение угловой скорости обозначать w, а алгебраическую величину угловой скорости символом м. Очевидно, что I u) I = u). Если в моменты времени t и t-\-t вращающаяся полуплоскость занимает положения Q и Qj, т. е. угол поворота ср за время Д* получает приращение Дер, то отношение определяет алгебраическую величину средней угловой скорости вращающегося тела за время Д*: При стремлении Д* к нулю получаем алгебраическую величину угловой скорости тела в момент t: .. ~ ,. d-o u)= lim u)cn= Im -77-=-+-, (91.3) Если > О, то угол поворота tp увеличивается, т, е. вращение тела происходит в положительном направлении отсчета угла поворота. Если ~ < О, то угол поворота tp уменьшается, т. е. тело вращается в обратную сторону. Если в некоторый момент времени - = 0 и изменяет знак, то угол поворота tp в этот момент достигает максимального или минимального значения, а тело изменяет направление вращения. Таким образом, знак производной указывает направление вращения тела, а ее абсолютное значение равно угловой скорости тела, т. е. Если вращение тела происходит в одном направлении, которое (91.4) dt принимается за положительное, то м = > О, т. е. формул! (91.4) принимает вид Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела. Условимся абсолютное значение углового ускорения обозначать е, а алгебраическую величину углового ускорения е. Очевидно, что е = е. Если за промежуток времени h.t приращение угловой скорости равно Дш, то отношение определяет алгебраическую величину среднего углового ускорения вращающегося тела за время Д^: ~ д (О при стремлении Д/ к нулю получаем алгебраическую величину углового ускорения в момент t s=4 = S. (91.6) Из формулы (91.3) следует: -=5--=?. (91.7) Знак е = также дает возможность установить, является ли вращение тела в данный момент ускоренным или замедленным. Если знаки ш и е одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны - замедленно. Абсолютное значение углового ускорения
При вращении тела в одном направлении, когда ш = м, имеем = ( . (91.8) Если > О, то угловая скорость ш увеличивается, т. е. тело вращается ускоренно. Если < 0. то м уменьшается, т. е. вращение происходит замедленно. Уравнение равномерного вращения тела Вращение тела с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Составим уравнение равномерного вращения тела с угловой скоростью О), принимая направление этого вращения за положительное направление отсчета угла поворота ср. Положим, что в начальный момент о = 0 угол поворота имеет значение cpQ. По формуле (91.5) получим= м = const; d - todt. Проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту 0 - 0 и произвольному моменту времени t: j d(f=m j dt; cp - cpQ = (o/, -p. 0 откуда <р =r сро -f - ш*. (91.9) Выражение (91.9) является уравнением равномерного вращения тела. Если в начальный момент времени подвижная полуплоскость Q -совпадает с неподвижной полуплоскостью Р, т. е. fo - O, то уравнение равномерного вращения тела (91.9) принимает вид ср = tot. Из уравнения равномерного вращения тела при %фО находим Т. е. угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению приращения угла поворота за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка времени. Если за единицу угла принять I радиан, а за единицу времени - 1 секунду, то единицей угловой скорости будет 1 сек~. Обычно угловая скорость измеряется числом оборотов в минуту и обозначается п. Так как один оборот равен 2и рад, то зависимость между угловой скоростью ш сек~ и п об/мин имеет вид (й = й- или ) = - (91.10) и (91.11) Например, угловая скорость турбины, совершающей 4000 об/мин, выраженная в сек~, равна: u) = i = 418.88 сек-К Угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси, выраженная в сек~, u) = 24? = 0,0000727 сек~К Уравнение равнопеременного вращения тела # Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называют равнопеременным вращением. При этом, если солютная величина угловой скорости увеличивается, вращение называют равноускоренным, а если уменьшается-равнозамедленным. Составим уравнение равнопеременного вращения, полагая, что в начальный момент tO начальная угловая скорость равна начальное значение угла поворота равно <Р(,: - = е = const; di)> = &dt. Проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту д=0 и произвольному моменту времени t: J dw = s j dt, u) - ( 0 = et, = ZQ-\-et, (91.12) = u) = u)o + e/, d = iiOo-\-et)dt. Проинтегрировав это уравнение в соответствующих пределах, получим J d=p=Wo Jd + e J tdt, To U и ? -% = VH-2 P = %+ o4-(9M3> Уравнение (91.13) является уравнением равнопеременного вращения тела. Так как равнопеременное вращение происходит обычно в одной направлении, то м = м, а е = ± е, где sjauk плюс соответствует ускоренному вращению, а знак минус - замедленному. Учитывая это, формулам (91.12) и (91.13) можно придать более удобный для решения зааач вид: U)=:U)o ± tt, (91,12*) с?