|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Спроектируем эти скорости на ось х, проходящую через точки-А В н С: Cjc = AxVaCx. Вращательные скорости точек v и v направлены перпендикулярно отрезку АС, вдоль которого направлена ось х. Следовательно, Поэтому Vabx = и Одс^ = 0. Vg = = Vj или Bb = Cc = Аа. Следствие 2. Концы скоростей точек свободного твердого- тела, расположенных на отрезке прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками. Так как вращательные скорости vb и Vjq пропорциональны расстояниям точек В и С от мгновенной оси вращения Й, а следовательно, и отрезкам АВ и АС, то точки А, by q расположены на прямой. KpoMf того, по построению AA, = b,B, = cfi, и АА,\\Ьф,\\с,Су Следовательно, 11 = *1 и Aф.\\Abl, Afiy = Ac- и Afi-\\Acy Поэтому точки Ау Bj и Cj лежат на одной треугольников АСс- и АВЬ^ имеем прямой, лежат на одной:  Ас АС Abi ~~ АВ или Рис. 329. прямой. Из подобиш т. е. точка В^ делит отрезок А^С^ на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками тела. Следствие 3. Скорости точек свободного твердого тела расположенных на прямой, параллельной мгновенной оси, геометрически равны. Проведем прямую, параллельную мгновенной оси вращения тела, проходящей через полюс О, и определим скорости точек А н В тела, лежащих на этой прямой (рис. 329): Va = Vo J-Vo/, Vb = Vo + Vob. Вращательные скорости vqj и Vq равны и параллельны, так как равны и параллельны перпендикуляры АК и BL, опущенные из точек Л и 5 на мгновенную ось. Стороны параллелограммов, определяющих скорости точек Л и В, соответственно равны и параллельны, следовательно, скорости точек А к В геометрически равны, т. е. Ув = Уд. § 121. Независимость векторов угловой скорости и углового ускорения тела от выбора полюса Для того, чтобы установить независимость вектора угловой скорости твердого тела от выбора полюса, примем за полюсы две различные точки тела Oj и О2. Обозначим в ! и ( >2 векторы угловых скоростей вращения тела вокруг мгновенных осей, проходящих через эти полюсы. Проведем радиусы-векторы Tj и Гг в произвольную точку М тела яз этих полюсов (рис. 330). Определим скорость точки М в зависимости от скорости каждого полюса: vv. + WiXri: (а) v = V+W2Xr2. (б) Выразим скорость второго полюса \д через скорость первого полюса; Рис.330. Здесь Tq - радиус-вектор полюса О2 относительно полюса О,. Используя эту зависимость н приравнивая два выражения (а) и (б) скорости V, получаем  или Vo, + 0)1 X г, = -4- Ml X Го + 0)2 X Г2 0)iX(ri -ro) = W2X Гг. Так как г у - Tq = т^, то имеем Wl X Г2 = 1в2 X Г2 (ад, -(1)2) X Г2 = 0. Это равенство имеет место при любом значении т^, т. е. для любой точки тела, а потому **1 - (Я2 = 0, т. е. (i)i = W2, (121.1) Таким образом, вектор угловой скорости твердого тела не зависит от выбора полюса. Дифференцируя по времени равенство (121.1), получаем = илие.е^. (121.2) т. е. вектор углового ускорения твердого тела не зависит от выбора полюса. Общие для всех полюсов угловую скорость ад и угловое ускорение 8 называют угловой скоростью и угловым ускорением тела. Направление мгновенной оси вращения тела в данный момент времени вполне определенно и одинаково для всех полюсов. При перемене полюса изменяется только скорость составляющего поступательного движения. § 122. Теорема об ускорениях точек свободного твердого тела Докажем теорему об ускорениях точек свободного твердого тела. Ускорение точки свободного твердого тела равно геощтри-ческой сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения точки и ее враш,ательного ускорения, определенных относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящих через полюс. Пусть известны ускорение точки О, которую примем за полюс, угловая скорость w тела вокруг мгновенной оси и его угловое ускорение 8 (рис. 331). Чтобы доказать теорему, называемую теоремой Ривальса для свободного твердого тела, определим ускорение произвольной точки М тела. Для этого воспользуемся выражением скорости точки М свободного тела (120.2): v = Vo+w X г. Определим ускорение точки М как производную по времени от скорости v: dv dv d dr Здесь -=0 -ускорение полюса О; Xr = 8Xr = w - вращательное ускорение точки М относительно оси углового ускорения Е, проходящей через полюс О; Поэтому * X (w X г) == Wq - осестремительное ускорение точки М относительно мгновенной оси вращения 2, проходящей через полюс О. (122.1) Таким образом, ускорение любой точки свободного твердого тела определяется построением многоугольника ускорений. Вращательное ускорение точки тела w направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через ось углового ускорения Е и данную точку М тела в такую сторону, чтобы, смотря навстречу ускорению w, видеть поворот углового ускорения S к радиусу-вектору г на наименьший угол против движения часовой стрелки. Модуль вращательного ускорения точки тела равен произведению модуля углового ускорения тела е на hE = MKi - расстояние точки от оси углового ускорения Е: Осестремительное ускорение точки тела направлено по перпендикуляру МК2> опущенному из точки М на мгновенную ось вращения 2. Модуль осестремительного ускорения точки тела равен произведению квадрата модуля угловой скорости тела на Л2 = Л1АГ2 - расстояние от точки до мгновенной оси вращения 2, проходящей через полюс:  Рис. 331. Вопросы для самоконтроля 1. На какие составляющие движения можно разложить движение свободного твердого тела в общем случае и как сии зависят от выбора полюса? 