|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Bzi - Д(оу1 -- - Q/,) г, = О, By, -I- A i (cl - Ql)yi = 0. (fi) Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний шпинделя. Решение этой системы однородных линейных дифференциаль[н.1х уравнений с ностояшгыми коэффициентами ищем в виде j/j = а sin (р^--а), Zi=b cos (pt-~а). (7) Подставляя эти значения переменных в уравнения (6) и сокращая затем соответстве1Шо на sin (pt~-7.) и cos (pt-{-т.), получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных: - Apa~[cP-Q/i - Bp]b = Q, \ \сР - Qli - Вр]а - АшрЬ = 0. J Исключая из этих уравнений а и Ь, получаем часготное уравнение А'ту - [ сР - Q4 - Bp - Г' = 0. (9) Корни этого уравнения определяют собственные частоты малых колебаний Ш1шнделя. Если подставить эти корни в уравнения (8), то можно найти отношение амплитуд колебаний Проще всего найти корни уравнения частот (9) следующим образом. Складьшая и вычитая равенства (8), имеем: (сР - QU - Bp- - Ашр) {а + Ь) = О, I (сР - Q/.2 - Bp - А шр) (a - b) = 0.j Отсюда следует, что сунтествует два рода главных или нормальных колебаний ишинделя. Частоты первого главного колебания определяются.из уравнения Bp - Лшр - (сР - Q4) =0. (11) Решая это квадратное уравнение, находим частоты Pi,i ----2S- Так как значения частот (12) не обращают в нуль первый сомножитель в первом из уравнений (10), то им соответствует равенство а-\-Ь = 0 или а = - Ь. (13) Преобразуем эти уравнения, подставив вместо р и f их выражения через у1 и Zy. Тогда получаем: (18) Частоты второго главного колебания находятся из уравнения Bp- -Awp - (гГ - Q/.,) = 0, (14) - Л-.> т- У(А,.Г -\- 4В (сР - UlJ Рл.1 ------2Б- > Так как значения частот (15) не o6pauiaraT в нуль первый сомножитель во втором уравнении (10), то этим частотам соответствует равенство а~Ь = 0 или а = Ь. (16) Замечая, что Pi=~P:u Рг=-~1Ч, (17) заключаем, что существует два типа главных колсба1ЩЙ ротора. Первый тип главных колебаний характеризуется формулами = а| sin ipita-x), Zi = ai cos (Pit--a,). Второй тип главных колебаний определяется выражениями Ух = a.i sin {р4 я), Z\= - 0-2 cos (pt a.j). (19) При колебаниях первого типа точка А будет оппсыпап, окружность вокруг центра, расположенного па оси дг. Вращение точки А будет совпадать по направлению с собствс1ип>1М пращ,епием ротора. Эго движение называется прямой регулярной прецессией. При втором типе колебаний точка А описывает окружность вокруг цепгра, находящегося на оси X, в направленип, обратном собственному вращению ротора. Такое движение называется обратной прецессией. Общее решение дифференциальных уравнений, определяющих свободные колебания ротора, складывается из двух главных колебаний j, = a, siп(я4-Ьa,)-{-o.sin(/7,f а^), \ 2i = а, cos (яН - - 51 cos (/7,а.). / Четыре произвольных hoctoj......>ix интегрирования а о. а а.. определяются по начальным данны.м - значения.м j], Zx, Уъ -i Ри = 0. Если положить в у1)ав11е1шях (11) и (15) угловую скорость собствешюго вращения ротора ш равной нулю, то эти уравнения примут вид В/ -(с/--Q4) = 0. (21) Корни уравнения частот нсвращаюпхегося шпинделя (21) будут: Срапиипая положительные значения собстие1Н1ых частот Hpaniaio-н|,егосч ротора со значением собственной частоты невраниющегося ротора, находим, что они располагаются в следуюи|,ем порядке: Pi>-T-P >Pi- (23) Таким образом, наличие гироскопических сил приводит к удвоению числа собственных частот. С увеличением угловой скорости шпинделя значения частот р^ и pi все больше и больше отли- Р,Л чаются от ве.шчи1Н.1 o (рис. г). Следует заметить, что отринательные значения корней частотных уравнений приводят к решениям, линейно зависимым от выше найденных, и, такнм обра-зо.м, не вносят ничего нового. 2. Влияние вязкого т р е и и я и г и [) о-с к о ii и ч е с к и X сил на д о г о тела с д в у .