Навигация

Главная » Мануалы

1 2 3 4 5 ... 44

Следует учитывать то, что направление равнодействующей по контуру силового многоугольника противоположно направлению обхода контура этого многоугольника, определяемому направлением первой силы.

Сходящиеся силы уравновешиваются в том случае, если их равнодействующая равна нулю, т. е. многоугольник сил замкнут (рис. 21):

или

2р,= о.

В замкнутом многоугольнике сил все силы



Рис. 20.

Рис. 21.

направлены по контуру многоугольника е одну сторону.

Частный случай. Три сходящиеся силы уравновеши-лаются, если треугольник этих сил замкнут.

Все задачи на равновесие сил, приложенных к некоторому телу (точке) решаем по следующему плану:

1. Показываем действующие на тело задаваемые силы

2. Мысленно освобождаем тело от связей, заменяя их действие соответствующими силами - реакциями связей.

3. К полученной системе сил применяем условия равновесия, соответствующие этой системе.

4. Определяем искомые величины.

§ 6. Примеры на построение замкнутого треугольника сил

Пример 1..На гладкой наклонной плоскости АВ, образующей с горизонтом угол а =30 , при помощи веревки DE, параллельной плоскости АВ, удерживается одтзртздный шар tftam G-=A н Определить давление шара на плоскдогв if JtdCPB*-

2 А А Яблонский



Решение. Решаем задачу по изложенному плану, рассматривая равновесие сил, приложенных к шару.

1. Показываем действуюш.ую на шар, задаваемую силу-вес шара G, приложенный в центре шара (рис. 22,6).

2. Мысленно освобождаем шар от связей, заменяя действие связей их реакциями. Связями для шара являются наклонная плоскость АВ, реакция которой приложена в точке соприкасания К и направлена перпендикулярно к плоскости, и веревка DE, реакция которой направлена вдоль веревки.


Рис. 22.

3. К шару приложены три сходящиеся силы: вес шара G, реакция N плоскости АВ и реакция Т веревки DE. К этой системе сил применяем условие равновесия трех сходящихся сил, т. е. строим замкнутый треугольник этих сил. Для этого откладываем заданную силу G (рис. 22,в). Из конца b силы G следует провести прямую, параллельную линии действия либо реакции Т, либо реакции N. Проведем из конца b силы G прямую, параллельную реакции Т. тогда из начала а силы G должна быть проведена прямая, параллельная другой реакции N (рис. 22,в). Точка пересечения с проведенных прямых является третьей вершиной треугольника сил. Стороны треугольника должны иметь такое направление, чтобы все силы G, Т и N были направлены в одну сторону по обходу контура треугольника.

4. Из треугольника сил, определив его углы, находим модули искомых реакций:

7 = Osin30°=4.i-=2H; Л/= G cos 30° = 4

3,46 .

Найденные реакции Т и N прикладываем к шару (рис. 22,6). Давление шара на плоскость и сила, растягивающая веревку, по модулям равны найденным реакциям, направлены противоположно им и приложены в точках D п К к плоскости и к веревке (на рисунке эти силы не указаны).



Примечание. Условие равновесия всегда применяется к системе сил, действующей на одно тело. Поэтому всегда определяются не давления тела на опоры, а реакции опор, которые вместе с задаваемыми силами действуют на рассматриваемое тело.

В примере 1 условие равновесия применялось к силам, действующим на шар, а потому определялись приложенные к шару реакции опор, а не давления шара на опоры.

Пример 2. Кран состоит из цепи АВ=\,2 м и подкоса СВ= 1,6 м, прикрепленных к вертикальной стойке в точках А и С, причем АС- 2Л м- В точке В подвешен груз весом 0 = 30 кн. Определить усилия S- в цепи и 2 в подкосе (рис. 2Ъ,а).




С

Рис. 23.

Решение. Решаем задачу по общему плану, не выделяя его отдельных пунктов. Рассматриваем равновесие трех сил, приложенных к узлу В: заданной силы G и реакций цепи и подкоса Si и S2> линии действия которых совпадают с отрезками АВ и СВ (рис. 2Ъ,б). Строим замкнутый треугольник аЬс этих сил (рис. 23,в). По треугольнику сил определяем направления реакций Sj и S2- Приложив найденные реакции к узлу В (рис. 2Ъ,б), устанавливаем, что растянута только цепь, а подкос сжат. Так как стороны треугольника сил и треугольника ABC соответственно параллельны, то эти треугольники подобны. Из подобия следует:

G Si s2

АС ~ АВ

СВ

Из этих равенств определяем искомые усилия:

= 30

= 15 кн; 2 = 0 = 30

= 20 кн.

