|
|
|
Навигация
|
Главная » Мануалы Дано: в начальный момент точка находится на оси л:, т. е. j;o = ,г„ = = 0, начальная скорость точки нанравлена вдоль оси х, т. е. = = i(i = 0, равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, направлена вдоль оси х, т. е. А I А 1 Требуется выяснить, достаточно ли выполнения этих условий для прямолинейного движения точки iдоль оси х? В данном случае дифференциальные уравнения движения материальной точки принимают вид: Из второго дифференциального уравнения т^ = 0 находим, что у = С\. Так как jo = 0. то Q - O и, следовательно, J = 0, откуда y=:Ci. Так как У(,= 0, то d - O и, следовательно, j/ -0. Аналогично, из третьего дифференциального уравнения имеем г-=0. Из полученного результата yz=zz=0 следует, что материальная точка движется вдоль оси х. Итак, для осуществления прямолинейного движения материальной точки необходимо и достаточно, чтобы начальная скорость точки и равнодействующая сил, приложенных к этой точке, лежали на одной прямой. Задача 227. В речуль-таге полученного толчка кирпич начал скользить вниз с начальной скоростью 2 MJceK но иенодвиясной ленте конвейера, расположенной под углом а = 30 к горизонту. Определить путь S, пройденный киргжчом за промежуток времени z = 2 сек, если коэффициент трения скольжения кирпича о ленту конвейера равен /=0,4. Кирпич считать точечной .массой. Решение. Направим ось х вдоль наклонной лепты конвейера вниз. Возьмем начало отсчета на оси х в начальном положении кирпича, рассматриваемого как материальная точка. Начальная скорость щ направлена вдоль оси х вниз. Следовательно, начальные условия днижения имеют вид: при = 0 х=0, xVq.  К задаче 227. Обозначим вес кирпича через Р. К кирпичу, являющемуся не-свободЕЮй -материальной точкой, приложена одна задаваемая сила - его пес р. Применив ириииип освобождаемости от связей, отбросим мысленно наклонную ленту конвейера, заменив ее действие па кирпич соответствуюи|,е1 силой реакции. Эта сила реакции имеет две со-став.-;яю;цие: нормальную составляющую - силу [еакщш r, перг:ен-дикулярпую к плоскости .тенты, и силу трен.ия скольжения кирпича о ленту конвейера, направленную в сторону, противоположную движсЕЩЮ, т. е. вдоль лент л конвейера вверх. Запишем диф4)ере1Щиальное уравнение движения материальной точки в проекции па ось х: п к = I В дагиюм случае получим: р - .v = Л sin а- F-, ir т. с Так как по закону сухого трения =/yV=/P cos а, то после сокращения на Р находим: J;=:(sina-/cos а). (1) Для интегрирования дн(зфсренциалыюго уравнения движения заменим X на После отделения неремешнях получим: dx = g(s\n 3. - / cos а) dt. Пронтегрировав, имеем: x = (sin а-/cos а)-!-С|. (2) Соотношение (2) является первым интегралом дифференциального ур;!внения движения (1). Для 0Е1ределе1Н!я постоянной интсЕрировання С] нодстзЕшм в уравнение (2) начальное условие .движения (при Ь= О x - v), откуда следует, что Ci=v. Полученное значение С, подставляем в уравнение (2): x = Vo-\-gis\na-J coss.)t. (3) Для определения закона движения кнрЕШча заменим в уравнении (3) X 3. После отделения перемеши.ЕХ находим: dx - VQdt-g{s\n а-/cos j.)tdt. Проинтегрировав, получим: x = v,t + I g(sin a-/cos а) f Q. (4) Постоянная пнтегрироваЕшя d определяется после подстановки начальных условий движения в (4) (при t - 0 х - 0), откуда имеем, что 0-1 = 0. Внося это значение Cj в (4), получаем уравнение движения кирпича x = Vai-\-g(sma-fcosa)i. (5) Для определения искомого пути s, нроНденного за -с секунд, следует в уравнении (5) положить t = х. Тогда s = Vo. --(sina - /cos я) После подстановки численных значений получим 5=7,02 м. Если бы при peuieHHH этой задачи мы направили ось х вдоль ленты конвейера вверх, то начальные условия движения приняли бы вид: при t = 0, х = 0, x = - V(,. В дифференциальном уравнении движения изменились бы знаки: - х = - Я sin а--с т е. л- = -gisins.