Навигация
|
Главная » Мануалы Проинтегрировав это уравнение, будем иметь: Р \п{а.%с) = ~х^С. (5) Так как в начальный момент x=Qw .x = v, то С= - л 1и (а--р'Ио). После подстановки значения С в урапиение (о) получим: Для определения искомого пути s, пройденного лодкой от начального момента времени до момента, соотвстствуюи|,его уменьшению начальной скорости v в три раза, надо в уравнение (6) подставить: x = s, x = Тогда g? За + Интересно отметить, что при заданной силе сопротивления движению лодка никогда не остановится. Действительно, подставив в уравнение (4) , = 0 и i - -, получим т: = сю. Предел соответствующего пути, пройденного лодкой, можно определить из уравнения (6). Учитьшая, что пройденный путь s= lim.v и lim jc = 0, находим: Задача 232. Измерение глубины реки производится с помои1ью груза, опускаемого на тросе в поду до дна реки. При опускании груза со скоростью Ио tjioc оборвался, и груз достиг диа через Т секунд после момента обрыва троса. Определить путь , пройденный грузом до дна реки, если проекция на ось х силы сопротивления воды движению груза равна определим искомый промежуток времени Т, по истечении которого скорость лодки стала в три раза меньше начальной: Для определения пути s, пройденного лодкой за промежуток времени Т, вернемся к диффереппиальному уравнению (1). Умножим d к его на dx. Учитывая, что хdx~.-~dx = x dx, после отделения пе-ремен1н.1Х получим: Р d.t Rx = - kmx, где т - масса груза, х - проекция его скорости на ось X, k - постоянный коэффициент. Ось х направлена по вертикали вниз. Силой выталкивания груза из воды пренебречь. Решение. Возьмем начало отсчета О в положении груза, соответствующем моменту обрыва троса. К грузу приложены следующие силы: р - вес груза, r-сила сопротивления воды движению гру:!а, направленная в сторону, противоположную дви--= жению, т. е. по вертикали вверх. Составим дифференциальное уравнение дви--- жения груза в проекции на ось х: у mx = P+R. (1) Так как Rx = - kmx, то Sig-kx. Таково дифференциальное уравнение движения груза, которое следует дважды проинтегрировать для определения пути, пройденного грузом. Заменив и уравнении (2) х на ц отделив ire-ременные, имеем:-- = й?Л После интегрирова- ния находим: - l-\n(g~kx) = t-Q. К задаче 232. Для определения постоянной интегрирования С(, подставив в уравнение (3) = 0 и ;i=Va, получим, что С, = --j-\п (g - kVa). Внеся это значение Q в урав- нение (3), находим: к g - kx Уравнение (3), устанавливающее зависимость проекции скорости груза от времиш, является первым интегралом дифференциального уравнения движения груза. Заменив в уравнении (4J л; на и отделив переменные, получим: к После интегрирования находим: Подставив в уравнение (5) ==0 и д: = 0, получим, что Сч = = - -Подставив это значение Q в уравнение (5), находим закон движения груза: к-2 / - - Для определения пути И, пройденного грузом до дна реки за промежуток времени 7\ надо в уравнение (6) подставить t-7,x=li. В результате получим, что Задача 233. Парашютист в момент раскрытия парашюта имел скорость направленную вертикально вниз. Найти уравнение движения парашютиста, если проекция на ось х силы сопротивления движению равна Rx = -krnx, где т - масса парашютиста, X - проекция па ось х его скорости, - П0СТ0Я1ШЫЙ коэффициент. Ось х направлена по вертикали вниз. Движение парашютиста рассматривать как движение материальной точки. Решение. Возьмем начало отсчета на оси х в месте раскрытия парашюта. Запишем начальные условия движе1шя: О при =0 X-Q, X = Vo. Изобразим материальную точку но время движения на расстоянии х от начального положения. Вес парашютиста обозначим Р. К парашютисту приложены к задаче 233. следующие силы: р - пес его, J?-суммарная сила сопротивления движению, направленная в сторону, противоположную движению, т. е. но вертикали вверх. ( оставим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х: р Lx-.pJrR.. Так как R - -kmx\ то Таково дифференциальное уравнение движения. 44 дифференциальные уравнения динамики точки (гл. \чи Записав x=-J и отделив в уравнении (1) переменные, находим: dt. (2) Ивпегрируя уравнение (2) и учитывая, что g-k-.i- 2 1g \ уgkX- yg - kxJ получим: ln-=2kV gt-yQ. (3) Подставив в уравнение (3) начальное условие (при < = 0 х - ь^), получим, что С| = 1и - -. Теперь уравнение (3) принимает вид У g - liVu ([g + kv ){yg-k.i) [ешив это уравнение относительно х, получим: У к ( yg 4- kv ) е- я - (yg - - kv ) X - - . или Для интегрирования уравнения (4) следует за.