- ЛС ~ 2,4 - 2 jQ - - 2,4

Пример 3. Груз весом 0 = 518 н подвешен в точке D к канату ADE, участок которого AD составляет с горизонталью угол 30°, а участок DE - угол 45°. В точке А канат привязан к вертикальному столбу АВ, поддерживаемому подкосом АС, наклоненным к горизонтали под углом 60°. Определить натяжение каната на участках AD и DE и усилия в столбе и подкосе (рис. 24а).

Решение. В этой задаче следует рассматривать отдельно равновесие сил, приложенных к каждому из узлов D и Л. На узел D



действуют заданная сила G и реакции Tj и частей каната DB и AD, а на узел А - реакция Тг каната AD, а также реакции столба и подкоса Sj и S2 (рис. 24,6). Прикладываем к узлу D заданную силу Q и строим замкнутый треугольник сил G, Tj, действующих на этот узел (рис. 24,в). Определив углы треугольника сил, по теореме синусов находим:


sin 15° откуда

sin 45°

7, sin 45°

2 -iuHF

sin 120°

0,707

= 518 =

Рис. 24й.

=1414 н,

sinl20°

= 1732 н.

0,259

0,866 0,259

Затем строим треугольник сил Тг, Si, S2, приложенных к узлу Л, откладывая прежде всего реакцию Та каната AD, которая по модулю.


равна реакции Тд, приложенной к узлу D, а по направлению противоположна ей (рис. 24,г). Из равнобедренного треугольника сил находим:

Si = Та =1414 н.

52 = 72

sin 120° ~ sin 30°

sin 120° ... 0,866 Sin30° - 0,5 - 44У к.

Приложив все найденные силы к узлам D я А (рис. 24,6), устанавливаем, что столб АВ сжат, а подкос АС растянут.



§ 7. Теорема о равновесии трех непараллельных сил

Линии действия трех непараллельных, взаимно уравновешивающихся сил пересекаются в одной точке.

Пусть к твердому телу в точках Лз и Лз приложены три непараллельные взаимно уравновешивающиеся силы Pj, Pj, Рз (рис. 25). Так как силы Pj и Pj расположены в одной плоскости, то эти силы можно перенести в точку О пересечения их линий действия и определить их равнодействующую R, которая будет приложена в этой же точке. Так как по условию силы Pj, Pj и Pg,

уравновешиваются, то силы Pg и R должны быть равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, линия действия силы Pg проходит через точку О, что и требовалось доказать.

Примечание. Если две заданные силы Р, и Ра параллельны, то, как известно из элементарного курса физики, линия действия уравновешивающей силы Pg параллельна линиям действия заданных сил и находится от линий действия этих сил иа расстояниях, обратно пропорциональных модулям сил.


Рис. 25.

§ 8. Примеры на применение теоремы о равновесии тр£х непараллельных сил

Пример 4. Рама АВ весом 0=1,5 кн может Ьращаться вокруг оси шарнира Л. Центр тяжести рамы С определяется по условию АС = 2СВ. Рама удерживается под углом а = 45° к горизонтали веревкой BDE, к концу Е которой подвешен груз Р. Участок BD горизонтален. Определить вес груза Р и реакцию шарнира Л при равновесии сил, пренебрегая трением на блоке (рис. 26. а).

Решение. Решаем задачу по изложенному выше плану, рассматривая равновесие сил, приложенных к раме АВ (рис. 26, б).

1. Показываем действующую на раму заданную силу - вес рамы G, прикладывая его в центре тяжести С.

2. Мысленно освобождаем раму АВ от связей, заменяя их действие соответствующими реакциями. Реакция веревки Т приложена


Рис. 26а.



В точке В и направлена по прямой BD, реакция шарнира R приложена в точке А, но линия действия ее не известна.

3. К системе трех уравновешивающихся сил G, Т, R, приложенных к раме, применяем теорему о равновесии трех непараллельных сил.

Линии действия сил О, Т, R должны пересекаться в одной точке. Находим точку К пересечения линий действия сил G и Т; через эту же точку должна пройти линия действия реакции R; определяем эту линию, соединяя точки А и К- Строим замкнутый треугольник трех сил, -сходящихся в точке К (рис. 26,в).


В


Рис. 26,<?, в, г.

4. Определяем искомые величины, т. е. реакции Т и следующим образом. На рис. 26,6 строим треугольник ALK, стороны которого соответственно параллельны сторонам треугольника сил. Определяем стороны треугольника ALK-

Обозначаем AL = I. Так как а == 45°, то

CL = AL = l; CKBooACLA;

отсюда имеем:

КС СГ

св кс

АС CL

СВ 2СВ

KC=~CL~l;

AKVAL-KLy P-P=l.

Треугольник сил abc подобен треугольнику AKL. Стороны треугольников пропорциональны.

