Навигация

Главная » Мануалы

1 2 3 4 5 6 ... 51

заключен в пределах от 0° до 90°, либо от 270° до 360°, то проекция силы на ось положительна. Если же он лежит в пределах or 90° до 270°, то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на ось равна нулю. По это.му способу определяются ортогональные проекции силы на координатные оси X к у (рис. 1.20)

npxF= at = / cos {х, F), пру F-aibx = F cos (у, F). Впредь для краткости будем обозначать:

np,/=z=/-, npyF=Fy

пр/= =;<:, пру F=Y,

Следовательно,

= А' = F cos (jc, F), Fy= Y-=F zo{F).

С помощью этих формул, зная модуль и направление силы, можно определить ее проекции на оси ортогональных декартовых координат.

В

о

Рве. 1.20.


Рис. 1.21.

В случае решения обратной задачи, т. е. при определении модуля и направления силы по заданным проекциям на оси декартовых координат, вычисление ведется по 4юрмулам:

(2*) (3*)

Нельзя отождествлять понятия проекции силы и ее составляюн1еи. На рис. 1.21 изображена сила F, разложенная на две составляющие

F = YF% -\-Fl= Vx 4- (модуль силы),

(направляюише косинусы).

У



R, = 4- F,y -I-... -!- F ,. = 2 Fy

(4*)

Определив по этим формулам проекции равнодействующей, можно вычислить ее модуль

R = yR%-R; (5)

и направляющие косинусы

cos (xCR) = f. COS (уГ/?) = . (г.*)

Уравнения равновесия твердого тела при наличии плоской системы сходящихся сил. Для равновесия твер-

СИЛЫ Fl и f.2, направленные параллельно соответствующим осям координат, т. е. F=Fi-\-F. Составляющая силы является вектором, который можно представить в виде произведения проекции силы на орт (единичный вектор) соответствующей оси, т. е.

Fi = [\l=Xi, F,=F,J=VJ.

Следовательно, разложение силы на составляющие можно записать в виде

FFJFyJ=Xl-\- Yj.

Орты осей координат всегда направлены в положительных направлениях соответствующих осеИ. Знак проекции силы определяет направление ее составляющей, т. е. если проекция силрл положительна, то направление составляющей силы совпадает с положительным направлением соответствующей оси, если же проекция силы отрицательна, то направление составляющей силы противоположно положительному направлению соответствующей оси.

Переходим к определению равнодействующей плоской системы сходящихся сил методом проекций. Пусть даны силы F ..., f . В плоскости действия сил построена система осей декартовых координат ху. Разложения данных сил по ортам этих осей координат имеют вид

= FxJ-Ixyj, Fl = F,J + F,J, F = r J-f F yJ.

Разложение равнодействующей плоской системы сходящихся сил по ортам этих осей координат дается формулой: R= RJ-j- RJ, где Rx и Ry - проекции равнодействующей на соответствующие оси.

Проекции равнодействующей на оси декартовых координат равны алгебраическим суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси



Fiy -V Fly -н... Ч- пу - о

(7*)

или, в более краткой записи.

F,.,==0, F,y = 0. (7*)

Задача называется статически определенной, если число неизвестных равно числу )1езависимых уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной. В последнем случае одними уравнениями cтaт^ки задача не может быть решена. Для ее решения следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например сопротивлением материалов.

Задача па равновесие тве[)лого тела под действием плоской системы сходящихся сил является статически определошой, если число ал1ебраических неизвестных не более двух. Так, если известны направления всех слагаемых сил и модули всех сил, кроме двух, то можно определить неизвестные модули двух сил. Если одна из сил не ьзвестна ни по величине, ни по направлению, то все остальные слагаемые силы должны быть заданы.

Преимущества аналитического метода проекций по сравнению с геометрическим методом силового многоугольника особенно заметны в задачах на равновесие твердого тела при наличии более трех сходящихся сил. Действительно, решение силового четырех-, пяти- и -угольника представляет известные трудности, в то время как решение задачи методом проекций лишь незначительно усложняется при увеличении числа проектируемых сил.