=.с?о+с о^ (91.13*) Из формулы угловой скорости находим е = I - о I .j, равнопеременном вращении абсолютное значение углового ускорения тела равно отношению изменения угловой скорости тела за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка. Если за единицу угла принять 1 радиан, а за единицу времени - 1 секунду, то единицей углового ускорения будет 1 сек~. Если за единицу угла принять 1 оборот, а за единицу времени 1 минуту, то единицей углового ускорения будет 1 об/мин'. Покажем на примерах переход от одних единиц углового ускорения к другим. Выразим, например, в сек~ угловое ускорение е = 15 об/мин^: 6 = 15 об/мин' = W сек~. Рассмотрим и обратный переход. Выразим угловое ускорение е = 5тс сек~ в об/мин^; e==5ii; ceK-2 = 5ii;- об/ли 2=9000 об1мин^. пример 57. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 20 сек он совершает 100 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20 сек7 Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покоя, то ( 0 = 0. В этом случае уравнения (91.12) и (91.13) при (ро = 0 имеют вид О) = St. где Из уравнения (а) находим е = <р = 25r.V. Подставляя числовые значения, находим: 2. 2л. 100 = исел;~2, Ю20 = е 20 = 20и сел;~Ч (а) (б) § 92. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси На рис. 223 изображена окружность, представляющая собой траекторию произвольной точки М тела; расстояние гочки М. от оси вращения, равное радиусу этой окружности, обозначим Если ОС - радиус, лежащий в неподвижной полуплоскости Р, а NC-радиус, лежащий в подвижной полуплоскости Q и вращающийся вместе с ней, то / OCN = -f = f{t). Величина угла NCM=a. при вращении его сторон NC и МС вместе с телом не изменяется, т. е. а = const. Неподвижную точку О примем за начало отсчета дуговой координаты S точки М, направление движения точки за - положительное. Тогда получим s = KjOM=R(if-\-a.). где углы ср и а выражены в радианах. Определим модуль скорости точки М, называемой вращательной, или окружной, скоростью этой точки: ds dt = Rw. (92.1)  Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произве- Рис. 223. денаю расстояния от точка до оси вращения на угловую скорость тела. Так как угол выражается в радианах, то угловая скорость и> в этой формуле должна выражаться в сек~. Из формулы (92.1) следует, что модули вращательных скоростей различных точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения (рис. 224). Если соединить отрезком прямой конец скорости, например, точки А вращающегося диска, с центром вращения С, то концы скоростей точек В, D н Е диска будут лежать на этой прямой. Это очевидно из подобия образовавшихся треугольников, высоты которых tig, г1д, Vg, Vji пропорциональны их основаниям СЕ, CD, СВ, С А. Ускорение точки Ж определим по его составляющим: касательному ускорению, направленному по касательной к окружности, и нормальному ускорению, направленному к центру С. Эти ускорения точек вращающегося тела называют вращательным и центростремительным ускорениями и обозначают w* и w (рис. 223):  Рис. 224. R d< :R&. (92.2) Модуль вращательного ускорения точки тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на абсолютное значение углового ускорения тела. По формуле (85.5) найдем: - (92.3) w - = w = - Модуль центростремительного ускорения точки равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угловой скорости тела. Модуль полного ускорения точки определяется по формуле W = Y{wy-\-{w -f = = /?V?+. (92.4) Тангенс угла р, составлен ного ускорением w с радиусом .окружности СМ, определится по формуле  Рис. 225. Эта формула показывает, что угол, составленный ускорением точки вращающегося тела с отрезком, соединяющим точку с центром окружности, не зависит от положении точки в теле. В формулах для вычисления w*, и ш угловая скорость w и угловое ускорение е должны быть выражены в сек~ и сек~. Из формул (92.2), (92.3) и (92.4) следует, что модули вращательных, центростремительных и полных ускорений точек 1 ... 21 22 23 24 25 26 27 ... 44 |
 |
 |