Навигация

Главная » Мануалы

1 2 3 4 5 ... 66

При х = а, т. е. и крайнем нижнем положении груза, упругая сила f достигает наибольшего 31 ачения:

При прохождении грузом иоломсення ею статического раонопесия, т. е. при .v = 0, упругая сила пружины равна весу гр)за.

Задача 219. Автомобиль веса /-=]200 кг движется по дну оврага с ностожнюй но модулю скоростью г) = 36 км/нас. Определить давление автомобиля на дно оврага и на1ии1зшей точке. 1адиус кривизны траектории р в этой точке равен 50 м. Автомобиль считать точечной массой. Силой сопрогнвления движению пренебречь.

Р е ш е II и е. Воспользуемся осями натурального триэдра, направив ось : но горпзопгали направо и ось п но вергпкали вверх. К автомобилю, принимаемому за точечную массу, приложены две си.ты: вес р н порма.Н)-пая сила реакции r грунта, вертикали вверх.

Применим лифференгшальное уравнение движения материальной точки в Hj)oeKUHn па г.чавпую нормаль /г.

V/. v Р

К задаче 219. направленная вдоль главной нормали по

В да1Н10м случае откуда

4 Р

Подставив численные значения, получим, что 1445 кг.

Искомое давление автомобиля на дно оврага направлено противоположно силе нормальной реакции r и равно ей по модулю.

Задача 220. Определить, с какой скоростью должен двигаться искусственный спут1Н1к Зе.млп на высоте /г = 900 км, если орбиту сну Т1нн<а можно приближенно принять за окружность, центр которой



совмещен с центром Земли. Радиус Земли = 6370 км. Ускорение силы тяжести на поверхности Земли g= 9,81 MJceK. Сила притяжения снутгшка Землей обратно пропорциональна квадрату расстояния от спутника до

ф центра Земли. Спутник считать

точечной массой.

Р е П1 е н и е. Проведем ось п через спутник М и центр Земли О. При движении с постоянной скоростью V спутник имеет нормальное ускорение w , направленное к центру Земли О.

Так как орбитой спутника считается окружность радиуса R-\-h с центром в центре Земли О, то


ji р

Па спутник действует сила f притяжения к Земле, направленная к центру Земли О, обратно пропорциональная квадрату расстояния OM = R-\-h от спутника до центра Земли, т. с.

Р=- (2)

К задаче 220.

где lit - масса спутника, а k - коэффициент пропорциональности. Учитывая, что на поверхности Земли, т. е. при /i = 0, 1- = Р= mg, находим из с[)ормуль1 (2), что k - gR. Следовательно, сила притяжения

Запишем далее дифференциальное уравнещге движения спутника, принимаемого за материальную точку, проекции на ось п:

Посгш.тьзовашнись формулами (1) и (3), получим:

R -\- /I (R + Iif



откуда искомая скорость

л[ = /? j/-T- =7,4 KMJceK.

Задача 221. Ila какую высоту надо запустить искусственный спутник Земли для того, чтобы с Земли он казался неподвижным для наблюдателя, вращающегося вместе с Землей? Орбиту сиутгннса Земли приближенно считать окружностью, концентричной с экватором. Радиус Земли / = 6370 км. Ускорение силы тяжести на но-керхностп Земли =9,81 м/сек'К Модуль угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси (о= 0,00007 IjceK.

-ТТ-<

г- -г

А

<

)------L

п

и

Спутник


К задаче 221.

Сила притяжения спутника Землей обратно пропорциональна квадрату расстояния от спутника до центра Земли. Спутник считать точечной массой.