При решении методсэм проекций задач и а равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем:

5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более двух;

6) выбрать в плоскости действия сил систему осей декартовых координат ху;

7) составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси декартовых координат (7*);

8) решить систему составленных уравнений равновесия и определить искомые величины; если величина какой-либо из неизвестных

дого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и дос1а10чно, чтобы суммы проекций всех сил системы на оси декартовых координат равнялисо нулю:




Рпс. 1.22.

И прямой, лежащей на оси проекций. Для определения знака проекции силы надо смотреть на проектируемую силу и ось проекции так, чтобы плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Если при этом направления силы и оси совпадают, то проекция силы положительна, если же паправленпя силы и оси противоположны, то проекция силы отрицательна.

Например, проекции на ось х сил и f изображенных на рис. 1.22, а, положительны, и можно сразу записать:

Fix = F\ со-5 ati, Fi = F.i cos a.j,

йместо того чтобы производить вычисления

P-ix = P-i cos (360° - a-i) = Fi cos ч-

Проекции же сил F и F, показанных на рис. 1.22,6, отрицательны, так как непосредственно ясно, что

Fj, = - F-i cos яз, Fi = - Fi cos Jj.

Сложнее было бы вычислить проекции формально:

£з^ = F., cos (180° -f аз) = - Fj cos а .

Fix = Fi cos (180° - -Fi cos Я4.

сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было указано на рисунке.

Если по условию задачи требуется определить равиодействующую, то после выполнения первых четырех пунктов решения задачи надо вычислить проекции равнодействующей и Ry по формулам (4*), затем определить модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы по формулам (5*) и (6*).

При выборе осей декартовых координат целесообразно их направить так, чтобы они были параллельны либо перпендикулярны большинству слагаемых сил.

При определении проекции силы ш ось можно пользоваться следующим приемом: вычислить модуль проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы



Задача 1.8. Решить задачу 1.4 методом проекций.

Р е ш е п и е. Воспользуемся изображением сил Т, Тс и Гд, данным на рис. в к задаче 1.4. Направим ось х по горизонтали па-право и ось у по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия шарнира А в проекциях на оси X и у.

F = Тд cos 45° - Тс cos 60° = О, 7дС08 45°-f

-\- ГсСО5 30°- Г=0.


К задаче 1.К.

Решив эту систему уравнений, найдем 7с = 73,2 кГ, 7д = 51,8 кГ.

Решение этой задачи аналитическим методом проще геометрическо1-о метода (см. решение задачи 1.4).

Задача 1.9. На рисунке изображены четыре силы F F., F и Fj, приложешше к твердому телу в точке О и лежапще в одной плоскости.

Определить модуль и

направление силы F, которую следует приложить в точке О для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Дано: = 2 н, Fi = Рз = 4: н, Fi = 6 н.

Решение. Для решения задачи методом проекций направим оси декартовых координат: ось х - по горизонтали направо, ось у - по вертикали вверх.

Уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси х v\ у имеют вид

SF = 0, F,y=0,


К задаче 1.9.

или

Fix + F, -f /av + + P. = 0. Py + Pb + 3, + Fiy + P,y = 0,

где Fx и Fiy - проекции неизвестной силы Fj на оси хну.

Так как число неизвестных равно числу уравнений, то задача является статически определенной,

2 М, и. Бать II др., т. I



Вычислим проекции четырех заданных сил fj, F, F и F на оси X vi у:

Fjx = 0, f9x=jCos45°=2l/2, £зл: = £я cos 60° = 2,

Fix = - Fi cos 30° = - 3 V, Fiy = Fi = 2, Fiy = Fi cos io° = 2y 2,

Ргу = - f 3 cos 30° = - 2 V\ Fly = - Fl cos 60° = - 3. Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), получим:

21/~2 + 2-31/-1-Fb, = 0, (3)

2--2/-2/-3 + £ву = 0. (41

Из уравнений (3) и (4) найдем £=0,37, £5= 1,64. Модуль искомой силы F равен

Fb = Vf%x + Fby = 1,68 . Вычислим направляющие косинусы:

cos (Л) =- = = 0,22, cos СуГ>в) = 5f = Щ = откуда

(:сГ/в)я77°, (з;Г/=в)13°.

