Навигация

Главная » Мануалы

1 2 3 4 5 6 7 ... 44

ные модулям сил, т. е.

(13.1)

Отсюда по известному свойству пропорции можно получить: АС ВС АСВС

или

ВС АВ

(13.2)

Равнодействующая R двух параллельных сил Pj и Pg противоположного направления (рис. 47, б) имеет направление большей по модулю силы и модуль, равный разности модулей этих сил. Точка С приложения равнодействующей лежит на продолжении отрезка АВ за точкой приложения большей силы, нэ расстояниях от точек Л и В, обратно пропорциональных модулям приложенных в них сил, т. е.

R = Pi-P2,

ВС АВ

(13.3)

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил Pj и Pj называется парой сил.

Пара сил не имеет равнодействующей, однако силы пары, не лежащие на одной линии, не уравновешиваются, а стремятся произвести вращение тела, к которому они приложены, в направлении движения часовой стрелки (рис. 48, а) или противоположно ему (рис. 48, б).


Рис. 48.

Пара сил, не имея равнодействующей, очевидно, не может быть уравновешена силой.

Расстояние d между линиями действия сил, составляющих пару сил, называется плечом пары. Понятие пары сил введено в механику Пуансо.



Теорема. Сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра в плоскости действия пары не зависит от выбора этого центра и равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на плечо пары.

Момент силы Р прид.9женной в точке А, относительно произвольной точки О (рис. 49)

Mi = P,Ofl=Pi(06 4-fiO.

Момент силы Р2, приложенной в точке В, относительно точки О

Сумма моментов сил пары относительно произвольно выбраннвй на плоскости точки О равна:

м,+м,=р,оь +

-Pd - p20b = Pd.

Эта сумма, не зависящая от положения центра и равная произведению модуля силы на плечо пары, определяет момент пары сил.

Момент пары положителен, если пара стремится повернуть плоскость чертежа против движения часовой стрелки, и отрицателен - в обратном случае.

Таким образом, моментом пары сил называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо пары-

M=±Pd. (13 4)


Рис 49

§ 14. Теорема о возможности перемещения пары сил в плоскости ее действия

Пара сил, полученная путем перемещения заданной пары в любое положение в плоскости ее действия, эквивалентна заданной паре сил

Пусть к твердому тему приложена пара сил Р, Р' с плечом АВ (рис. 50). Покажем, что не изменяя кинематического состояния тела, пару можно перенести в плоскости ее действия, совместив ее плечо с произвольно расположенным отрезком CD, где CD = AB

Для этого в точках С и D восставим перпендикуляры к отрезку CD и продолжим их д® пересечения с линиями действия сил заданной пары в точках К, Е, L, (- вершинах ромба. Перенесем силы пары в вершины А и L и приложим в этих точках по две противоположно направленные силы Рр Pj, Р3, Р4, равные по модулю Р и направленные по прямым, перпендикулярным к отрезку CD. Построим в точке К на силах Р и Pj и в точке L на силах Р' и Рз параллелограммы равных по модулю сил, т. е. ромбы.



Полученные равнодействующие Rj и R2 взаимно уравновешиваются, так как они равны по модулю и направлены до диагонали ромба KELI в противоположные стороны. Перенеся оставшиеся силы Р, и Р4 по их линиям действия в точки С и D, получим пару


Рис. 50.

сил в требуемом положении. Полученная пара сил эквивалентна заданной, так как при доказательстве теоремы системы сил заменялись только эквивалентными системами.

§ 15. Теорема об условии эквивалентности пар

Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы но знаку, эквивалентны.


Рис. 51.

Пусть даны пары сил Р, Р' с плечом АВ, равным и Q, Q с плечом CD, равным d<i, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку (рис. 51).



Так как

MPd, M = Qd2 и М^ = М^,

Pd, = Qd ли- = ?-. (15.1)

Продо.чжим отрезок АВ и от точки В отложим отрезок BE = = CD = 2- Приложим в точке Е взаимно уравновешивающиеся силы Qi и Qj. по модулю равные Q и направленные перпендикулярно к прямой BE. Сложив силу Р, приложенную в точке А, с силой Qj, приложенной в точке Е, получим параллельную им равнодействующую R (см. § 13), равную по модулю P-Q, приложенную в точке В, так как по условию (15.1) именно эта точка делит отрезок АЕ на части, обратно пропорциональные модулям сил Р и Q-

BE di Р АВ di ~ Q

Тогда в точке В будут приложены две силы R и Р', направленные по одной прямой в противоположные стороны. Равнодействующая этих сил по модулю равна их разности и направлена в сторону R. Сила Qj в точке В составит с силой Qj в точке Е пару сил, которую, согласно § 14, можно перенести, совместив ее плечо с отрезком CD.