м я  К задачи -451. свободные колебания твер-степенями свободы. В пункте Р этого 1131)агра([за было рассмотрено влияние гироскопических сил па свободные колебания системы с двумя степенями свободы. При ;-)iom ие учитывались диссипативные силы, которые в виде вязкого сопротивления среды, сухого трепня и внутреннего трения в мате[)иале всегда сопутствуют ДЕШжению. Из всех разновидностей диссипагивных сил, учитывая сравнительную простоту математических выкладок и значительное распространение этих сил в технике, мы рассмотрим только си.ты вязкого трения. В добавление к тому, что бы.то скагано в пункте Г'относительно составления ;шф4>ере1ишальп[.1Х урапнений малых колебаний системы, следует учесть при составлении главного момента внешних сил и момент сил вя:п(Ого трения. Эти силы считают пропорциональными первой степени скорости и направ.тенными прямо противоположно скорости. Покажем, как учитывается влияние вязкого трения па примере peuieiHw задачи о малых колебаниях шпинделя перетепа. Задача 455. В условиях задачи 4Г)4 определить малые колебания иши1гделя веретена, полагая, что силы низкого трения создают ио- и относительно оси z менты: относительно оси у равиьтй равный ;- jl , где и - некоторый постоянный коэф([)ициенг. 614 УСТОЙЧИВОСТЬ Р\ВП0ВР.СИЯ и МАЛЫЕ ДВИЖР.ИИЯ СИСТЕМЫ 1гл. ХИ1 Р е Ml с и и е. Согласно теореме об изменении главного момента количеств движения шпинделя относительно осей у, z, имеем; \Aw-B}\ = dQf,y,-\- 1)у,. Внося в эти уравнения значения Р и -у, получеппые в предыдушеМ влдаче, получаем дифференциальные уравнения малых колебаний ншинделя в виде Иг, - А<оух ni, -Y {сР - Q/.,) г, = О, Н}\ -- Лш, -- пух -\-(сГ - Qli)yi = (). . , . . () Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений введем комплексную переменную Х = лГ-j-/ ),. Умножая второе уравнснпе из (2) на i и складывая его с первым уравненнем (2), находим: ВХ -; - (rt -1- i.4o)) X -f {гГ - Q/.,) X = 0. (3) Составляем характеристическое уравнение Bs 4- (л + / До) + (сР - QI,) = 0. (4) Находим корни характеристического уравнешгя: - (и -, M.,o L V ( f/Ло.Г - \ЯОГ' 01,} 5 о -----Tjj-------. (О) Сокращенно эти корни могуг быть записаны в виде - (п /Ио)) I- у , ! lb, 5 .,-------------- -, (t)) где а, = п- - /\-и) - 4fi (с/- - QL), b, = 2iiAw. Согласно формуле Муакра для дробного показателя можно определить два значения \/а, ] ibi. = : 1/р (cos -L i sin ), (7) где р ---- /й; -- = у [п' - Aw - АВ {с1 - Q/,)\ -f 4/г'М%)\ ft, 2iiM §5 ПЛИЯПИЕ ГИРОСКОПИЧР.СКИХ СИЛ ГИГ) Таким образом, \йу -\- iby = Oj -L= = У -i { /I - Л'<л- - 4fl (гЯ - g/.,)p-j-4nM--)-ni-/ia3>-4S {cl-~Ql.,)] f y; Следовательно, корни характеристического уравнения могуг быть н[)едставлен1>1 в виде Тогда обн1,ее рен1ение уравнения (4) будет-. l = Cie>-Cie-. (10) Здесь С\ и C.j - комплексные постоянные величины вида C, = D,-;-Шп, Ci = D-\-iDi. (11) Подставляя эти значения произвольных постоянных в (10), получим: ). = (D, Шз)..- . (cos -i-1- / sin ) -r H - (D, -1 - /D4) [ cos f - г sin ). (12) Отделяя в этом уравнении вещественную и мнимую части, находим исходные переменные j; г,: Ц^Н- о, COS Ч- L е-( -г-.) 2Д| sm t -Di COS -ЦЬ/ 1. 2, = e-f -iJ (D, COS - t - D3 sin Чут/ ) +
Замечая, что всегда nai, что следует из (8), заключаем, что координаты нн-жнего конца ишинделя убывают с течением времени. Свободные колебания шпинделя под влиянием вязкого трения затухают. 3. Вынужденные колебания твердого тела с двумя степенями свободы с учетом гироскопических сил. При составле1ши дифференциальных уравнений в этом случае движения может быть использована теорема об изменении главного 6 If) УСТОЙЧИВОСТЬ РЛЕИОВЕСИЯ И МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (ГЛ. XMI момента количеств движеть Выражения для главного момента количеств лвиже1Н1я, приведенные в ну1и<те 1 этого параграфа, определенные уравнениями (2*), сохраняют силу. В отличие от ранее рассмотрен}1ЫХ случаев малых колебаний, в главный момент внепжих сил отиосительпо неподвижных осей входит момент возмущающих сил. Наиболее распространенным в тех1пп<е видом во.