менить х: па и отделить переме1Н1ые. Ввиду того, что правая часть уравнения (4) имеет громоздкий вид, затрудняющий интегрирование, запишем уравнение (4) в гиперболических функциях, воспользовавшись формулами: е'-\- 1 2е'chz, t- -l2e shz. Теперь уравпепие (4) принимает вид X = Kgsliffe ygt)-<rkVoCh(k Ygt) к ygzh{k ygt) + kv,sh{k y~gt) dx Vg(fe Vh) + kv ch{k Ygt) Ч ygz\\(k Ygt) + kv, sh (k Ygt) Нетрудно видеть, что числитель дроби, стоящий в правой части ура1Ч(€пт:я (й), является производной от знаменателя дроби, делевшой Х = 7тг In k- на kYg- Поэтому получим: X = Is In \Vg ch {k Vgt) -f kv, sh {k Y~gl)\ + C,. (7) Подставив в уравнение (7) начальное условие (при = 0 л: = 0), видим, что С<1 = - o-lnVg . После подстановки этого значения Сч в уравнение (7) получим искомое уравнение движения парашютиста: ch ф Vgt) + sh (Л Vgt)]. (8) Определим величину, к которой стремится скорость парашютиста, совершающего длительный спуск с большой высоты, т. е. вычислим предел X при ->-оо. Для этого воспользуемся формулой (5). Разделив почленно числитель и знаменатель правой части на ch(k\/g(), находим: х= -С^ Vgt)-\-kv, + kv th (ft у it) Учитывая, что lim th{k~[/gi)= \ , получим, что lim x = т. е. при длительном спуске диижение парашютиста приближается к равномерному со скоростью, не зависящей от начальных условий движения. Задача 234. Вертикальный спуск парашютиста происходит без начальной скорости с высоты при наличии силы сопротивления, указанной в условии предыдущей задачи. Определить скорость парашютиста в момент приземления. Решение. Для определения скорости парашютиста в момент приземления нецелесообразно повторить решение предыдущей задачи, так как при интегрировании по времени мы находим проекцию скорости X и координату х в виде функций времени. Пришлось бы из уравнения движения определить момент времени 7 , соответствующий спуску на высоту Д затем полученное значевше 7 подставить в х для определения искомой скорости. В данной задаче удобнее получить х в зависимости от х, т. е. выразить проекцию скорости парашютиста в зависимости от его положения X и затем, подставив х = Н, определить искомую скорость v. Для определения зависимости х=/(х) следует применить прием, заключающийся в умножении левой и правой частей дифференциального уравнения движения на rfx. Зто быстро приводит к результату, причем интегрировать диф|{1еренциальное уравнение движения - 1п(.?-= (2) В начальном положении парашютиста, т. е. при х = 0, скорость его, по условию задачи, равнялась нулю, т. е. х = 0. Подставив эти значения в уравнение (2), находим, что После подстановки полученнО|-о значения С уравнение (2) принимает вид 01 куда jj=;-Ff,4i--*). (3) Уравнение (3) определяет проекцию скорости парашютиста в зависимости от его положения. Для нахождения скорости парашютиста в момент приземления надо в уравнение (3) подставить: х=Н, x - v. Тогда V/(l-e-2*= ). Как было указано, тот же результат, но более громоздким способом можно получить с помощью формул, выведенных при решении предыдущей задачи. Действительно, запишем формулы (о) и (8), полученные в предыдущей задаче, положив в них V(, - Q. Тогда x = }.th(kVh). (4) x = l,\nchik\gt). (Г,) приходится только один раз (в предыдущей задаче для определения закона движения x=f{t) мы осуществляли интегрирование дважды). Для применения указанного выше приема запишем дифференциальное уравнение (1), полученное при решении предыдущей задачи, в виде xdx{g-k4)dx. (1) Учитывая, что х dx = dx - х dx, и отделив переменные в уравнении (1), получим: Проинтегрировав это уравнение, находим: Обозначив через Г продолжительность спуска парашютиста с высоты Н, из формулы (5) имеем: ch (ЛК.?Г) = е* . Так как iHkVgT)-=±, Искомую скорость определим из формулы (4), положив в ней = Т, x = v. Воспользовавшись формулой (6), находим: Задача 235. Камень брошен вертикально вверх со скоростью Определить, на какой высоте Н от поверхности Земли скорость камня уменьшится в два раза, если проекция на ось х силы сопротивления движению r равна: = -kmx, где т - масса камня, х - npoeii-ция на ось X его скорости, А' - постоянный коэффициент. Ось X направлена по вертикали вверх. Решение. Возьмем начало отсчета па оси х на поверхности Земли в начальном положении камня. Начальные условия движения имеют вид: при = 0 jKr=0, x = v (1) Вес камня обозначим через Р. К камню приложены следующие силы: р - его вес, r-сила сопротивления движегтю, направленная в сторону, противоположную движению, т. е. по вертикали Составим дифференциальное уравнение движения камня в проекции на ось х: -© mx-P-R так как = - kmx, то О (2) К задаче 235. По условию задачи требуется определить положение камня в зависимости от его скорости. Поэто.