Определение искомой силы F методом проекций не составило особого труда. При геометрическом методе решения этой задачи приш лось бы построить силовой пятиугольник и затем определить модул! и направление силы F. Преимущества метода проекций бесспорны

Задача 1.10. При монтаже колонны MN для подъема груза С весом Р на вершину колонны использованы два крапа. Груз подни мается с помощью троса ВСА, прикрепленного концом В к иенод вижному левому крану (кран иа рис. а не изображен), а концом А - к тележке правого крана. При движении тележки по горизонтали направо груз - полый цилиндр, скользит вдоль колонны MN вверх. Длина троса равна L. Расстояние от неподвижного левого ко[ща В троса до колонны MN равно BN=l.

Считая, что груз С находится в покое, определить натяжение троса и давление груза на колонну. Угол, образованный левой ветвью троса с колонной равен а. Весом троса и трением груза о колонну пренебречь.

Решение. Для определения неизвестных рассмотрим равновесие груза С. К грузу приложена одна активная сила - его вес Р. На груз наложены связи: трос ВСА и коло[Н1а MN. Реакция R гладкой колонны перпендикулярна к ее оси (см. рис. 6). Изобразим ее по гори-



L sin а - /

Подставив значения cos ip из (7) и sin ip из (8) в (3) и (4), окончательно получим:

L sin а - I

L sin 2а

Р ]/(/. + /)sin а - 2LI sin а - (/. sin а - Qsin а

По мере подъема груза С угол а увеличивается, стремясь к 90° (значит, sin 2а ->- 0). При этом модуль реакции троса также растет. Груз С невозможно поднять на уровень горизонтали АВ, ибо при этом sin 2а = sin 180° = О и величина Г неограниченно возрастает.

зоптали палено. Мысленно рассечем обе ветви троса вблизи точки С. Реакции Т и Т' направлены вдоль ветвей троса, причем Г = 7 = Т.

Направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. Обозначив угол NCA = o, запишем уравнения проекций всех сил, приложенных к грузу С, нз оси х и у:

7-sin (f. - 7-sin а -/?1=0, (I)

V Fftj, = Г cos (f. -J- Г cos а - Р = 0. (2)

Из уравнения (2) найдем;

Р

Т=---т- (3)

cos <f -f- COS а

Использовав значение (3) в уравнении (1), получим:

о P(sin<p -sina) .:os <f -f- cos а

Остается выразить cos tp и sin 9 через / In я. Обозначим: ВС=а, AC = b. По условию

a - b=L. (5)

Из треугольника BCN имеем:

C/V=/ctga. (6)

Воспользовавшись треугольником ACN и выражениями (5) и (6), запишем:

CN /Ctga /cos а

COS ср =-.-==-7--=7-->. ()

Л - а /.sin а - /

Теперь нетрудно вычислить sin 9 = /1 -cosip. С помощью результата (7), после несложных преобразований, получим:



Искомые натяжение троса и давление груза С на колонну соот-ветстпенио равны по модулям силам Т и R.

Решение этой задачи с помощью силового многоугольника значительно сложнее, ибо приходится решать замкнутый силовой четырехугольник, построе[П1Ый на си-г -И лгх Р, R, Т а Г.

N ,-1£, Рекомендуем решить

следующие задачи из Сборника задач по теоретической механике И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 21, 26.

4°. М о м е н т силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой. Момент силы F относительно точка О, который записывается в виде m{F), для плоской системы сил равен по абсолютной ие-лич1?не произведению модуля силы F на расстояние h от точки О до линии действия силы F, называемое плечом.