-/cos;:). Повторив решение этой задачи, мы последовательно получим: x - - g(i\n а -/cos а) -j- С Ci = -Х'о, л- = -fWo-§-(sin а-/cos а)]; С, с to--g(sin а -/cos я) = 0, jc = - Du-;-(sin а-/cos а) J, о' -rSlsiH 5. - /cos 7.) , с = - 7,02 .и. Знак минус указывает, что кирпич расположен в отрицательной части оси X. Так как ось х направлена вверх, то это значит,
К задаче 228. что кирпич опустился вдоль ленты конвейера вниз, пройдя путь, равный 7,02 м. Задача 228. Груз веса Р, находившийся к покое на гладкой горизонтальной плоскости, начниасг двигаться под действием горизонтальной силы, проекция которой па нанравлеиную но горизонтали 2 TeopcTiiiccKaii механика, том и направо ось х равна Иi\r\ kt, где Н и k - постоянные вели- чины. Найти закон движения груза. Решение. Возьмем начало отсчета оси ,v в начальном положении груза. Учитывая, что в начальный момент груз находился в покое, запишем начальные условия движения: при ==0 дг = 0, x = Q. К грузу приложены следующие силы: р - вес груза, f-движущая сила, r-нормальная сила реакции горизонтальной плоскости. Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х имеет вид lx=F, или jf = ~?sin АЛ Так как х = , то, отделив переменные, имеем: dx = sin kt dt, x=- cos + Ci. (1) Подставив в (1) начальное условие (при t - 0 х = 0), находим, что Ci = . Уравнение (1) после подстановки в него значения Q принимает вид Учитывая, что х = ~-, отделяем в уравнении (2) переменные: rfxJJrf-f cos ktdt Интегрирование приводит к результату: = i--ktJC,. (3) Для определения Q подставляем в (3) начальное условие дви-жевтя (при = 0 x = 0), откуда следует, что = 0. Следовательно, искомое уравнение движения груза имеет вид Как видно из уравнения (4), на равномерное движение груза, про- исходящее по гopи:oнтaли направо со скоростью цакладывае1ся колебание с амплитудой а = и периодом Т- . с- X - Р К задаче 229. направленную по горизонтали направо, равна Sx = kmx, где к' - П0СТ0Я1Н1ЫЙ коэффициент, х - абсцисса, определяющая положение твердого тела. (Сила отталкивания направлена вдоль оси лг.) В начальный момент твердое тело находилось в покое на расстоянии а от начала отсчета. Найти закон движения твердого тела, считая его точечной массой. Решение. Изобразим твердое тело на расстоянии х от начала отсчета О. Но условию задачи начальные условия движения имеют вид: при f = 0 х = а, jc = 0. (1) Просмотреи внимательно решение этой задачи, можно обнаружить, ЧТО равномерное прямолинейное дпижение груза является следствием соответствующих начальных условий движения (наличие в уравнении (2) постоянного слагаемого --°]. Нетрудно подобрать начальные условия движения, при которых груз совершал бы только колебательное движение. Для этого постоянная интегрирования Q должна в уравнении (1) обратиться в нуль. Из уравнения (I) при t = 0 и С,=0 получим jc-o = - Следовательно, если бы в условии задачи было указано, что в начальный момент грузу сообщили налево скорость, равную по модулю, то уравнение (2) приняло бы вид: х = -cos kt, а уравнение движения груза-соответственно х - - sin kt. Итак, от величины начальной скорости зависит характер движения груза. Так как в данной задаче начальное положение груза не было оговорено, то мы выбрали начало отсчета на оси л: в начальном поло-же1ши груза и, таким образом, получили л:о = 0. При выборе начала отсчета на оси х в другой точке мы получили бы х^ Ф 0. Тогда на основании уравнения (3) Сс - х^, и в формулу (4) входит дополнительное слагаемое х^,. Итак, от выбора начала отсчета зависит лишь величина постоянного слагаемого, которое на характер движения груза не влияет. Задача 229. К твердому телу массы т, могущему двигаться вдоль оси X, приложена сила отталкивания, проекция которой на ось х. К твердому телу приложены следующие силы: р - вес груза, r-нормальная сила реакции гладкой горизонтальной плоскости, 5 - сила отталкивания, нанравленная от точки О направо. Дифференциальное уравнение движения твердого тела в проекции на ось X имеет вид тх = Sj.. Так как Sx = kmx, то x~k-x==0. (2) Для решения дифференциального уравнения (2), являющегося линейным уравнением втор010 порядка с постоянными коэффициентами без правой части, составим соответствующее характеристическое уравнение Учитывая, что корни характеристического уравнения оказались вещественными, запишем решение уравнения (1) в виде x=-Qe -Qe- . (3) Для определения постоянных интегрирования Q и Са надо иметь два уравнения. Дифференцируя х но t, имеем: x = Qke - Cike- . (4) Подставив начальные условия (I) в выражения (3) и (4), а затем решив нолучеииую систему у()авнений, находим, что Ci = Q=-. После подстановки значений Q и d в (3) приходим к искомому закону движения твердого тела: x=Ue -r )< (5) который с помощью гиперболического косинуса угла kt можно записать в виде: х = ас\\ kt. Предположим теперь, что горизонтальная плоскость является негладкой. Рассмотрим влияние силы трения скольжения на движение твердого тела, если ко;1ффицие1тт трения скольжения равен /. К силам р, s VI r, приложенным к твердому телу, добавляется сила трения скольжения F,.-fP, направлеппая в сторону, противоположную движению, т. е. по горизонтали налево. При этом F. войдет в правую часть диф:[)еренциальпого уравнения движения со знаком минус. Дифференциальное уравнение (2) примет вид X--kx=-fg. (6) Общее решение х этого неоднородного линейного дифферегши-ального ураннения второго порядка с постоянными коэффициентами равно сумме оби1его реп|ения .г, соответствуюикего однородного уравнения и частного peHjennii x-i уравнения с правой частью, т. с x = Xy--x.i. (7) Общее решение х^ дается выражением (3). Учитывая, что правая часть уравнения (6) является постоянной, wnieM частное решение в виде постоянного, т. е. х^= Л. Подставив это значе1н1е в уравпе- ине (6), находим, что x.i= А - -д. Итак, в соответствии с (1)орму- i\ott (7), общее решение имеет вид Для определения ностоиннььх HHieipHpoiiannsi С, и С, вычислим: х=С,кс - Cikc- . (9) Подставив в (8) и (9) начальные условия (1) и ренжв полученную систему уравнений, находим: Ci=Q = -., \а- i. Внося значения С| и C-i в уравнение (8), получим искомое уравнение движении твердого тела -Й>-ге-)-{5. (10) Г,оноставлС1Н1е формул (10) и (п) приводит к 1!ыводу, что н[)и 1ЫЛИЧИИ силы тре1н1я скольжения ;uижeниe T{icp;u)io тела Оулсг совсри1аться медленнее. Действительно, KOycj([)HUHCHT а~<, сгонщий при £ ~-е' , MCiibHie соответствующего коэ([)фициен- та .Интересно отмстить, что при а-[t = т. е. при значении коэ(к11ициента трения скольжеш! /=f, (Ч) уравнение движения (10) принимает вид Значит, твердое тело находится и покое. Это легко объяснить. Действительно, при fgak имеем JP;:kma. (12) Так как fP=F, а к'Чпа равно модулю силы огталкивания F U начальном положении твердою 1ела при х = я, то неравенстио (12) показывает, что модуль силы отталкивания меньше модуля силы трения скольжения. Следовательно, сила отталкивания не может нарушить покой твердого тела. (Предполагаем, что коэффициент трения скольжения при движении равен коэффициенту трения скольжения при покое.) Задача 230. Груз веса Р прикреплен к правому концу пружины, левый конец которой защемлен в стене. В начальный момент пружина не была деформирована, а грузу, лежащему на 1ори.;оитальной плоскости, посредством толчка сообщили начальную скорость и . к задаче 230. направленную по горизонтали направо. Ось х направлена вдоль оси пружины по горизонтали направо, причем начало отсчета находится в правом конце педеформиронанной пружины. Найти наибольшее смещение груза, если проекция упругой силы пружины равна F = - а.