му применим прием, использованный в предыдущей задаче, т. е. левую и правую части дифференциального уравнения (2); умножим па dx: xdx = - (£-\-kx)dx. 48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ [ГЛ, \ЧН Учитывая, что хdx = хdx, н отделив переменные, перепишем уравнение (3) так: Проинтегрировав это уравнение, найдем: ,\n(g-k4) = -xC. (4) Воспользовавшись начальЕъгми условиями движе1шя (1), получаем: Подставив это значение в уравнение (4), находим: Уравнение (о) выражает зависимость между положением камнл и его скоростью. Для определения высоты Н подъема камня, соответ-ствуюптеМ уменьшению его начальной скорости в два раза, надо в уравнение (5) подставить х = Н, х - .-. Тогда Задача 236. Определить условия, выполнение которых обеспечивает движение материальной точки в плоскости. Р е HI е н и е. Расположим оси хну на плоскости, в которой находится траектория материальной точки. Тогда z-0, откуда i=0 (1) и >- = 0. (2) Запишем систему дифференциальных уравнений движения материальной точки и проекциях на оси декартовых координат: п п п тх wy= 2 Fky, тг= Воспользовавшись условием (2) находим: п п п * I k--] k=i Из последнего уравнения следует, что проекция на ось г равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, равна нулю: О = 0. Выясним достаточность этих условий. Иусть в начальный момент точка находится в плоскости ху, т. е. 2 = 0, начальная скорость точки лежит в той же плоскости, т. е. = 0, и равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, лежит в той же плоскости, т. е. R,= tk.-O. Достаточно ли выполнения этих условий для движения материальной точки в плоскости ху? Дифференциальные уравнения движения материальной точки в данном случае принимают вид: п п тх = Р^, ту = 2 Fky, mz = 0. Из последнего дифференциального уравнения находим i = Ci. Так Kaic iQ = U, то Ci = 0 и, следовательно, U. Тогда z - Ci. Но так как z,\ = Q, то Ci = 0 и, следовательно, z - Q. Из нолучещюго результата 2 = О следует, что движение материальной точкгг происходит в плоскости ху. Итак, для осуществления движения материальной точки в плоскости необходимо и достаточно, чтобы начальная скорость точки и равнодействующая сил, нриложснных к этой точке, лежали в одной плоскости. Задача 237. Человек бросает камень из точки, расположенной на высоте h над поверхностью Земли, сообп|,ив ему горизонтальную начальную скорость Dq. Определить уравнение траектории камня, дальность полета и скорость в момент падения на Землю. Силой сопротивления движению и кривизной Земли пренебречь. Решение. Выбранная система осей декартовых координат изображена на рисунке. - начальное положение камня. Изобразим ка.мепь во время движения в промежуточном положении М. Вес камня обозначим Р. К камню приложена лишь одна сила - его вес р, направленный но вертикали вниз. Так как начальная скорость и сила р лежат в вертикальной плоскости ху, то движение к.1мня происходит в этой плоскости. п /=2Fj, = 0, т. е. равнодейству1ои,ая расположена в плоскости, * = в которой происходит движение точки. Из условия (1) i = (J следует, что проекция скорости точки па ось Z равна пулю, т. е. скорость точки расположена в плоскости, в которой происходит движение точки. Следовательно, начальная скорость точки лежит в той же плоскости, т. е. дифференциальный уравнения динамики точки [ГЛ. VIII Поэтому достаточно составить два дифференциальных уравнения движения в проекциях па оси х vi у. Запишем начальные условия движения камня: при = 0 дг = 0, y = h, x = v, }i = Q. (Довольно часто, решая подобные задачи, ошибочно прикладывают к материально!! точке некую движущую силу, направленную но касательной к траектории в данной точке в сторону движения. Движение камня по траектории, отличной от вертикальной прямой, происходит в результате сообщения камню в начальный момент скорости Фо- К залаче 237. Начальная скорость г^о является результатом толчка, имевшего место в течение весьма малого промежутка времени, равного тысячным долям секунды. За начало отсчета времени принимают момент конца толчка, когда камень приобретает скорость Фо- Это указание следует учитывать при решении задач о полете нули, снаряда и т. д. Так, сила давления nopoxoBbix газов на пулю или снаряд проявляется в сообщении им начальной скорости.) Составим дифференциальные уравнения движения камня в проекциях на оси X л у: тх -.= О, ту = - Р, или х - 0, - - g- 1 2 3 4 5 6 7 ... 66 |