Решение. Для того, чтобы искусственный спутник, движущийся по орбите, концентричной с экватором, казался с Земли неподвижным, он должен быть расположенным на оси п, проходящей через сиутгшк М, центр Земли О, а также через наблюдателя А, расположенного на экваторе и вращаюц|,егося вместе с Землей (см. рис. а, на котором изображен вид Земли в плане с Северного полюса). При соблюдении этого условия скорости спутника М и наблюдателя А должны удовлетворять соотношению



ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬпиН урлпнг.пия динамики точки

(ГЛ. VHI

Так как vл = Rш, где со - уолуль углопо!! скорости сутомио10 вра-niCMHii Земли вокруг сврзп оси, ОМ - R -\-h, OAR, lo v,M = iR - I- h)w. Подставив это зиачсмие v\i в формулу (4) преды-дуитей задами, находим:

i,R-\-/i)-

откуда искомая высота

Подставив численные значения, иаЛдем, что искомая вва'ота равна 36 800 км.

Сунтествует проект запуска трех искусственных спутников па эту высоту так, чтобы они образовали равносторонний трсуголынпс, в всриитнах которого находилисв бы спутники. Учитывал неподвижность этих CH3-TIHHC0B по отгго-1нению к Зeтe, их прсдно.1а-гают использовать в качестве л[нропой рстранс.тя[Н10ииог( станции телевидения. Действительно, с высоты /г = 36 800 км волны, распространяясь прямолинейно, могут попасть и любую точку земной поверхности (см. рис. б).

Задача 222. Л1атсриальпая точка движется внутри гладкого кругового конуса по горичоп-тальпой окружности с постоянной но модулю скоростью v. Опреде.тить радиус р окружности, если угол при верн1ине конуса равен 2а.

1си1ение. Совместив начало координаг с движумтейся точкой, изобразим оси натурального три;-)дра т, п, b (оси л и й в плоскости ри-направлсна перпен-нлоскости рисункм.


К задаче 222.

расположены сунка, ось X лику.мярно к за рисунок).

К материальной точке приложен ее вес р реакции r впутреиией боковой поверхности конуса. Точка, движу-Н1аяся равномерно по горизонтальной окружности, имеет только нормальное ускорение tii , направленное по горизонтали налево.

и нормальная сила



Запишем диффереищмльиме уравмеиии движения материальной тои<н в проекциях на оси п и Ь:

В данном случае

--= R COS а, Р

0 = / sin а -А

Исключив из этой системы уравнений R, определим искомую величину радиуса окружности:

Задача 223. При спуске с горы лыжник веса Р достигает точки О со скоростью v. При Н1)слелуюи1С.м подъеме на пригорок лыжник


К зал,1мс 713.

дви-ясется ио дуге окружности ОС радиуса / со скоростью v = yvi:, - 2gr{i - cosf), где j -угол, образуелп.и! радиусом AM с вертикалью. Оирсдсипь дав.чспие .тыжппка па снег при прохождении им участка ОС. Силами сомротивления дви^кению пренебречь. Лыжника считать точечной массой.

Решение. Траскюрия льгжтпка нзв.сстна. Изобразим оси натурального триэдра, расноложнн их нача.то в точкс М, занимаемой лыжником н данный .\н)мепг.

К лыж1пн<у приложены силы: Я ~ нес лыжника, r-норма.н.ная сила реакц1И| снега, панран.тсппая вдоль радиуса дуги ОС от М к центру А.

Изобрази.м пормал11пую w и касательную w. сое гавля1()Н1ие ускорения лыжгшка. Для определения нормальной силы реакции r при.мешьм дгкрференциальнос jpaBnenne двнжегщя в проекции



на главную нормаль п: /я - В данном случае получим: - - = - Р cos ф, откуда = Р cos 9-{----. Учитывая, что, со-

гласно условию задачи, v=:\/vl - 2.g-r(l - cosy), находим: R = P

COS-- --

Искомое давление лыжника на снег противоположно силе регк-нии r по направлению и paimo ей но модулю.

Наибольшее давление имеет место в точке О при 9 = 0:

Задача 224. Определить натяжение нити математического маятника длины / и веса Р, если качания маятника совершаются согласно уравнению 9 = 90 sin kt{<f - угол отклонения маятника от вертикали, 90 и k - постоянные величины).