Ж - KL - АК I



Определяем модули искомых реакций опор:

Прикладываем к раме все действующие на нее взаимно уравновешивающиеся силы: заданную силу G, реакцию веревки Т и реакцию шарнира (рис. 26г).

При отсутствии трения на блоке D натяжение веревки на участках BD и DE должно быть одинаково и равно весу груза Р. Таким образом, вес груза определяется:

Р = Т= \ кн.

Пример б. Определить реакции шарниров А и В трехшарнирной арки АСВ, изображенной на рис. 27а, вызванные горизонтальной силой Р=40 кн.


Рис. 27а.

Решение. Трехшарнирная а:рка представляет собой систему двух тел, соединенных между собой ключевым шарниром С и прикрепленных к земле шарнирами А и В. На арку действуют тр№ уравновешивающиеся внешние силы: заданная сила Р и реакции шарниров и Нд, линии действия которых не известны. Так как не известны линии действия двух сил, то определить эти силы по теореме о равновесии трех непараллельных сил Р, и невозможно.

Но арка представляет собой систему двух тел. Расчленяем ее и рассматриваем равновесие сил, приложенных к каждой части арки.

К правой части арки (рис. 27,в) приложены две силы: давление левой части в точке С и реакция шарнира В. Эти две силы уравновешиваются, следовательно, они направлены по одной прямой в противоположные стороны и равны по модулю. Находим их линии действия, соединяя точки В и С.

К левой части арки (рис. 27,6) приложены три силы: заданная сила Р, реакция шарнира А, линия действия которой не известна, и давление Правой части в точке С, действующее по прямой ВС, так как



согласно аксиоме действия и противодействия взаимное давление частей в точке С равно по модулю и противоположно по направлению. К системе трех сил Р, R,-, R применяем теорему о равно-


Рис. 276, в, г. д.

весии трех непараллельных сил. Находим точку К пересечения линий действия сил Р и R и через эту точку проводим линию действия реакции R (рис. 27,6). Строим замкнутый треугольник этих сил (рис. 27г).



треугольник сил abc подобен треугольнику АКВ. Определяем стороны треугольника АКВ Так как СО - ОВ, то / KBD = 45 и DB = KD = 2 м.

AD := АВ - DB = 6 м,

KB=:YkD-\-DB = yj+l = 2 1/2 м;

АК = Уad+kd = 136 + 4 = 2 /То м;

ЛВ = 8 м.

Определяем модули искомых сил:

А .

Р-АК АВ

Р-КВ АВ

= i°= 10110 =31.6 кн,

40.2 К2

= Ю/г = 14,1

К левой части арки (рис. 27,прикладываем действующие на нее силы Р, Ra, Rc- к правой части прикладываем действующие на нее силы Rc и Rb. При этом по аксиоме равенства действия и противодействия имеем -rc=:Rc, т. е. по модулю Rc - Rc=4,\ кн, а по направлению Rc противоположно R,.

По аксиоме равновесия двух сил имеем Rb = - Rc. i. е.. Rb = Rc~ = 14,1 кн, a направление R противоположно направлению Rc-

§ 9. Проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси на плоскости

Взяв две взаимно перпендикулярные оси х и у, силу Р можно разложить на две составляющие силы Р^ и Ру, направленные параллельно этим осям (рис. 28).

Силы Р^ и

Ру называются компонен-

тами силы Р по осям X и у.

Обозначив i и j - единичные векторы, направленные по осям х и у, аЛиК - проекции силы на эти оси. получим Р = Р + Ру. но P = iA. а Py = jK. Поэтому

P = iAH-jK. (9.1)

Это равенство представляет собо формулу разложения силы на составляю- Рис. 28.

щие по осям координат.

Из прямоугольных треугольников Aad и Abd имеем:

= Pcos(P, i); F = Pcos(P, j).


(9 2)



где CP, 1) и (Р, j) - углы, заключенные между направлением силы Р и направлениями осей хну (единичными векторами i и j).

Угол отсчитывается от оси по направлению движения часовой стрелки или против, чтобы величина его не превышала 180 при любом направлении силы.

Р 1л



к

Рис. 29.

Выражения (9.2) показывают, что проекция силы на ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлениями оси и силы.

При вычислении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи (рис. 29):

1. Проекция положительна:

а<90°: = Pcosa.

2. Проекция равна нулю:

а = 90°; A==Pcos90° = 0.

3. Проекция отрицательна;

а>90°; ==Pcosa = -Pcosp.

где Р - острый угол между линией действия силы и осью.

При решении задач рекомендуется вычислять абсолютное зна-чение проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу.

Если известны проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси jc и у, то модуль и направление силы Р определяются по следующим формулам:

Р = у'Х2 + К2.

cos(P. 1) = ; cos(P. i) = -

(.3)



1 2 3 4 5 ... 44

Всегда возможно купить оси блоков у РегионТехСервиса.