2. Как определяют скорости точек свободного твердого тела? 3. Как связаны между собой скорости точек свободного тела, расположенных иа отрезке произвольного направления, и на отрезке, параллельном мгновенной оси? 4. Покажите, что векторы угловой скорости и углового ускорения свободного тела не зависят от выбора полюса. 5. Как определяют ускорения точек свободного твердого тела? ГЛАВА XVIII СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ § 123. Относительное, переносное и абсолютное движения точки Составное движение точки (тела)-это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Например, составное движение совершает лодка, переплывающая реку, пассажир, перемещающийся в вагоне движущегося поезда или по палубе плывущего парохода, а также человек, перемещающийся по лестнице движущегося эскалатора. Составным является и движение шаров С п D центробежного регулятора Уатта <рис. 332), вращающегося вокруг вертикальной оси, когда при изменении нагрузки машины шары удаляются от этой оси или приближаются к ней, вращаясь со стержнями АС и BD вокруг шарниров Л и S. Рассмотрим движущееся тело А (рис. 333) и точку М, не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему   Рис. 333. некоторое движение. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси х, у, z. Систему осей Oxyz называют подвижной системой отсчета. Неподвижной системой отсчета называют систему осей Orf связанную с некоторым условно неподвижным телом, обычно с Землей *. Движение т'очки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением точки. * При выводе формул скорости и ускорения составного движения точки пользуются координатами точки в подвижной системе отсчета. В связи с этим в отличие от принятого в § ИЗ и 119 обозначения осей, здесь удобнее неподвижные оси обозначать £, ij, С, а подвижные оси х, у, г. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной споростью и абсолютным ускорением точки и обозначают V и W. Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точка. Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью,и относительным ускорением точки и обозначают и w- Движение подвижной системы отсчета Oxyz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета 0]tiS является для точки М переносным движением. Точки тела А, совершая различные движения, имеют в данный момент различные скорости и ускорения. Скорость и ускорение точки тела А, связанного с подвижной системой отсчета, совпадающей в данный момент с движущейся точкой, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают Vg и w. Например, если человек идет вдоль радиуса вращающейся платформы (рис. 334), то с платформой можно связать подвижную систему отсчета, а с поверхностью Земли - неподвижную. Тогда движение платформы является переносным, движение человека по отношению к ней - относительным, а движение человека по отношению к Земле - абсолютным. Переносной скоростью человека и его переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки платформы, где находится в данный момент человек. Движение точки М (рис. 333) по отношению к неподвижной системе отсчета, которое названо абсолютным движением, является составным, состоящим из относительного и переносного движений точки. Основная задача изучения составного движения состоит в установлении зависимостей между скоростями и ускорениями относительного, переносного и абсолютного движений точки. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором р, проведенным в точку М из начала этой системы О,. Изменение радиуса-вектора р характеризует абсолютное движение точки. Положение точки М относительно подвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором г, проведенным в точку М из начала этой системы О, или тремя координатами X, у, Z ъ этой системе. Согласно § 80, имеем  Рис. 334. t = \x-\-\y-\-z. Изменение радиуса-вектора г или координат х, у, z точки М характеризует относительное движение точки. Таким образом, уравнения относительного движения точки имеют вид х = Л(0, У = Л(0. (123.1) 2 = /з(0. . Изменение радиуса-вектора р^, проведенного из начала неподвижной системы координат 0 в полюс О, характеризует абсолютное движение полюса. § 124, Теорема о сложении скоростей Докажем теорему о сложении скоростей для