Р е HI е н и е. Изобразив маятник в промежуточном положении, при котором его пить образует с вертикалью угол 9, направим ось л вдоль нити, а ось с - перпендикулярно к оси п, в сторону возрастания угла 9.

К маятнику приложены следующие силы: вес маятника р и скла реакции нити r. Покажем на рисунке эти силы, а также составляющие ускорения маятника w и w,.

Для определения силы реакции нити применяем дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на главную нормаль п:

В дашюм случае, учитывая, что w = i, имеем:

mlf = R - Pcos 9,


[{ задаче 224.



Взяв вторую производную по ср, находим:

d 11 \ . i-,

Подставив это значешш в формулу Бине и решив уравнение относительно F, получим:

где Л = 4/и(1--Х^). Знак минус указывает, что центральная сила, гнлзываюшая движение материальной точки ио логарифмической спирали, является силой притяжения. Эта сила обратно ироиорциональна кубу расстояния от неподвижного центра.

RPcoioj /1 0)

Так как по условию сз -cpoSinA/, то

= cos kt.

Подставив значение 9 и , находим;

= р Tcos (9о sin ki) -f cos kt

Наибольшего значения сила реакции нити достигает в отвесном положении, т. е. когда ki=nr.:

Искомое натяжение нити т направлено противоположно силе реакции r и равно ей но модулю.

Задача 225. Материальная точка движется под действием центральной силы но логарифмической спирали, уравнение которой имеет вид: Г - ае, где а и X - постоянные величины. Определить закон изменения центральной силы.

Решение. Воспользуемся формулой Бине

Уравнение логарифмической спирали запишем в виде

1 1



§ 3. Определение движения по заданным силам

(обратная задача динамики MaTepnajniHOii точки)

Ла1Н)1 силы Fj, Fi, ... , F , приложенные к материальной точке массы 111. Для опреде.1ения закона движения этой точки с.тедует hjio-инте1рировать систему дифференн.нальных уравнений Д11ижет:я, соотвстствуюнтих избранной системе отсчета.

Так, если задача рен1ается в проекциях па оси инерннальной системы декартовых координат, то интегрированию подлежит система дифференциальных уравнений движения:

л/ п

U-l к - \ к - [

I? результате интегрирования этой системы онрсде.тяют закон движения точки п декартовых координатах, т. е.

=А{11 у=мп ~=.(o.

fVineiiHC обр,тт1и.1Х задач, связанное с ннте1рп[)0ва1Н!ем системы диф(1)С[)Снииа.тьных уравнсни1 (I*), П[1едстав.тяет подчас значительные т[)удности и часто не может быть иьнихтнсно в квадратурах. (То1да н|П1ходится систему (1*) решать численно, н|пп1еиять иные методы приближсиного тптгС1рн)овання, .тиио но.т|.зоваться вьпислн-ТСЛ1Н1Ы.МИ мaulинл,нl.)

Так как- система (1*) состоит из т[)ех лтк|)фе11снциа.тын.1х у[)ав1:е-ннй второ|-о порядка, то при ее шттегрирова1Н1и нояв.тяются uiecTb произвольных Н0СТ0Я1НН.1Х С\, С.>, Cj, C-V Cs и Q,. Для их опрсде.тения в ус.товии задачи до.тжпы быть допо.т1НттелыН|1е да1нняе, назьн!аем1ле начальными условиями движения.

1[ачальные условия движения .матс{)иа.тьной точки определяют иоложсние точки н ее ckojioctb в некоторый фиксированный момент времени. ПоложсЕше точки определяется тремя координатами х, у, г, а скорость 104ICII - Tjie.Mii нросЕсциямп скорости л , таким об[)а-

30SU начальные усло1!ия и.меют вид:

при 1 - 1

х - х,, у=у,, г = го (но.тожение точки), х - Хи, j> =ji z = £f, (ско|)ость точки).

(Часто эти условия задаются для начального момсеетл времсш! / = 0.)