х - jc, где х - удлинение пружины, а х и р - постоянные положительные коэффициенты. Силой трения скольжения груза о горизонтальную плоскость и массой пружины пренебречь. Решение. Запишем начальные условия движения груза: при =0 х=0, x - V(. Изобразим груз во время движения смещенным по оси х направо. При этом пружина pacтянeтc на х. Упругая сила пружины f направлена но горизонтали налево. Ее проекция на ось х равна F=~ = -(aJ-L?x). К грузу приложены следующие силы: р - вес груза, -нормальная сила реакции горизонтальной плоскости, f-упругая сила пружины. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось дг: Jc:= -ох -рл: (1) Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Him;-грирование уравнения ([) для определения уравнения движения груга x-f{t) связано с вычислительными трудностями. Вместе с тем вычис-  К задаче 231. лодки станет в три раза меньше начальной, если проекция на ось х силы сопротивления воды движению лодки равна Г^ = - ajt - где X - проекция скорости лодки, а и - постожшые положительные леиие наибольшего смещения можно легко осуществить, так как для этого достаточно найти зависимость между х ц х а, приравняв затем в крайнем положении груза х нулю, определить искомую величину. Для этого умножим левую и правую части дифференциального уравнения (1) на dx и, учитывая, что Jc dx=dx = xdx, запишем: -xdx:-(a.x-\- х') dx. Проинтегрировав это уравнение, находим: В начальный момент времени л:=0 и x = Vo. Следовательно, С= -у. Теперь уравнение (2) принимает вид g-l g2-~ -> 4-- (К уравнению (3) можно непосредственно прийти с помощью теоремы 06 изменении кинетической ЭЕшргии материальной точки; см. ниже, главу IX, § 6.) В момент, соответствующий наибольшему смещению а, скорость груза равна нулю. Поэтому подстави.м в уравнение (3): х = а, х = 0. Получим биквадратное уравнение относительЕЮ искомого смещения а: Решив это уравнение, находим: Задача 231. В момент выключения двигателя моторная лодка веса р имела скорость v. Через какой промежуток времени скорость 77 =-dt (2) л- (а -i -.рх) Интегрируя дифференциальное уравпегше (2) и учитывая, что х (а - х) а.х- а (а + fijf) будем иметь: In - = -С. (3) Использовав в уравнении (3) начальное условие движения (при t - 0 x - Vq), находим, что Следовательно, уравпепие (3) приьтмает вид Уравнение (4) определяет зависимость между проекцией скорости лодки X и временем t. После подстановки в (4) t-T, х- величины. Ось х направлена по горизонтали направо в сторону движения лодки. Вычислить также путь, пройденгнлй лодкой за этот промежуток времени. Лодку считать точечной массой. Решение. Возьмем нача.ло отсчета на оси х в начальном положении лодки. Начальные условия движения лодки имеют вид: при t = Q x = Q, x = v. Изобразим силы, приложенные к лодке: р - вес лодки, r-суммарная нормальная сила реакции воды, f-суммарная сила сопротивления движению, направленная в сторону, противоположную движению лодки, т. е. но горизонтали палево. Составим дифференциальное уравнение движения лодки в проекции на ось х: так как по условию = - a.v - х\ то -i==-a-V-pA (1) Заменив в уравнении (1) У: на и отделив переменные, получим: 1 2 3 4 5 6 ... 66 |
 |
 |