Таким образом, рассматриваемая пара Р, Р' с плечом АВ будет заменена эквивалентной ей парой Q, Q с плечом CD, имеющей момент той же величины и того же знака, как и момент пары Р, Р'.

Примечание. Основным параметром пары сил является ее момент. Силы пары, приложенной к твердому телу, можно изменить, изменив одновременно ее плечо так, чтобы величина момента не изменилась; полученная пара будет эквивалентна заданной.

§ 16. Теорема о сложении пар на плоскости

Момент пары сил, эквивалентной рассматриваемой системе пар на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Пусть на твердое тело одновременно действуют несколько пар:

Pi. Pi; Р2. Р2; Рз. Рз. плечи которых равны rfj, dj- з-

Возьмем на плоскости произвольный отрезок длиной d (рис. 52) и заменим, заданные пары эквивалентными парами Qj, Q; Q, Q; Qj, Qg с общим плечом d. Найдем модули сил экв(1валентных пар из соотношений:

Ali = P,rfi = Q,rf; MrPd.Qd; =-Pd, =-Q,d.



Сложив силы, приложенные к каждому из концов отрезка АВ, найдем модуль их равнодействующей:

Равнодействующие R, R составляют пару сил, эквивалентную системе заданных пар. Вычислим момент этой пары.

Если к твердому телу приложены п пар, то момент эквивалентной им пары определится по формуле

уИ==гуИ1+Л12+ ... +Ж„ или M = Mi, (16.1)

т. е. момент эквивалентной пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.


Рис. 52.

В случае равновесия системы пар на плоскости момент равнодействующей пары равняется нулю.

Условие равновесия пар на плоскости формулируется так: Пары на плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю

М^ = 0. (16.2)

§ 17. Примеры на применение условия равновесия пар на плоскости

Пример 8. Груз весом G = 50 н подвешен к канату, намотанному на барабан радиусом г =10 см. Барабан удерживается парой сил, приложенных к концам рукоятки длиной /= 1,25 м, скрепленной



с барабаном и лежащей в одной плоскости с веревкой. Определить реакцию оси О барабана и силы пары Р, Р', если они перпендикулярны к рукоятке (рис. 53а).

Решение. Рассмотрим равновесие сил, приложенных к барабану: заданной вертикальной силы веса G, пары, составленной силами Р и Р', и реакции цилиндрического шарнира О, модуль и линия действия которой не известны. Так как пару сил может уравновесить только пара, то силы G и R, должны составлять пару сил, уравновешиваемую парой Р, Р'. Линия действия силы G известна, реакцию Rq

шарнира О направим параллельно силе G р р п противоположную ей сторону (рис. 52)6).

Модули сил должны быть равны, т. е.

/?о = о=з50 к.

Алгебраическая сумма моментов двух пар сил, приложенных к барабану, должна быть равна нулю:

2m = 0; -р/ + ;?ог = о,

где / - плечо пары Р, Р', г - плечо пары О, Rq.

Находим модули сил Р и Р':

Рис. 53а.

Рис. 536.

50 0,1 1,25

:4 к.


Рис. 54э.

Пример 9. Балка длиной ЛБ=10 м имеет шарнирно-неподвиж-ную опору А и шарнирно-подвижную опору В с наклонной опорной плоскостью, составляющей с горизонтом угол а = 30°. На балку действуют три пары сил, абсолютные величины моментов которых равны imj]=:8 кн-м; )72!== 10 кн-м; Жз = 7 кн-м. Определить реакции опор (рис. 54а).

Решение. Рассмотрим равновесие сил, приложенных к балке АВ: трех заданных пар сил, реакции опоры R, направленной перпендикулярно к опорной плоскости, и реакции опоры R, линия действия которой не известна. Так как заданная нагрузка состоит только из пар сил, то реакции опор R и должны составить пару сил, уравновешивающую заданные пары. Направим реакцию R параллельно

Рис. 546.

реакции R, чтобы силы R и R составили пару, направленную в сторону, обратную движению часовой стрелки (рис. 546).



Воспользуемся условием равновесия четырех пар сил, приложенных к балке:

2j = 0; -IMil + IMjl -Л1з| + /?д/г = 0. где Л = ЛВсо530°. Отсюда находим:

АВ cos 30

/3 /3

Знак плюс в ответе указывает, что принятое направление реакций опор Кд и совпадает с истинным.

/?д==/?д = 0,58 кн.

ГЛАВА IV

СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

§ 18. Приведение силы к заданному центру

Для сложения сил, произвольно расположенных на плоскости, следует применять метод, предложенный французским ученым Пуансо, заключающийся в приведении сил к заданному центру. Рассмотрим сущность этого метода.