В результате подстановки начал!,пых условий движения в не[)В1.:е и вторые интегралы снсгемЕт (1*) образуется систем.т Н1ести уравнений для определения niecTn неизпестиых С Q, .., , Q.

Если движение материальной точки нроисходит в плоскости, то при распо.южении координатных осей х ц у i. этой плоскости число



дифференциальных уравнений движения равно двум, и поэтому число начальных условий движения равно четырем:

при = 0

x = Xq, у=уд (иоложсиме точки), x = X(f, у=у^ (скорость точки)

(в данном случае 2n = i, = 0)-

Если материальная точка движется прямолинейно, то при направлении оси X вдоль траектории точки имеется одно дифференциальное уравнение движения, и поэтому число начальных условий движения равно двум:

при t = fo

х - Ха (положение точки), х = Хо (скорость точки).

Силы, приложоинле к материальной точке, могут быть;

1) постоянными силами (например, сила тяжести при движении материальной точки вблизи земной новсрхрюсти);

2) силами, зависящими от времени (например, периодически мзме-няюишеся силы, вызьн!аюии1е колебания материальной точки);

3) силами, зависящими от положения точки (например, си.ты притяжения и отталкивания, силы упругости пружин, упругих нитей и т. л.);

4) силами, зависящими от скорости точки (например, силы со-противлс1и1Я днижепик) точки).

В бо.тее обн1ем случае силы являются функциями време1П1, положения, скорости и ускорения точки. Тогда система уравнений (I*) имеет вид:

m- -fi{i\ X, у, Z, X, у, -v, у,

ту =fi (/; .V-, у, Z, X, у, i, х, jJ, г),

mz =h {i\ X, у, z, ±, у, i, ; , г).

Обратные задачи динамики материальной точки рекомендуется решать н следуюнтем порядке:

1) вЬбрать систему координат;

2) записать начальные условна движения точки;

3) изобразить на рисунке задаваелнлс си.ты и силы реакций связей, приложенные к материальной точке;

4) составить дифферегщиальные уравнения движения материальной точки;

5) проинтегрировать систему дифференциальных уравнений дви-же1шя. Использовав начальные условия движения, определить постоянные интегрирования;



30 дифференциальные уравнения дтгнлмики точки [гл. vhi

6) поспользовавпжсь урагнсниями движения материальной точки, полученными в нредь|дун1ем пункте, определить искомые величины.

При составлении дифференциальных уравнений движения надо рассматривать материальную точку в текущем Положении.

В случае двпжетЕя свободной материальной точки удобно пользоваться системой осей декартощ.1Х координат. При криволинейном движении несвободной материальной точки нро1це решать задачу в проекциях па оси натурального триэдра.

При движении материальной точки под действием центральной силы F удобно пользоваться дифференциальными уравнениями движения в полярных координатах или формулой Бине

d-i\r J г 4тС-

(см. § 2).

Задача 226. Определить условия, выполнение которых обеспечивает прямолинейное движение материальной точки.

Решение. Направим ось х вдоль прямолинейной траектории материальной точки; при движении вдоль этой оси y = z = 0. Следовательно,

S>=:i = 0 (I)

y = S = 0. (2)

Запишем систему дифференциальных уравнений движения в проекциях на оси декартов1.1х координат:

тх= I; т^= У] F ,

к = \ к = \ * = 1

Воспользовавшись условиями (2), находим:

тх= Х F , 0= ] F , 0=

к = \ fc = 1 * = 1

Из второго и третьего уравнений следует, что проекции равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, на оси .v и

г равны нулю: Ry= t-y = /=2 *г = 0 Г- - ра чодей-

ствующая сил, приложенных к материальной точке, должна быть напранлсна вдоль оси х, т. е. вдоль неизменного направления.

Из условия (I) вытекает: j) = i = 0, т. е. проекция скорости точки на оси у ]Л г равса нулю; таким образом, скорость точки всегда направлена вдоль оск х. Следовательно, и начальная скорость точки должна и.меть аналогичное направление.

Выясним достаточность тих условий.



1 2 3 4 5 ... 66