составного движения точки, состоящего из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz и переносного движения вместе с этой системой в случае, когда подвижная система отсчета связана с твердым телом, совершающим произвольное движение в пространстве (рис. 335). Согласно § 119, движение свободного твердого тела в общем случае состоит из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и сферического движения вокруг этого полюса. Таким образом, само переносное движение является сложным, представляющим собой совокупность поступательного движения подвижной системы вместе с точкой О (полюсом) и сферического движения во- Рис, 335, круг этого полюса. Это сферическое движение в каждый момент можно рассматривать как вращение подвижной системы с угловой скоростью (0 вокруг мгновенной оси 2, проходящей через полюс О. Во все время движения точки радиусы-векторы р, р^ и г связаны зависимостью P = Po + r = Po + (i + Jy + kz). (124.1) Вектор абсолютной скорости точки М  Дифференцируя выражение (124.1) и учитывая, что орты 1, j, к подвижной системы Охуг, оставаясь неизменными по модулю, вращаются вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Wj, получаем  (124.2) Производная от каждого орта по времени представляет собой линейную скорость точки, для которой этот орт является радиусом-вектором (рис. 336) Рис. 336. Но каждый орт вращается вокруг мгновенной оси 2, и вращательная скорость его конца определяется согласно (94.2) векторным произведением, т. е. А = ><,Хк. Следовательно, dk , Таким образом, будем иметь -§ = M,Xi. i = ),Xj. -J = ),Xk. (124.3) Подставляя (124.3) в (124.2), получаем v==+-.X(i.+Jy+k.)-b(i-SH-j-+-k). Здесь - = Vq-скорость полюса О; i-+j --k- = iVr+jVry + kU = v, - относительная скорость точки М. Поэтому v = VoH- )eXr + v,. (124.4) Переносная скорость точки, как указывалось в § 123. представляет собой скорость точки, связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М свободного твердого тела. Скорость этой точки на основании (120.2) состоит из скорости полюса О и вращательной скорости точки вокруг мгновенной оси Qg, т. е. v,=:Vo-hu>,Xr. (124.5) На этом основании формула (124.4) принимает вид v = v+v,. (124.6) Это равенство выражает теорему о сложении скоростей, которая формулируется так: Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей. Эту теорему называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей. Как видно, в рассматриваемом случае составного переносного движения переносная скорость точки сама определяется как диагональ параллелограмма, построенного на скорости полюса Vq, и вращательной скорости точки o)g X г вокруг мгновенной оси 2, (рис. 335). В случае поступательного переносного движения скорости всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент геометрически равны. Поэтому переносная скорость точки М равна скорости полюса и формула (124.5) принимает вид Очевидно, что в этом случае абсолютная скорость точки М также определяется по формуле (124.6). Так как абсолютная скорость точки v определяется диагональю параллелограмма, построенного на переносной скорости и относительной скорости Vf, то ее модуль можно вычислить по формуле: V = Vvl-hvJ-{-2vvcos(Vg, v). (124.7) § 125. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) Для Определения абсолютного ускорения точки в случае непосту-гательного переносного движения, описанного в § 124, воспользуемся выражением абсолютной скорости точки в этом лвцженш (124.2): dp /rfl , dj , dk \ , (, dx dy , , dz di d] dk \ I, dx dy dz\ *- dt \dt Абсолютное ускорение точки М (125.1) Дифференцируя выражение, определяющее V, и приводя подобные члены, получаем dv dp IdH d] dk \ + V dt J dt dt V dt dt dt dt {dt)- Ha основании (124.3) имеем S = (1) = ( .X 1) = X I + , X§ = .,X.-H X( .XI). Аналогично -§ = e,XJ4- .X(o).XJ). -е^Хк + ю.ХКХк). 1) ---==Wo - ускорение полюса О; Рассмотрим отдельные слагаемые выражения, определяющего w: dt /1ц di dk 2) i+yH- = [®.Xi + ),X(t >.Xi)l-f + [е, X j + О). X (w, X j)l У + [е, X к + О), X ( . X к)] г = = е, X (Ь + jy Ч- к2)Ч- О), X О), X (1 + jy + kz)] = =:eXr + a),X(w,Xr); djc dv dz ) + = f-* + iry + к-гг- = - относи- тельное ускорение точки; di rfjc , dj rfy , dk d2 Л dx dy dz\ )-di4f+-di--df+-w-4f=e>c[ -wmr+-din = X {iv, -yiv.y + kv ) = X V,. Подставляя эти выражения в формулу (125.1), получаем W = Wo + X г + X (О). X г) -f W, + 2 (О), X v,). (125.2) Переносное ускорение точки, как указывалось в § 123, представляет собой ускорение точки, связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М свободного твердого тела, ускорение которой состоит из ускорения полюса Wq, вращательного ускорения w = sXг и ее осестремительного ускорения ос у ед г^, определенных относительно осей и 2, проходящих через полюс О: w, = Wo + e,Xr + ,X(o).Xr). (125.2) 1 ... 32 33 34 35 36 37 38 ... 44 |
 |
 |