Рис. 55.

Дана сила Р, приложенная в точке А (рис. 55,а). Опустим из центра О перпендикуляр на линию действия силы Р и определим ее момент относительно этой точки:

Приложим в точке О взаимно уравновешивающиеся силы Р' и Р , параллельные силе Р и равные ей по модулю (рис. 55,(У). Тогда получим силу Р , геометрически равную силе Р, приложенную в центре приведения, и пару сил, составленную силами Р и Р', момент которой M = Pd равен моменту силы Р относительно центра



приведения О. Таким образом, метод Пуансо заключается в замене силы Р эквивалентной ей совокупностью - геометрически равной ей силой Р , приложенной в центре приведения, и парой сил с моментом, равным моменту силы относительно центра приведения (рис. 55,а).

§ 19. Приведение системы сил, произвольно расположенных на плоскости, к силе и паре. Главный вектор и главный момент

Применим метод приведения силы к заданному центру к сложению сил, произвольно расположенных на плоскости (рис. 56). Пусть даны силы Pi, Рз и Pj, приложенные в точках А-, А2 и Лд. Примем за центр приведения произвольную точку О и приведем все силы


Рис. 56.

к этому центру. Складывая силы Р/, Р2, Рз по правилу многоугольника, получим их равнодействующую R*, равную геометрической сумме сил Pj, Pg, Pg:

r = Pl + P24-P3

Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил.

Складывая пары сил Pj, Pj; Р2, Р2; Рз. Рз. моменты которых равны моментам сил Р^, Р^, Р3 относительно центра приведения О, получим эквивалентную им пару сил. Момент этой пары:

Ж = /И,

уИ,

где



Как видно, момент пары сил, эквивалентной системе пар, появившихся в результате приведения сил к центру О, равен главному моменту рассматриваемой системы сил относительно центра приведения. Распространяя полученные результаты приведения данной системы сил на п сил, имеем:

r = Pj-P2+...+р„, или г = 2р.;

ж = Л1о = уИ14-уИ2+ . . . -ЬЛ1 , или уИ=2.-

Таким образом, силы, произвольно расположенные на плоскости, можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения, равной главному вектору данной системы сил, и к паре сил с моментом, равным главному моменту этой системы сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора, но влияет на величину и знак главного момента.

Модуль и направление главного вектора плоской системы сил определяются по способу проекций так же, как определяется модуль и направление равнодействующей сходящихся сил (см. § 10):

cos (Г, i) = ; cos (Г, j) = .

§ 20. Возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости

Рассмотрим возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости.

Случай I. R* = 0; M = 0.

В этом случае силы взаимно уравновешиваются.

Случай II. R* = 0; МфО.

В этом случае заданная система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту сил относительно центра приведения. Если система сил приводится к паре сил, то главные моменты данной системы сил относительно всех точек плоскости равны по величине и совпадают по знаку.

Случай III. R*0; Л1 = 0.

В этом случае заданная система сил приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору сил, линия действия которой проходит через центр приведения. Действительно, если сила R*, равная главному вектору, при отсутствии пары эквивалентна данной системе сил, то она является равнодействующей этой системы сил.

Случай IV. ИСФО; МфО.

Покажем, что в этом случае заданная система сил также приводится к одной силе - равнодействующей данной системы сил.



Пусть, например, данная система сил приведена к силе R* = 2iPt приложенной в центре приведения О и к паре сил с моментом

Ж = 2,0 (рис. 57,а).

Выберем силы пары R*, R равными по модулю R*. Тогда плечо этой пары следует взять равным

М

Одну из сил пары R* приложим в точке О, направив ее противоположно главному вектору R* (рис. 57,6), тогда как другую силу

Линия ЭейстЗия равнадейстбут^й


Рис. 57.

пары R приложим в точке К на отрезке OK = d, отложенном перпендикулярно к линии действия силы R* в ту сторону, чтобы пара R*, R стремилась вращать плоскость чертежа против движения часовой стрелки. Силы R* и R*, приложенные в центре приведения О, как равные и противоположно направленные, уравновешиваются, и рассматриваемая система сил приводится к одной силе R, равной главному вектору сил и приложенной в точке К- Эта сила является равнодействующей данной системы сил (рис. 57,а).

На основе рассмотренных выше случаев приведения можно сделать следующий вывод.

Если силы, произвольно расположенные на плоскости, не уравновешиваются, то ах можно привести или к одной силе или к паре сил.

Теорема Варииьона о моменте равнодействующей плоской системы сил. Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Определим момент равнодействующей силы R, приложенной в точке К< относительно произвольно выбранного центра приведения О (рис. 57,8).

Mo(R) = /?fi?,



1 2 3 4 5 6 7 ... 44