змущающих сил, действующих на твердое тело, вращающееся вокруг оси, являются силы, вызванные неуравновешенностью ротора. При peincHHH задач на определение вынужденных колебаний твердого тела с двумя с т е п е и я м и с в о б о д ы при действии гироскопических сил рекомендуется с л е д у ю HI а я последовательность действий: 1) выбираем неподвижную и подвижную системы координат; 2) составляем пыр;гжения для глав1К)го момсч1та ко;н1честв движе-1и1я тела и главного момента ihicuhhix сил относительно неподвижных осей координат; .S) находим д^:ф(lJepeнциaльныe уравнения малых колебаний, нол1>-зуясь теоремой об изменении главного момента количеств движения; 4) ищем частное решение системы дифференциальных уравнений, определяющее вынужденг;ые колебания системы; о) определяем критические угловые скорости ротора, при которых возникает явлс1те резонанса; 6) находим предельные значения искомых переменных при неогра-пичепном возраста1щи угловой скорости вращения ротора. Покажем, как исследуются В[.п1у:кденные колебания ротора, вызванные собственной неуравнопешешюстью, на следующих примерах. Задача 456. Определить вынужденные колебания шпинделя веретена в условиях задачи 4;)4, если на 1и>1соте b над неподвижной точкой О (рис. а), на расстоянии е от геометрической оси к ротору прикреплена малая масса т. Ввиду малости массы т, пренебречь ее влиянием на изменение положения центра тяжести ротора и на изменение его моментов инерции. Р е щ е и и е. Составим дифференциальные уравне1шя движения ротора, пользуясь теоремой об изменении глаппо10 моме1тга количеств движения. Моменты относительно неподвижных осей дают реакции нижней упругой опоры, сила тяжести и сила F, реакция связи, удерживактщей массу иг на роторе, (ила F по величине равна = (1) Она лежит в плоскости, параллельной yz, составляя угол <s=:oi с осью, параллельной Оу и проходящей через точку, где находится масса т. Моменты этой силы относителыю неподвижных осей yz будут: гПу {F) = - wrcoe sin wt, т, (F) - mfs?eb cos wt. (2) Тогда, согласно теореме об изменении главного момента количеств движения, находим: ~[Aw~Bi] = - ciQ -fj Zi - пш eh sin [Л(07 В^\= (cl - Q j yi -L OTcoVA cos <x>t. Внося ранее полученные значения р, f в эти уравнения, имеем: - yio)j)i + {сР - Q4) г, = - ти)еЫ sin wf, Йу1 -1- Л (oil -г - Q4) Jl = - ти:?еЫ cos tof. Частное решение сисгемы линейных неоднородных дифференциальных т  l i Асимптота теЬ1   К задаче 456. уравнений, определяющее вынужденные колебания ротора, ищем в виде: у у - li, cos ai, zi = (I, sin (of. (5) Подставляя эти знамения yi, Zi в уравне1щя (4) и сокращая соответственно в первом уравнении на sin to!, а во втором уравнении на cos (at, получаем: Ai 4it -L- [ср - QL, - /50)1 г/, = - даш-ей/. Общее решение дифференциальных уравнений (4) складывается из общего решения этих уравнений без правой части и частного 1)С1не1шя неоднородного уравнения. Общее решение системы однородных уравнений было найдено в задаче 454. Складывая это решение с частным решением (о) и учитывая (7), находим уравнения движения нижнего конца ротора под действием возмущающей силы вызванной неуравновешенностью Ух=ах sin (/>4--я,)--а5 sin (/7,-J-a.j)-- Zi - а, cos (Pit -{- a-i) - a, cos {pii -- cos 0)/, sin wt. Реп1ая полученную систему линейных уравнений, определяем неи.ч-вествые . т^ЧЫ Таким образом, при вынужденных колебаниях точка А будет описывать окружность радиуса г = вращаясь с угловой скоростью о) и 11аправле1ши собстве|П10го вращения ротора. Ось ротора при этом будет огшсывать круговой конус с вершиной в неподвижной точке О. Вынужденным колебаниям, вызванным неуравновешенностью ротора, соответствует прямая прецессия ротора с угловой скоростью со, равной по величине собственной угловой скорости ротора. Если ! 