Если сила F стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент силы положителен, если же в направлении часовой стрелки, то отрицателей. (В дальнейшем вместо: сила стремится повернуть тело вокруг точки О ... , будем говорить: сила видна направленной вокруг точки О ). Например (рис. 1.23), mo(FO = Fih, moiF,) = -F,lh.

Размерность момента силы в технической системе единиц - - кГм, а в системе СИ - н-м - дж (джоуль), причем

1 кГ = 9,81 дж.

Следует помнить, что плечо h является отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Иногда ошибочно в качестве плеча изображают отрезок, соединяющий точку, относительно которой вычисляется момент, с точкой приложения силы.




Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю. Например: / 0(3) = О (рис. 1.23).

Теорема Вариньо-на для системы сходящихся сил (теорема о моменте равнодействующей): момент относительно точки равнодействующей R системы сходящихся сил F, ..., F , расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил


Рис. 1.23.

относительно той же точки:

Здесь

(/?) = то(Fi)-mo(F,) + ... + (F ) = оiP)-

/?==: F,.

Удобство применения TeopejH.i Вариньона заключается в том, что, минуя непосредственное определение равнодействующей, можно вычислить ее момент относительно точки, зная моменты всех слагаемых сил относительно той же точки.

Выраже[ше момента силы F относительно точки А через проекции силы на оси декартовых координаг имеет вид

m(F) = (x~a)Fy-(y-b)F,.. (9*)

где Fx и Fv - проекции силы F на О оси декартовых координат, хну - координаты точки В приложения силы F, а и b - координаты точки А (рнс. 1.24).

Этой формулой рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда определение величины плеча h связано с вычислительными трудностями.

В частности, если момент силы F определяется относительно начала координат О, т. с. а = Ь = 0, то формула принимает вид

moiF) = xFy-yFx, (10*)


Рис. 1.24.



где Fx и Fy - проекции силы F па оси декартовых координат, х и у - координаты точки приложения силы F.

Перейдем к рассмотрению задач на равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой. Если единстве1:ной связью, наложешюй на твердое тело, находящееся в равновесии, является неподвижная точка (например, шарнир), то ее реакция должна уравновешиваться с равнодействующей всех активных сил. Следовательно, гфи равновесии твердого тела линия действия равнодействующей всех активных сил должна проходить через неподвижную точку. В противном случае происходит онрокидьшаг.ие твердого тела.

Для определения условий, обеспечивающих равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой, к которому приложена плоская система сходящихся сил, необходимо направить линию действия равнодействующей активных сил через точку пересечения линий действия активных сил и неподвижную точку.

Эти же задачи можно решать с номои;ью теоремы Вариньома, записанной относительно неподвижной точки. Так как при этом момент равнодействующей активных сил, проходящих через неподвижную точку, равен нулю, то сумма моментов всех активных сил относительно неподвижной точки также равна нулю:

S / о(*) = 0.

где О - неподвижная точка.

Задача 1.11. Тонкий однородный стержень АВ весом Р може-. поворачиваться вокруг шарнира В, прикрепленного к полу.

Определить величину силы F, которую нужно приложить по горизонтали вправо в конце стержня А для того, чтобы стержень

F \

Р

к


оставался в равновесии, образуя угол а с вертикалью (рис. а).

Решение. Рассмотрим условия равновесия стержня АВ. К стержню приложены две активные силы: Р и F, линии действия которые пересекаются в точке О. Единственной связью, налс-женной иа стержень, является шарнир В. Линия действия реакции N шарнира согласно тес-реме о трёх непараллельных силах должна проходить через точку О.

Итак, стержень АВ находится в равновесии под действием трех сходящихся сил Р, F W N. Для того чтобы не произошло опрокидывания стержня АВ вокруг шарнира В, линия действия равнодейств)-

К задаче 1.11.



1 2 3 4 5 6 ... 51