0/.2Ло)--(7, то вынужденные колебания нижнего конца 1)отора и возмущающая сила совпадают ио фазе, если же Вш---\-Qli<iA4i-\~cl, то они находятся в противоположных фазах. В условиях задачи неуравновепюнность ротора не может вызвать вынужденные колебания, соответствующие обратной прецессии ротора. Если неограниченно увеличивать угловую скорость собственного вращения ротора, то из уравнения (7) определится предельное значение радиуса окружности, описываемой нижним концом ротора: теЫ Шг,= (8) Зависимость величины амплитуды колебаний нижнего конца ротора от угловой скорости ротора представлена на рис. б (для случая, когда 7?]>,4) и рис. в (для случая, когда А'В). При построении графиков принято [rl --QLi)0. Зная радиус окружности, описываемой нижним концом ротора, можно найти радиус окружности (амплитуду колебаний), онисываемсИ любой точкой оси ротора. Так, например, для центра тяжести имеем: §5] ПЛИЯПИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ спл 619 Это penienne получено без учета сил сопротивления, препятствующих колебаниям ротора. Как бы малы ни были силы сопротивления, они ведут к быстрому затуханию свободных колебаний, определяемых первыми двумя слагаемыми в правой части уравнений (10). Поэтому при изучении колебаний, вызванных неуравновешенностью ротора, в установившемся режиме можно опустить первые два слагаемых н правой части уравпений (10). Рассмотрим критические скорости врашегшя ротора. Приравнивая нулю Определитель системы уравнений (6), находим частотное уравнение (Л(о^ -\- сР - Ql-i - Вш) (Д(о - сР -f Qli + fl(o*) = О, (11) откуда получаем два уравнения: (Л fi)(0*-}-c/ -Q/.j = 0, (A-Lfi)(o-2 f/2 Q/.j:=0. (12) Эти уравнения не имеют общих корней (за исключением о) = 0, что соответствует отсутствию гироскопических сил), в чем легко убедиться, сложив их. Из уравнений (12) определяются критические угловые Скорости вала: Таким образом, у ротора две критические скорости врапьения. Сравнивая значения этих критических скоростей со значением собственной частоты невращающегося роторе (задача 454), находим: u)/)y(o.j. Вращение ротора, удваивая число критических скоростей, делает одну из них меньше, а вторую больше собственной частоты невращающегося ротора. Если числитель в подкоренном выражении для критических скоростей положителен c/-Q/,>0, (15) то при Й^Д существуют две критические скорости. Если же В<А, то одно значение критической скорости остается вещественным, второе становится мнимым. Как следует из уравнения (7), при вынужденных колебаниях ротора, вызванных неуравновешенностью, возникают резонансные колебания, соответствующие только одной критической скорости. Эта скорость отвечает обращению в -нуль знаменателя правой части (7) (В-Д) ) -(cr-Q7i,) = 0. (16) Это значение критической С1сорости идентично ш, (13). Резонансных колебаний, соответствующих второму значению критической скорости (14), ири условиях настоящей задачи возникнуть ие может. Задача 457. В условиях задачи 454 определить 1п.Н1ужденные колебания ротора, если на него действует возмущающая сила F, направленная параллельно оси у и приложенная па расстоянии а от неподвижной точки О. Проекция возмущающей силы на ось у изменяется соглаС1Ю формуле / = td cos to, (1) где Го - наибольшее з[1ачеиие возмущающей силы, U) - угловая скорость собствешюго вращения ротора. Р е ш е II и е. Составим дифференциальные уравнения движения ро-теоремой об изменении главного момента  К задаче \Ы. тора, воспользовавшись количеств движения: Fa cos wt. Внося II уравнения (2) значения p и находим: Вг, - АЩ1 - {сГ- - QL) = О, Лсог[ +(с/- - Q4) V = -Год/ cos Частное решение уравнений (3), определяющее вынужденные колебания ротора, ищем в виде J/, = Zi cos ш! , Zx-dysxw wt. (4) Подставляя (4) в уравнения (3) и сокраи1ая соответственно па cos wt и sin wt, получаем: Aw% -f {cl - Q4 - Bw) dl = 0, (cl- - - Bw) bi -j- Л CO lrfi = 0, ) 4i=-FaL J Из уравнений (5) определяю 1Ся значения fif, и й,: di== bi Fnl (cl- - QI, - liai-) 1 ... 58 59 60 61 62 63 64 ... 66 |
 |
 |